统考版2024届高考数学一轮复习第四章4.4函数y＝Asinωx＋φ的图象及简单三角函数模型的应用学案理含解析20230423160.docx

统考版2024届高考数学一轮复习第四章4.4函数yAsinx的图象及简单三角函数模型的应用学案理含解析20230423160第四节 函数yAsin(x)的图象及简单三角函数模型的应用【知识重温】一、必记3个知识点1函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤2用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示xx_yAsin(x)0A0A03.简谐振动yAsin(x)中的有关物理量yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT_f_ _x二、必明3个易误点1函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数3由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位得到的()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)函数yAsin(x)的最小正周期为T.()(4)把函数ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysinx.()二、教材改编2必修4·P56练习 T3改编函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2， B2，C2， D2，3必修4·P55练习 T2改编为了得到函数y2sin的图象，可以将函数y2sin 2x的图象()A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度三、易错易混4函数f(x)sin，xR的最小正周期为()A.B C2D45函数ycos x|tan x|的图象为()四、走进高考62020·天津卷已知函数f(x)sin.给出下列结论：f(x)的最小正周期为2；f是f(x)的最大值；把函数ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数yf(x)的图象其中所有正确结论的序号是()A BC D函数yAsin(x)的图象及变换自主练透型12021·广州模拟将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到ysin的图象，则f(x)()Asin BsinCsin Dsin2已知函数ycos.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间0，内的图象；(3)说明ycos的图象可由ycos x的图象经过怎样的变换而得到悟·技法函数yAsin(x)(A>0，>0)的图象的两种作法五点法设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提醒平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值.考点二由图象确定yAsin(x)的解析式互动讲练型例1(1)2020·全国卷设函数f(x)cos在，的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A.B.C.D.(2)2021·武昌区高三调研函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(x)_.悟·技法确定yAsin(x)B(A>0，>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.变式练(着眼于举一反三)12021·郑州测试将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()Af(x)sin(xR)Bf(x)sin(xR)Cf(x)sin(xR)Df(x)sin(xR)22021·江西省名校高三教学质量检测已知函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)考点三三角函数图象性质的综合应用分层深化型考向一：三角函数模型的应用例2如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5B6C8D10考向二：函数零点(方程根)问题例32021·哈尔滨六中模拟设函数f(x)sin，x，若方程f(x)a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则x1x2x3的取值范围是()A. B.C. D.考向三：三角函数图象性质的综合例42020·江苏卷将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_悟·技法函数yAsin(x)(A0，0)的性质(1)奇偶性：k时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性：yAsin(x)具有周期性，其最小正周期为T.(3)单调性：根据ysin t和tx(0)的单调性来研究，由2kx2k(kZ)得单调增区间；由2kx2k(kZ)得单调减区间(4)对称性：利用ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)，求得对称中心坐标利用ysin x的对称轴为xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称轴方程.同类练(着眼于触类旁通)3.2021·四川树德中学模拟为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的坐标为P(x，y)若针尖的初始坐标为P0，当秒针从过点P0的位置(此时t0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t(单位：秒)的函数关系为()Aysin BysinCysin Dysin变式练(着眼于举一反三)42021·湖北联考已知函数f(x)sin(x)cos(x)cos2(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，则f(x)的一个单调递增区间为()A.B.C. D.52020·北京卷若函数f(x)sin(x)cos x的最大值为2，则常数的一个取值为_拓展练(着眼于迁移应用)62021·山东潍坊高考模拟考试若函数f(x)2sin(x2)·cos x(0<<)的图象过点(0,2)，则下列说法正确的是()A点(，0)是yf(x)的一个对称中心B直线x是yf(x)的一条对称轴C函数yf(x)的最小正周期是2D函数yf(x)的值域是0,272019·全国卷设函数f(x)sin (>0)，已知f(x)在0,2有且仅有5个零点下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在单调递增的取值范围是其中所有正确结论的编号是()A BC D第四节函数yAsin(x)的图象及简单三角函数模型的应用【知识重温】|AA02【小题热身】1答案：(1)(2)×(3)×(4)×2解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin的振幅为2，频率为，初相为.故选A项答案：A3解析：因为y2sin 2x2sin，所以将y2sin 2x的图象向右平移个单位长度可得y2sin的图象答案：A4解析：最小正周期为T4.答案：D5解析：因为|tan x|0，所以当x时，cos x0，y0；当x时，cos x0，y0.答案：C6解析：f(x)sin的最小正周期为2，正确；sin1f为f(x)的最大值，错误；将ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f(x)sin的图象，正确故选B.答案：B课堂考点突破考点一1解析：由题意知，先将函数ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象，故f(x)sinsin.答案：B2解析：(1)函数ycos的振幅为1，周期T，初相是.(2)列表：2x0x0y1010描点，连线(3)解法一把ycos x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到ycos的图象；再把ycos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到ycos的图象解法二将ycos x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到ycos 2x的图象；再将ycos 2x的图象向右平移个单位长度，得到ycoscos的图象考点二例1解析：(1)解法一设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可得T<且>()，所以<T<，又因为|，所以<|<.由题图可知f0，且是函数f(x)的上升零点，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)，所以|3k1|(kZ)又因为<|<，所以k0，所以|，所以T.故选C.解法二(五点法)由函数f(x)的图象知，×，解得，所以函数f(x)的最小正周期为，故选C.(2)结合题图知函数f(x)的最小正周期T4×，由T得2，结合题图知A，所以f(x)sin(2x)，因为在f(x)的图象上，所以0sin2×，所以k(kZ)，因为0<<，所以，所以f(x)sin.答案：(1)C(2)sin变式练1解析：依题意，设g(x)sin(x)，其中>0，|<，则有T4，2，gsin1，则，因此g(x)sin，f(x)gsinsin，故选A.答案：A2解析：通解由题图知，函数f(x)cos(x)的最小正周期T，所以2.将点代入f(x)cos(2x)，得1cos(2×)，得2k，kZ，则2k，kZ，又|<，所以，所以f(x)cos.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递减区间为(kZ)优解由题图知，函数f(x)cos(x)的最小正周期T，故排除A，C.又函数f(x)在上单调递减，所以函数f(x)cos(x)的单调递减区间为(kZ)答案：D考点三例2解析：由图象可知，ymin2，因为ymin3k，所以3k2，解得k5，所以这段时间水深的最大值是ymax3k358.答案：C例3解析：由题意x，则2x，画出函数的大致图象，如图所示，由图得，当a<1时，方程f(x)a恰好有三个根，由2x得x，由2x得x，由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x对称，点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x对称，x1x2，x3<，则x1x2x3<，即x1x2x3的取值范围是，故选B.答案：B例4解析：将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，得到y3sin3sin的图象，由2xk，kZ，得对称轴方程为xk，kZ，其中与y轴最近的对称轴的方程为x.答案：x同类练3解析：t时刻，秒针针尖经过的圆弧对应的角度为×2，以x轴正半轴为始边，P(x，y)所在射线为终边，得P0对应的角度为，则P(x，y)对应的角度为，由P0可知P(x，y)在单位圆上，所以t时刻P(x，y)的纵坐标ysin，故选C.秒杀解t0时，纵坐标y，排除BD；t10时，观察图形，此时纵坐标y1，排除A.选C.答案：C变式练4解析：f(x)sin(2x2)cos(2x2)sin，函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，×，1，将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，g(x)sinsin，2k(kZ)，(kZ)，又0，f(x)sin，令2x(kZ)，得x(kZ)，取k0，得x，故选C.答案：C5解析：易知当ysin(x)，ycos x同时取得最大值1时，函数f(x)sin(x)cos x取得最大值2，故sin(x)cos x，则2k，kZ，故常数的一个取值为.答案：拓展练6解析：由题意，函数f(x)2sin(x2)·cos x(0<<)的图象过点(0,2)，可得2sin 22，即sin 21，0<<，故f(x)2sin(x2)cos x2cos2xcos 2x1，当x时，f(x)1，故A，B都不正确；f(x)的最小正周期为，故C不正确；显然，f(x)cos 2x10,2，故D正确，故选D.答案：D7解析：如图，根据题意知，xA2<xB，根据图象可知函数f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点，所以正确；但可能会有3个极小值点，所以错误；根据xA2<xB，有2<，得<，所以正确；当x时，<x<，因为<，所以<<，所以函数f(x)在单调递增，所以正确答案：D第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切三角函数公式的基本应用自主练透型12021·山西吕梁阶段检测sin 7°cos 37°sin 83°cos 307°()AB.CD.22021·湖南益阳、湘潭质量统测已知sin (角为第二象限角)，则cos()A. B. C. D.32020·全国卷已知2tan tan7，则tan ()A2 B1 C1 D2悟·技法三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.考点二三角函数公式的活用互动讲练型例1(1)在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C的值为()A B. C. D(2)2021·陕西汉中模拟化简：()A. B. C1 D悟·技法三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(如本例(1).变式练(着眼于举一反三)1已知sin 2，则cos2()A B. C D.2已知cossin ，则sin_.3(1tan 20°)(1tan 25°)_.考点三角的变换互动讲练型例2(1)已知tan2，则tan()A B. C3 D3(2)2021·百校联盟联考已知、都是锐角，cos()，sin()，则sin ()A. B.C. D.悟·技法利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)常见的角变换技巧：2·；()；()；()()；()()；.(4)特殊角的拆分：，.变式练(着眼于举一反三)4已知，均为锐角，cos ，tan()，则tan _.5若cos(75°)，则cos(30°2)_.微专题(十五)易错警示：三角函数求值忽视角的范围致误例(1)已知0<<<<，且cos，sin，则cos()的值为_；(2)已知在ABC中，sin(AB)，cos B，则cos A_.易错分析：(1)角，的范围没有确定准确，导致开方时符号错误(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角解析：(1)0<<<<，<<，<<，cos ，sin ，coscoscoscossinsin××，cos()2cos212×1.(2)在ABC中，cos B，<B<，sin B.<B<AB<，sin(AB)，cos(AB)，cos Acos(AB)Bcos(AB)cos Bsin(AB)sin B××.答案：(1)(2)温馨提醒：在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错方法与技巧：1巧用公式变形：和差角公式变形：tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2，sin2，配方变形：1±sin 2，1cos 2cos2 ，1cos 2sin2.2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形失误与防范：1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切课堂考点突破考点一1解析：sin 7°cos 37°sin 83°cos 307°sin 7°cos 37°cos 7°sin 37°sin(7°37°)sin(30°)sin 30°，故选A.答案：A2解析：因为角为第二象限角，且sin ，所以cos .所以coscos cos sin sin ××.故选D.答案：D3解析：2tan tan2tan 7，整理可得tan24tan 40，tan 2，故选D.答案：D考点二例1解析：(1)由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，则C，cos C.(2)，故选A.答案：(1)B(2)A变式练1解析：cos2sin 2×.答案：D2解析：由cos()sin cos sin sin cos sin (cos sin )cossin，得sin.sinsinsin.答案：3解析：(1tan 20°)(1tan 25°)1tan 20°tan 25°tan 20°tan 25°1tan(20°25°)(1tan 20°tan 25°)tan 20°tan 25°2.答案：2考点三例2解析：(1)tan2，tantan，故选A.(2)、都是锐角，0<<，<<.又cos()，sin()，sin()，cos()，则cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()××.cos 212sin2，sin2，sin >0，sin ，故选A.答案：(1)A(2)A变式练4解析：由于为锐角，且cos ，故sin ，tan .由tan ()，解得tan .答案：5解析：cos(75°)sin(15°)，cos(30°2)12sin2(15°)12×.答案：第2课时简单的三角恒等变换三角函数式的化简自主练透型1化简：_.2化简：(0<<)悟·技法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次如“考点一”第2题.考点二三角函数求值互动讲练型考向一：给值求值例12021·河南中原名校指导卷若cos，且(0，)，则cos 2()A. BC D.考向二：给角求值例2化简：sin 50°(1tan 10°)_.考向三：给值求角例32021·河北五校联考若sin 2，sin()，且，则的值是()A. B.C.或 D.或悟·技法三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.变式练(着眼于举一反三)12021·山东济南长清月考若sin 2，则sin 2()A. B. C D22021·长沙市四校模拟考试已知为锐角，且cos (1tan 10°)1，则的值为()A20° B40°C50° D70°32021·山东烟台三中月考已知方程x23ax3a10(a>1)的两根分别为tan ，tan ，且，则_.考点三三角恒等变换的综合应用互动讲练型例42019·浙江卷设函数f(x)sin x，xR.(1)已知0,2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数y22的值域悟·技法求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成yAsin(x)t或yAcos(x)t的形式(2)利用公式T(0)求周期(3)根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yAsin(x)t或yAcos(x)t的单调区间.变式练(着眼于举一反三)42021·河南郑州质检已知函数f(x)4tan x·sin·cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性第2课时简单的三角恒等变换课堂考点突破考点一1解析：原式2cos .答案：2cos 2解析：原式cos·.0<<，0<<，cos>0，原式cos .考点二例1解析：cos，cos.0<<，<<，又cos>0，<<，0<<，<2<，又cos<0，2，sin，cos 2cos××.故选B.答案：B例2解析：sin 50°(1tan 10°)sin 50°sin 50°×sin 50°×1.答案：1例3解析：，2，sin 2>0，2.且cos 2，又sin()，cos()，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2××，又，所以，故选A.答案：A变式练1解析：通解sin 2，2sinsin 2，2sincos，2sin22sin0，得sin，sin 2cos2sin21.故选C.优解sin 2，sin 2，2(cos sin )sin 2，3sin224sin 240，得sin 2.故选C.答案：C2解析：由cos (1tan 10°)1可得cos ×1，所以cos ×1，所以cos cos 40°，又为锐角，所以40°，选B.答案：B3解析：由已知得tan tan 3a，tan tan 3a1，tan()1.又，tan tan 3a<0，tan tan 3a1>0，tan <0，tan <0，(，0)，.答案：考点三例4解析：(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x)sin(x)，即sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ，故2sin xcos 0，所以cos 0.又0,2)，因此或.(2)y22sin 2sin211cos.因此，函数的值域是.变式练4解析：(1)f(x)的定义域为，f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.设A，B，易知AB.所以，当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减