广州华南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试卷含答案.pdf

试卷第 1 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 广州市华南师大附中广州市华南师大附中 2024 届高三上学期第一次调研届高三上学期第一次调研 数学数学试卷答案解析试卷答案解析 本试卷共本试卷共 5 页，页，22小题，满分小题，满分 150分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.考生注意事项：考生注意事项：1试卷分第试卷分第卷和第卷和第卷，第卷，第卷用卷用 2B 铅笔涂在答题卡上，第铅笔涂在答题卡上，第卷用黑色钢笔、签字笔在答题卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答；卡上作答；2质量监测时间质量监测时间 120 分钟，全卷满分分钟，全卷满分 150 分分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，每小题只有一项是符合题目要求的分，每小题只有一项是符合题目要求的 1已知集合()2log20Axx=N，21Axyx=N，则AB=（）A0,1,2 B1,2 C0,1 D 1【答案】C【分析】根据对数的单调性、一元二次不等式的解法，结合并集的定义进行求解即可.【详解】由()2log20021121xxxA 的部分图像如图所示，则，的值分别是（）A2，6 B2，3 C2，3 D4，56【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求，的值即可.【详解】设()f x的周期为T，则由图像知35934123124TT=，所以22T=，则()()2sin 2f xx=+，因为()f x在512x=处取得最大值，所以522,Z122kk+=+，得2,Z3kk=+，因为，所以0,3k=.故选：B 5 在数列 na中的相邻两项na与()*1nan+N之间插入一个首项为1nan，公差为1n的等差数列的前n项，试卷第 4 页，共 25 页 记构成的新数列为 nb，若21nan=+，则 nb前 65 项的和为（）A252 B-13 C272 D-14【答案】A【分析】根据题意，得到数列 nb中na及其后面n项的和为nS，()()1112nnn nSnan+=+求解.【详解】解：数列 nb为：1122233331121,1,1,1,233nna aa aaa aaaa an，1231,1,nnnnnnaaaaannn+，设na及其后面n项的和为nS，则()()()1111123222nnn nnSnann+=+=，所以数列 nS是以 1 为首项，公差为12的等差数列.所以 nb前 65 项的和为1210710 125222SSS+=，故选：A.6冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强基本再生数0R与世代间隔T是流行病学基本参考数据某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型()2rtW t=来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t随时间 t，Zt（单位：天）的变化规律，其中指数增长率r与基本再生数0R和世代间隔 T之间的关系近似满足01RrT=+，根据已有数据估计出04R=时，12T=据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W的 3 倍至少需要（参考数据：lg20.301，lg30.477）（）A6 天 B7 天 C8 天 D9 天【答案】B【分析】先求得r，然后根据“()0W的 3 倍”列方程，化简求得需要的时间.【详解】依题意，01RrT=+，且04R=时，12T=，即14112,4rr=+=，所以()142tW t=，()10W=，令()1423tW t=，两边取以10为底的对数得14lg34 0.477lg2lg3,6.34lg20.301tt=，所以至少需要7天.故选：B 试卷第 5 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 7如图，在长方形 ABCD中，2AB=，1BC=，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点现将AFD沿 AF 折起，使平面ABD 平面 ABC，在平面 ABD内过点 D 作DKAB，K为垂足 设AKt，则 t的取值范围是（）A10,4 B1 1,4 2 C1,12 D51,4【答案】C【分析】设DFx=，求得x关于t的表达式，根据x的取值范围求得t的取值范围.【详解】如图，在平面 ADF 内过点 D 作DHAF，垂足为H，连接HK 过点F作/FP BC，交AB于点P 设FAB=，2,5AEAC=，所以2 2 5cos,25 设DFx=，则12x 因为平面ABD 平面 ABC，平面ABD平面ABCAB=，DKAB，DK 平面 ABD，所以DK 平面 ABC，又AF 平面ABC，所以DKAF 又因为DHAF，DKDHD=，DK，DH 平面 DKH，所以AF 平面DKH，所以AFHK，即AHHK 在Rt ADF中，21AFx=+，221xDHx=+，因为ADF和APF都是直角三角形，PFAD=，试卷第 6 页，共 25 页 所以RtRtADFFPA，APDFx=因为AHDADF，22211,11xAHDHAHxAHADDFxx+=+，所以2211cos,1AHAPxxAKAFtx+=+，得1xt=因为12x，所以112t，所以112t 故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直、面面垂直转化的过程中，要从线面垂直得到面面垂直，需要“经过一个平面的垂线”；要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内，垂直于交线”，在答题过程中，要注意使用正确的符号语言.8 在直角坐标系xOy内，圆22:(2)(2)1Cxy+=，若直线:0l xym+=绕原点O顺时针旋转90后与圆C存在公共点，则实数m的取值范围是（）A2,2 B42,42 +C22,22 +D22,22+【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0lxym，然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解.【详解】连接OP，设POx=（即以x轴正方向为始边，OP为终边的角），由题意对于直线:0l xym+=上任意一点(),P x y，存在22,Raxy=+，使得()cos,sinP aa，则直线:0l xym+=绕原点O顺时针旋转90后，点()cos,sinP aa对应点为1cos,sin22P aa，即()1sin,cosP aa，因为()cos,sinP aa在直线:0l xym+=上，所以满足cossin0aam+=设11sin,cosxaya=，所以110yxm+=，即()1sin,cosP aa所在直线方程为1:0lxym，而圆22:(2)(2)1Cxy+=的圆心，半径分别为()2,2,1r=，试卷第 7 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 若直线:0l xym+=绕原点O顺时针旋转90后与圆C存在公共点，所以圆心()2,2C到直线1:0lxym的距离12mdr=，解得22m.故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解.二、多选题二、多选题 9某校举行演讲比赛，6 位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（）A评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数 B评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差 C评委对甲评分的 40%分位数为 7.8 D评委对乙评分的众数为 7.8【答案】ACD【分析】由平均数、方差、百分位数、众数的概念及求法分别求解判断即可.【详解】选项 A，评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630 x+=乙，所以xx”是“tan02”的必要不充分条件【答案】AC【分析】对于 A，利用象限角，求得角的范围，可判定充分性，取3=，验证必要性即可；对于 B，考查1sin2=时，的取值范围，可判定必要性不成立；对于 C，根据集合M，N的关系即可判定；对于 D，根据条件求得的取值范围即可判断.【详解】对于 A,因为为第一象限角，所以2 2,Z2kkk+，则,Z4kk k时，2 2,Zkkk+,则,Z22kkk，故充分性成立，当tan02时，,Z22kkk+，则2 2,Zkkk成立，所以“sin0”是“tan02”的充要条件，故 D 错误，故选：AC.11 椭圆C的标准方程为22121,82xyF F+=为椭圆的左、右焦点，点()2,1P12PFF的内切圆圆心为(),III xy，与1212,PF PF FF分别相切于点,D E H，则（）A1 262PF FS=B13x=C12 33y=D2 26PDPE=【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解1 2PF FS，再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C：22182xy+=，则2 2,2,826abc=，所以()()126,0,6,0FF，又()2,1P，所以点P再椭圆上，连接12,ID IE IH IP IF IF，则1 212112 6 1622PF FpSFFy=，故 A 不正确；由椭圆的定义可得1224 2PFPFa+=，试卷第 10 页，共 25 页 又12PFF的内切圆圆心为(),III xy，所以内切圆半径Iry=，由于1 21 212PF FIF FIF PIF PSSSS=+，所以()()121212121111164 22 622222IIIIIFFyPFyPFyyFFPFPFy=+=+=+，故2 62 334 22 6Iry=+，故 C 正确；又1122,PDPEDFFHEFHF=，所以121212124 2PFPFPDDFPEEFPDFHPEHFPDPEFF+=+=+=+=，则24 22 6PD=，所以2 26PDPE=，故 D 正确；又()()222261 011 4 62 23PF=+=，所以22263HFEFPFPE=，又HIxx=，所以663Ix=，即13x=，故 B 正确.故选：BCD.12已知函数()()exf xa x=+，()()lng xxax=+，则下列说法正确的是（）A若函数()yf x=存在两个极值，则实数a的取值范围为21,e B当1a=时，函数()yg x=在(0,)+上单调递增 C当1a=时，若存在1x，使不等式()()2()lnf mxfxxx+成立，则实数m的最小值为0 D当1a=时，若()()12(0)f xg xt t=，则()121 lnxxt+的最小值为1e【答案】BC【分析】对 A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对 B 选项：结合导数讨论单调性即可得；对 C 选项：结合()f x单调性，可转化为当1x时，有()1 lnmxx+成立，求出()1 lnxx+最小值即可得；对 D 选项：采用同构法可确定12exx=，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对 A 选项：()()()ee1 exxxfxxaxa+=+=+，若函数()yf x=存在两个极值，则函数()fx必有两个变号零点，令()()1 e0 xfxxa=+=，则()1 exax=+，令()()1 exh xx=+，则()()2 exh xx+=，试卷第 11 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 则当2x 时，()0h x，当，故()h x在(),2上单调递增，在()2,+上单调递减，故()()()22122 1 eeh xh=+=，又当1x 时，()()1 e0 xh xx=+恒成立，当x 时，()0h x，故当210,ea，函数()fx有两个变号零点，即若函数()yf x=存在两个极值，则实数a的取值范围为210,e，故 A 错误；对 B 选项：当1a=时，()(1)lng xxx=+，()11lnln1xgxxxxx=+=+，令()()xgx=，则()22111xxxxx=，则当()0,1x时，()0 x；故()x在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，故()()120gxg=，故函数()yg x=在(0,)+上单调递增；故 B 正确；对 C 选项：当1a=时，()()e1xf xx=+，()()()ee11 e1xxxfxxx=+=+，令()()m xfx=，则()()2 exm xx+=，则当2x时，()0m x 时，()0m x；故()m x在(),2上单调递减，在()2,+上单调递增，故()()2212e110efxf=+=，故()f x在R上单调递增，则存在1x，使不等式()()2()lnf mxfxxx+成立，等价于存在1x，使不等式()2lnmxxxx+成立，试卷第 12 页，共 25 页 则当1x时，有()1 lnmxx+成立，由当1a=时，()(1)lng xxx=+，且()yg x=在(0,)+上单调递增，故()1 1 ln10m+=，即实数m的最小值为0，故 C 正确；对 D 选项：当1a=时，由 B、C 可知，()f x、()g x均为定义域上的增函数，由()00f=，()10g=，故有1 0 x，21x，由()()12f xg x=，则()()1122e11 lnxxxx+=+，即()()()111122e1e1 lne1 lnxxxxxx+=+=+，故12exx=，又()()111e10 xf xtx=+，故()121 lnlnxxttt+=，令()lnn xxx=，则()1lnn xxx=+，令()()1lnp xn xxx=+，则()22111xpxxxx=，则当()0,1x时，()0p x；故()p x在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，即()()10n xn=，故()n x在()0,+上单调递增，故()n x无最小值，即()121 lnxxt+无最小值，故 D 错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中 D 选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.三、填空题三、填空题 13()622xxyy+的展开式中42x y的系数为 （用数字作答）【答案】40【分析】由二项式定理得到()62xy的通项公式，结合2xy+，得到34,T T，得到42x y的系数.【详解】()62xy的通项公式为()()66166C2C2rrrrrrrrTxyxy+=，试卷第 13 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 令2r=得，()22424236C260Tx yx y=，此时4242602120 x yx y=，令3r=得，()33333346C2160Tx yx y=，此时3342160160 xx yx yy=，故42x y的系数为120 16040=故答案为：40 14设数列 na满足12a=，26a=，且2122nnnaaa+=，若 x表示不超过x的最大整数，则122021202120212021aaa+=【答案】2020【分析】根据题意，得到()()2112nnnnaaaa+=，得到1nnaa+为等差数列，求得其通项公式，结合累加法，得到(1)nan n=+，求得2021112021()1nann=+，再利用裂项求和，求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022aaa+=，即可求解.【详解】因为2122nnnaaa+=，可得()()2112nnnnaaaa+=，又因为12a=，26a=，可得214aa=，所以数列1nnaa+是首项为4，公差为2的等差数列，所以14(1)222nnnana+=+=+，当2n 时，112211()()()nnnnnaaaaaaaa=+(1)22(1)2 222(1)2n nnnn n+=+=+，且当1n=时，12a=也成立，所以()1nan n=+，所以202111120212021()(1)1nan nnn=+，所以122021202120212021111112021(1)()()22320212022aaa+=+120212021(1)2021(2020,2021)20222022=，所以1220212021202120212020aaa+=.故答案为：2020.试卷第 14 页，共 25 页 15已知椭圆 22221(0)xyCabab+=：的左右焦点为12,F F直线ykx=与椭圆C相交于,P Q两点，若112PFQF=，且123PFQ=，则椭圆C的离心率为 【答案】33【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF为平行四边形，再根据椭圆的定义求出12,PFPF，再在12PFF中，利用余弦定理求出,a c的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF为平行四边形，则21PFQF=，由123PFQ=，得123FPF=，因为112PFQF=，所以122PFPF=，又122PFPFa+=，所以1242,33aaPFPF=，在12PFF中，由余弦定理得222121212122cosFFPFPFPF PFFPF=+，即2222164421442993323aaaaac=+=，所以33ca=，即椭圆的离心率33cea=.故答案为：33.16已知 A，M，N 是棱长为 1 的正方体表面上不同的三点，则AM AN 的取值范围是 【答案】1,32【分析】根据正方体的性质可得3cos,aAM ANAM AN=结合夹角的定义可得3a，可得其最大值；根据数量积的运算可知24 MNa，可得其最小值.试卷第 15 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度2221113d=+=，则,AMANd，故3cos,aAM ANAM AN=，而cos,1,1AM AN ，故3a，如图建立空间直角坐标系，取()0,0,0A，,M N重合为()1,1,1时，则()()1,1,11,1,13a=，取得最大值3；由对称性，设A在下底面，(),AMx y z=，(),ANa b c=，由A在下底面知0,0,0zczc，当且仅当,M N也在下底面时取等，此时,A M N共面时，设MN中点为E，则EMEN=，()()()()()22224MNaAM ANAEEMAEENAEENEN=+=，当且仅当,A E重合时取等，又因为2MN ，可得2142 aMN，例如1 1,02 2A，()()1,0,0,0,1,0MN，则111 11,0,0222 22aAM AN=；所以AM AN 的取值范围是1,32.故答案为：1,32.四、解答题（共四、解答题（共 7070 分）分）17（本题 10 分）如图，在ABC中，6ABAC=，点D是边BC上一点，且2 2,cos3ADABCAD=，2AEEB=试卷第 16 页，共 25 页 (1)求BCE的面积；(2)求线段AD的长.【答案】(1)4 2(2)3 2=AD 【分析】（1）根据13BCEABCSS=求解即可；（2）解法 1：在ABC中根据余弦定理求出BC，结合等腰三角形的性质求cosB，在ABD中勾股定理求AD即可；解法 2：由ABCABDACDSSS=+求得AD.【详解】（1）12,3BCEABCAEEBSS=，而11sin6 6 sin222ABCSAB ACBACCAD=+2 218cos1812 2,3CAD=14 23BCEABCSS=.（2）解法 1：()22 281cos,0,sin1 cos1393CADCADCADCAD=，1coscossin23CABCADCAD=+=，在ABC中，22212cos36362 6 6963BCABACAB ACCAB=+=+=，4 6,BC=在等腰ABC中，12 662cos63BCBBA=，RtABD中，66cos,3 63BABBDBDBD=，2254363 2ADBDBA=.解法 2：()22 281cos,0,sin1 cos1393CADCADCADCAD=，试卷第 17 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 由ABCABDACDSSS=+得，1112 266sin22ADADCAD=+,即()11112 266223ADAD=+，解得3 2=AD.18（本题 12 分）已知数列 na的前n项和为nS，11a=，且满足()()11112nnnSnSn n+=+.(1)求数列 na的通项公式；(2)设()23cos nannban=+，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)nan=(2)()()()()11133,24133,.24nnnn nnTn nn+=+为偶数为奇数 【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12nn nS+=，结合1nnnaSS=即可求解；（2）由（1）知()()213nnnbn=+，利用分组求和法计算即可求解.【详解】（1）根据题意，()()11112nnnSnSn n+=+，所以1112nnSSnn+=+，由于1111Sa=，则nSn是以首项为 1，公差为12的等差数列，所以()111122nSnnn+=+=，所以()12nn nS+=，当2n 时，1(1)(1)22nnnn nnnaSSn+=.验证1n=时11a=满足通项公式，故数列na的通项公式为nan=.（2）由（1）知()()()223cos 13nnnannbann=+=+.设()21nn的前n项和为nA，则当n为偶数时，()22222212341nAnn=+()()()()()()2 12 1434311nnnn=+试卷第 18 页，共 25 页()()1123412n nnn+=+=.当n为奇数时，()()2211122nnnnn nAAnn+=，设()3n的前n项和为nB，则()()()1313331 34nnnB+=+.因为=+nnnTAB，所以()()()()11133,24133,.24nnnn nnTn nn+=+为偶数为奇数 19（本题 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAD为等边三角形，ADCD，/ADBC，且22ADBC=，3CD=，6PB=，E为AD中点 (1)求证：平面PAD 平面ABCD；(2)若线段PC上存在点Q，使得二面角QBEC的大小为60，求CQCP的值【答案】(1)证明见解析(2)12 【分析】（1）首先连接PE，根据线面垂直的判定定理证明PE 平面ABCD，再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD 平面ABCD.（2）设()01CQCP=,再利用向量法求二面角QBEC的平面角，再列方程得到12=，即得CQCP的值【详解】（1）证明：连接PE，试卷第 19 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 PAD是边长为2的等边三角形，E是AD的中点，PEAD，3PE=，/DEBC，DEBC=，ADCD，四边形BCDE是矩形，3BECD=，222PEBEPB+=，PEBE，又ADBEE=，AD，BE 平面ABCD，PE平面ABCD，又PE 平面PAD，平面PAD 平面ABCD（2）以E为原点，以EA，EB，EP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()0 03P，()13 0C ，()03 0B，()0,0,0E()03 0EB=，()10 0BC=，()133CP=，设()01CQCP=，则()133BQBCCQBCCP=+=+=，设平面QBE的法向量为(),mx y z=，则00m EBm BQ=，即()301330yxyz=+=，令1z=，得()3 01m=，又PE 平面ABCD，()0 01n=，为平面BEC的一个法向量，试卷第 20 页，共 25 页 221cos3(1)m nmnm n=+，二面角QBEC的大小为60，221123(1)=+，解得12=12CQCP=20（本题 12 分）2023 年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取 200 名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩低于 60 分的同学中按分层抽样方法抽取 5 人成绩，求 5 人中成绩低于 50 分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为K）.【答案】(1)2人(2)71(3)88K 【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可；（2）利用平均数公式求解即可；（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为)80,90K，则()900.0250.050.1K+=，求出K的值即可.【详解】（1）成绩在)40,50的人数为0.01 1020020=（人），成绩在)50,60的人数为0.015 10 20030=（人），则按分层抽样方法从成绩低于 60 分的同学中抽取 5 人，试卷第 21 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 成绩低于 50 分的人数为20522030=+（人）.故 5 人中成绩低于 50 分的人数为 2 人；（2）由()0.01 0.0150.0150.0250.005101a+=，得0.030a=，则平均数45 0.1 55 0.1565 0.1575 0.385 0.2595 0.0571x=+=，故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分；（3）根据频率分布直方图可知：90,100的频率为0.005 100.05=，)80,90的频率为0.025 100.25=，所以入围复赛的成绩一定在)80,90，可知入围复赛的成绩的临界值为)80,90K，则()900.0250.050.1K+=，解得88K=，故估计入围复赛的成绩为88K 分.21（本题 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，斜率为 2 的直线 l与 x 轴交于点 M，l与 C 交于 A，B 两点，D是 A 关于 y轴的对称点当 M与原点 O 重合时，ABD面积为169(1)求 C 的方程；(2)当 M异于 O点时，记直线BD与 y 轴交于点 N，求OMN周长的最小值【答案】(1)22142xy+=(2)22+【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求OMN的周长，则需把各边长一一算出，即需把Mx、Ny算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Mx、Ny，可得OMN各边边长，结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当 M与原点 O重合时，可设()00,A xy，则有()00,Bxy、()00,Dxy，且002yx=，即有ADBD,则()()00001116229ABDSADBDxxyy=+=，试卷第 22 页，共 25 页 即201649x=，又00 x，故023x=，则043y=，即有22416199ab+=，由离心率为22，即22ca=，则22222acbc=+，故222ab=，即有224161189bb+=，解得22b=，故24a=，即 C的方程为22142xy+=；（2）设直线l方程为2yxt=+，令0y=，有2tx=，即2Mtx=，设点()11,A x y、()22,B xy，则()11,Dx y，联立直线与椭圆方程：222142yxtxy=+=，消去y有2298240 xtxt+=，()2226436 2414480ttt=，即3 23 2t，有1289txx+=，212249tx x=，BDl为()122212yyyxxyxx=+，令0 x=，故21222122122221122121212Nx yx yx yx yx yx yx yx yyyxxxxxx+=+=+，由2yxt=+，故()()2112211212121212224xxtxxtx yx yx xtxxxxxx+=+，其中2121224198429tx xttxxt=+，即12442Ntyttt=+=，则22222424OMNNMNMttCyxyxtt=+=+2224222224tttt+=+，当且仅当2t=时等号成立，试卷第 23 页，共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 故OMN周长的最小值为22+.【点睛】本题考查了椭圆的方程，在求解直线与椭圆的位置关系问题时，常用方法是设而不求，借助韦达定理等手段，将多变量问题转变为单变量问题，再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22（本题 12 分）已知函数21()ln2f xxxax=+(1)当12a=时，求在曲线()yf x=上的点(1,(1)f处的切线方程；(2)讨论函数()f x的单调性；(3)若()f x有两个极值点1x，2x，证明：()()121222f xf xaxx，在定义域()0,+内分类讨论解含参不等式即可求出；（3）由题意得2a，12xxa+=，121=x x，而()()1212f xf xxx1212lnln12xxaxx=，只需证明1212lnln2xxxx，即证：11111lnln2xxxx+，即证：1111ln xxx 当2a 时，()120fxxaax=+则()f x在(0,)+上单调递增 当2a 时，()2110 xaxfxxaxx+=+=则2142aax=，2242aax+=令()0fx，则10 xx()0fx，则12xxx时，()f x在240,2aa和24,2aa+上单调递增，()f x在2244,22aaaa+上单调递减（3）()f x有两个极值1x，2x，1x，2x是方程210 xax+=的两个不等实根，则2a，12xxa+=，121=x x，()()2211122212121211lnln22xxaxxxaxf xf xxxxx+=()()()121212121212121lnlnlnln122xxxxxxa xxxxaaxxxx+=+1212lnln12xxaxx=要证：()()121222f xf xaxx即证：1212lnln2xxxx，即证：11111lnln2xxxx+即证：1111ln xxx则()22211110 xxfxxxx+=从而()f x在(1,)+上单调递减，故()(1)0f xf=所以()()121222f xf xaxx”是“tan02”的必要不充分条件 11 椭圆C的标准方程为22121,82xyF F+=为椭圆的左、右焦点，点()2,1P12PFF的内切圆圆心为(),III xy，与1212,PF PF FF分别相切于点,D E H，则（）A1 262PF FS=B13x=C12 33y=D2 26PDPE=12已知函数()()exf xa x=+，()()lng xxax=+，则下列说法正确的是（）A若函数()yf x=存在两个极值，则实数a的取值范围为21,e B当1a=时，函数()yg x=在(0,)+上单调递增 C当1a=时，若存在1x，使不等式()()2()lnf mxfxxx+成立，则实数m的最小值为0 D当1a=时，若()()12(0)f xg xt t=，则()121 lnxxt+的最小值为1e 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13()622xxyy+的展开式中42x y的系数为 （用数字作答）14设数列 na满足12a=，26a=，且2122nnnaaa+=，若 x表示不超过x的最大整数，则122021202120212021aaa+=15已知椭圆 22221(0)xyCabab+=：的左右焦点为12,F F直线ykx=与椭圆C相交于,P Q两点，若试卷第 4 页，共 5 页 112PFQF=，且123PFQ=，则椭圆C的离心率为 16已知 A，M，N 是棱长为 1 的正方体表面上不同的三点，则AM AN 的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题 10 分）如图，在ABC中，6ABAC=，点D是边BC上一点，且2 2,cos3ADABCAD=，2AEEB=(1)求BCE的面积；(2)求线段AD的长.18（本题 12 分）已知数列 na的前n项和为nS，11a=，且满足()()11112nnnSnSn n+=+.(1)求数列 na的通项公式；(2)设()23cos nannban=+，求数列 nb的前n项和nT.19（本题 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAD为等边三角形，ADCD，/ADBC，且22ADBC=，3CD=，6PB=，E为AD中点 (1)求证：平面PAD 平面ABCD；(2)若线段PC上存在点Q，使得二面角QBEC的大小为60，求CQCP的值 20（本题 12 分）2023 年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取 200 名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：试卷第 5 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 (1)若从成绩低于 60 分的同学中按分层抽样方法抽取 5 人成绩，求 5 人中成绩低于 50 分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为K）.21（本题 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，斜率为 2 的直线 l与 x 轴交于点 M，l与 C 交于 A，B 两点，D是 A 关于 y轴的对称点当 M与原点 O 重合时，ABD面积为169(1)求 C 的方程；(2)当 M异于 O点时，记直线BD与 y 轴交于点 N，求OMN周长的最小值 22（本题 12 分）已知函数21()ln2f xxxax=+(1)当12a=时，求在曲线()yf x=上的点(1,(1)f处的切线方程；(2)讨论函数()f x的单调性；(3)若()f x有两个极值点1x，2x，证明：()()121222f xf xaxx