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统考版2024届高考数学一轮复习第二章2.9函数模型及其应用课时作业理含解析20230426129课时作业12函数模型及其应用基础达标一、选择题1下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()Av·exBv100lnxCvx100Dv100×2x2某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A8元/件B10元/件C12元/件D14元/件32021·广西钦州综合能力测试一种放射性物质每经过一年就有的质量发生衰变，剩余质量为原来的.若要使该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(取整数)()A3B4C5D642021·广州市综合检测如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hf(t)的图象大致是()5汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油二、填空题6许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系Ra(a为常数)，广告效应为DaA.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为_(用常数a表示)7要制作一个容积为16m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元8某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为_个三、解答题92021·济南一中月考响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)x22x.在年产量不小于8万件时，W(x)7x37.每件产品售价6元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？10围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的围墙长度为xm，修建此矩形场地围墙的总费用为y元(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用能力挑战112021·四川绵阳一诊某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.00210007.37，lg70.845)()Ay0.25xBy1.002xCylog7x1Dytan122021·河南安阳模拟5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：CWlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了()A10%B30%C50%D100%13为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为Wf(t)，用的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示给出下列四个结论：在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_课时作业121解析：只有v·ex和v100×2x是指数函数，并且e>2，所以v·ex的增大速度最快，故选A.答案：A2解析：设单价为6x，日均销售量为10010x，则日利润y(6x4)(10010x)2010x280x18010(x4)2340(0<x<10)当x4时，ymax340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.答案：B3解析：设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的，两年后剩余质量为原来的2，依此类推，得到n年后剩余质量是原来的n，根据题意，得nn>3.故至少需要4年故选B项答案：B4解析：水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.答案：B5解析：根据题图知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对答案：D6解析：令t(t0)，则At2，所以Datt22a2.所以当ta，即Aa2时，D取得最大值答案：a27解析：设长方体容器底面矩形的长、宽分别为xm，ym，则y，所以容器的总造价为z2(xy)×1×1020xy2020×16，由基本不等式得，z2020×1640320480，当且仅当xy4，即底面是边长为4m的正方形时，总造价最低答案：4808解析：当t0.5时，y2，所以2，所以k2ln2，所以ye2tln2，当t5时，ye10ln22101024.答案：10249解析：(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元依题意得当0<x<8时，P(x)6x2x24x2，当x8时，P(x)6x235.故P(x)(2)当0<x<8时，P(x)(x6)210.此时，当x6时，P(x)取最大值，最大值为10万元10解析：(1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为am，则y45x180(x2)180·2a225x360a360.由已知得xa360，得a.y225x360(x>2)(2)x>2，225x210800.y225x36010440.当且仅当225x时，等号成立即当x24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元11解析：由题意得，当10<x1000时，符合公司要求的函数模型应满足：为增函数；y5；y25%x.选项D明显不满足条件，所以D不符合题意；选项A、B、C均满足条件，但当x>20时，A选项不满足条件，所以A不符合题意；当x1000时，有y1.00210007.37>5，不符合条件，所以B不符合题意；而对于选项C，当10<x1000时，有ymaxlog7100013log710114.550<5，且log7x125%x恒成立，所以满足条件，故选项C符合题意，故选C.答案：C12解析：将信噪比从1000提升至2000，C大约增加了10%，故选A.答案：A13解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，正确；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力明显低于t1，t2时的，故错误答案：课时作业47直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础达标一、选择题1直线l：xsin30°ycos150°10的斜率是()A.B.CD22021·秦皇岛模拟倾斜角为120°，在x轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10B.xy0C.xy0D.xy03若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于()A1B3C0D242021·河南安阳模拟若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a()A1±或0B.或0C.D.或052021·湖南衡阳八中月考已知直线l的倾斜角为且过点(，1)，其中sin，则直线l的方程为()A.xy20B.xy40Cxy0D.x3y6062021·安徽四校联考直线l经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l的方程是()A3xy60B3xy0Cx3y100Dx3y807一次函数yx的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()Am>1，且n<1Bmn<0Cm>0，且n<0Dm<0，且n<08直线AxBy10在y轴上的截距是1，而且它的倾斜角是直线xy3的倾斜角的2倍，则()AA，B1BA，B1CA，B1DA，B19直线2xcosy30的倾斜角的变化范围是()A.B.C.D.10经过点(0，1)且与直线2x3y40平行的直线方程为()A2x3y30B2x3y30C2x3y20D3x2y20二、填空题11若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m_.12直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_132021·贵州遵义四中月考过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_14一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_能力挑战152021·湖北孝感调研已知点A(2，3)，B(3，2)，直线l的方程为kxyk10，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为()Ak或k4B.k或kC4kD.k4162021·山西大同重点中学模拟数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点A(4,0)，B(0,2)，且ACBC，则ABC的欧拉线方程为()Ax2y30B2xy30Cx2y30D2xy30172021·百所名校单元示范卷直线l经过A(2,1)，B(1，m2)，mR两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为_课时作业471解析：设直线l的斜率为k，则k.故选A.答案：A2解析：由于倾斜角为120°，故斜率k.又直线过点(1,0)，所以直线方程为y(x1)，即xy0.故选D.答案：D3解析：由ktan1.得42y2，y3.故选B.答案：B4解析：平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1±.故选A.答案：A5解析：sin，cos，则tan，直线的方程为y1(x)，即xy40，故选B.答案：B6解析：解法一设直线l的斜率为k(k<0)，则直线l的方程为y3k(x1)x0时，y3k；y0时，x1.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S×(3k)6，整理得k26k90，解得k3，所以直线l的方程为y33(x1)，即3xy60，故选A.解法二依题意，设直线方程为1(a>0，b>0)，则可得1且ab12，解得a2，b6，则直线l的方程为1，即3xy60，故选A.答案：A7解析：因为yx的图象同时经过第一、三、四象限，故>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.故选B.答案：B8解析：将直线AxBy10化成斜截式yx.1，B1，故排除A，D.又直线xy3的倾斜角，直线AxBy10的倾斜角为2，斜率tan，A，故选B.答案：B9解析：直线2xcosy30的斜率k2cos.由于，所以cos，因此k2cos1，设直线的倾斜角为，则0<，tan1，所以，即倾斜角的变化范围是.故选B.答案：B10解析：直线2x3y40的斜率为，与直线2x3y40平行的直线的斜率也为，经过点(0，1)且斜率为的直线，其斜截式方程为yx1，整理得2x3y30，故选A.答案：A11解析：由题意得kAB1，kAC.A，B，C三点共线，kABkAC，1，解得m.答案：12解析：如图，因为kAP1，kBP，所以k(，1，)答案：(，1，)13解析：当直线过原点时，直线斜率为，故直线方程为yx，即3x2y0.当直线不过原点时，设直线方程为1，把(2,3)代入可得a1，故直线的方程为xy10.综上，所求直线方程为3x2y0或xy10.答案：3x2y0或xy1014解析：设所求直线的方程为1，A(2,2)在直线上，1又因为直线与坐标轴围成的面积为1，|a|·|b|1由得(1)或(2)由(1)得或，方程组(2)无解，故所求的直线方程为1或1，即x2y20或2xy20.答案：x2y20或2xy2015解析：直线l的方程kxyk10可化为k(1x)y10，直线l过定点P(1,1)，且与线段AB相交，如图所示直线PA的斜率kPA4，直线PB的斜率kPB，则k4或k.故选A.答案：A16解析：线段AB的中点为M(2,1)，kAB，线段AB的垂直平分线方程为y12(x2)，即2xy30，ACBC，ABC的外心，重心，垂心都位于线段AB的垂直平分线上，ABC的欧拉线方程为2xy30，故选D.答案：D17解析：直线l的斜率存在且kl1m21，又直线l的倾斜角为，则有tan1，即tan<0或0tan1，根据正切函数在与上的图象，可得<<或0，即倾斜角的取值范围为.答案：课时作业48两条直线的位置关系与距离公式基础达标一、选择题12021·天津七校联考经过点(0,1)与直线2xy20平行的直线方程是()A2xy10B2xy10C2xy10D2xy1022021·湖南省邵阳市高三大联考过点(2,1)且与直线3x2y0垂直的直线方程为()A2x3y10B2x3y70C3x2y40D3x2y8032021·广东江门检测“a2”是“直线ax3y2a0和2x(a1)y20平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4经过点P(2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是()A4B1C1或3D1或452021·宁夏银川模拟若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A.B.C.D.6若直线l1的斜率k1，直线l2经过点A(3a，2)，B(0，a21)，且l1l2，则实数a的值为()A1B3C0或1D1或372021·四川凉山模拟若点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为()A.B.C.或D或8已知点P(1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为()Axy10Bxy0Cxy40Dxy092021·豫西五校联考过点P(1,2)作直线l，若点A(2,3)，B(4，5)到它的距离相等，则直线l的方程为()A4xy60或x1B3x2y70C4xy60或3x2y70D3x2y70或x110直线l通过两直线7x5y240和xy0的交点，且点(5,1)到直线l的距离为，则直线l的方程是()A3xy40B3xy40C3xy40Dx3y40二、填空题11平行于直线3x4y20，且与它的距离是1的直线方程为_122021·山东夏津一中月考过直线2xy10和直线x2y20的交点，且与直线3xy10垂直的直线方程为_132021·广东广州模拟若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点_14设直线l经过点A(1,1)，则当点B(2，1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为_能力挑战15已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大课时作业481解析：设所求直线的方程为2xya0，将(0,1)代入直线方程，得1a0，所以a1，故所求直线方程为2xy10.故选B.答案：B2解析：由题意，设直线方程为2x3yb0，把(2,1)代入，则43b0，即b7，则所求直线方程为2x3y70.故选B.答案：B3解析：直线ax3y2a0和2x(a1)y20平行的充要条件为即a2或a3.又“a2”是“a2或a3”的充分不必要条件，所以“a2”是“直线ax3y2a0和2x(a1)y20平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A4解析：由题意，知1，解得m1.故选B.答案：B5解析：由l1l2得(a2)a1×3，且a×2a3×6，解得a1，l1：xy60，l2：xy0，l1与l2间的距离d，故选B.答案：B6解析：l1l2，k1·k21，即×1，解得a1或a3.故选D.答案：D7解析：由点A和点B到直线l的距离相等，得，化简得6a43a3或6a43a3，解得a或a.故选D.答案：D8解析：线段PQ的中点坐标为(1,3)，直线PQ的斜率kPQ1，直线l的斜率kl1，直线l的方程为xy40.故选C.答案：C9解析：若A，B位于直线l的同侧，则直线lAB.kAB4，直线l的方程为y24(x1)，即4xy60；若A，B位于直线l的两侧，则直线l必经过线段AB的中点(3，1)，kl，直线l的方程为y2(x1)，即3x2y70.综上，直线l的方程为4xy60或3x2y70，故选C.答案：C10解析：由得交点坐标为(2,2)，当直线l的斜率不存在时，易知不满足题意直线l的斜率存在设直线l的方程为y2k(x2)，即kxy22k0，点(5,1)到直线l的距离为，解得k3.直线l的方程为3xy40.故选C.答案：C11解析：设所求直线方程为3x4yc0(c2)，则d1，c3或c7，即所求直线方程为3x4y30或3x4y70.答案：3x4y30或3x4y7012解析：由得交点坐标为(0,1)因为直线3xy10的斜率为3，所求直线与直线3xy10垂直，所以所求直线的斜率为，则所求直线的方程为y1x，即x3y30.答案：x3y3013解析：由题意知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于点(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)答案：(0,2)14解析：设点B(2，1)到直线l的距离为d，当d|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，kl，直线l的方程为y1(x1)，即3x2y50.答案：3x2y5015解析：(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，则点P就是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，则点P就是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)