江苏省扬州市2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学含答案.pdf

20232024 学年第一学期期末检测高 三 数 学 2024.01一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求)1已知集合 A(x，y)|x2y22，B(x，y)|xy2，则 AB 中元素个数为()A0 B1 C2 D32若复数 z 满足(34i)z|43i|，则在复平面内 z 对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知平面向量a(1，3)，b(1，2)，则a在b上的投影向量为()A(1，2)B(1，2)C(1，3)D(110，15)4计算机在进行数的计算处理时，通常使用的是二进制一个十进制数 n(nN*)可以表示成二进制数(a0a1a2ak)2，kN，则 na02ka12ak20，其中 a01，当 k1 时，ak(0，1)例如 20241210129128127126125024123022021020，则十进制数 2024 表示成二进制数为(11111101000)2那么，二进制数(11111111111)2表示成十进制数为()A1023 B1024 C2047 D20485若 ab1，xlnab2，y12(lnalnb)，z lnalnb，则()Axzy Byzx Czxy Dzyx6已知函数 f(x)的导数为 f(x)，对任意实数 x，都有 f(x)f(x)0，且 f(1)1，则 f(x)e的解集为()A(，1)B(1，)C(1，1)D(，1)(1，)7已知 02，sinsin110，coscos710，则 cos2()A0 B725 C2425 D18在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2y24，若正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦，则 OC 的最大值为()A 6 2 B2 5 C2 22 D5二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项11 位11 位江苏省扬州市2023-2024学年高三上学期1月期末考试 数学含答案符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分)9已知函数 f(x)x(exae)是奇函数或偶函数，则 yf(x)的图象可能是()A B C D10将两组数据合并成一组数据后(可以有重复的数据)，下列特征数一定介于合并前两组数据的该种特征数之间(可以取等)的有()A平均数 B极差 C标准差 D中位数11已知 f(x)sin(x4)(0)，若 p：2，且 p 是 q 的必要条件，则 q 可能为()Af(x)的最小正周期为 Bx4是 f(x)图象的一条对称轴Cf(x)在0，4上单调递增 Df(x)在4，2上没有零点12棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列选项中正确的有()A过 A1C 的平面截此正方体所得的截面为四边形B过 A1C 的平面截此正方体所得的截面的面积范围为2 6，4 2C四棱锥 CA1B1C1D1与四棱锥 C1ABCD 的公共部分为八面体D四棱锥 CA1B1C1D1与四棱锥 C1ABCD 的公共部分体积为23三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13若(xax)6展开式中的常数项为 120，则实数 a 的值为 14某圆台的上下底面半径分别为 1 和 2，若它的外接球表面积为 16，则该圆台的高为 15已知椭圆 C：xayb1(ab0)的右焦点为 F，M 是 OF 的中点，若椭圆 C 上到点 M 的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆 C 的离心率的取值范围为 16有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为25，被标记为垃圾邮件的有110的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有110的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤(即垃圾邮件被标记为垃圾邮件)的概率为 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a4b，C3(1)求 tanA：(2)若 c1，求ABC 的面积18(本小题满分 12 分)已知数列an、bn满足 a13，b11，an13anbn，bn1an3bn(1)证明：数列anbn是等比数列；(2)求数列an的通项公式19(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD 为等边三角形，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，平面 PAD平面 ABCD，M、N 分别为 AD、PB 的中点，且 PB 6(1)求证：BCMN；(2)求二面角 APBC 的余弦值20(本小题满分 12 分)某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为 200 元/人，赔付金额为 5 万元/人假设该保险产品的客户为 10000 名，每人被赔付的概率均为 0.25%，记 10000 名客户中获得赔偿的人数为 X(1)求 E(X)，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若 XB(n，p)，则D(X)np(1p)，当 n 较大且 p 较小时，我们为了简化计算，常用 E(X)的值估算 D(X)的值请根据上述信息，求：该公司今年这一款保险产品利润为 50100 万元的概率；该公司今年这一款保险产品亏损的概率参考数据：若 XN(，2)，则 P(X)0.683，P(3X3)0.99721(本小题满分 12 分)已知双曲线 E：xayb1(a0，b0)的离心率为62，且左焦点 F 到渐近线的距离为3过 F 作直线 l1、l2分别交双曲线 E 于 A、B 和 C、D，且线段 AB、CD 的中点分别为M、N(1)求双曲线 E 的标准方程；(2)若直线 l1、l2斜率的乘积为15，试探究：是否存在定圆 G，使得直线 MN 被圆 G 截得的弦长恒为 4?若存在，请求出圆 G 的标准方程；若不存在，请说明理由22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)(lnxm)x 的最小值为1(1)求实数 m 的值；(2)若 f(x)a 有两个不同的实数根 x1，x2(x1x2)，求证：2x2x1x2(a1)e第 1 页（共 5 页）2023202320242024 学年第一学期期末检测学年第一学期期末检测 高三数学参考答案 2024.01 1B 2A 3B 4C 5D 6A 7A 8C 9BC 10AD 11AC 12ABD 138 143 151(0,2 1667 17.【答案】(1)在ABC 中，由正弦定理得：sinsinabAB，又因为4ab，所以sin4sin4sin()4sin()ABBAC，又因为3C，所以13sin4sin()4(sincos)2sin2 3cos322AAAAAA，所以sin2 3cosAA，3 分 因为(0,)A，所以sin0A，所以cos0A，所以sintan2 3cosAAA 5 分(2)方法一：在ABC 中，由余弦定理得：2222coscababC，又1c，4ab，3C，所以221 1624cos3bbb b，解得2113b，8 分 所以21133sin4322213ABCSabCb bb 10 分 方法二：由(1)知sin2 3cosAA，又22sincos1AA，解得212sin13A.在ABC 中，由余弦定理得sinsinacAC，所以2222sin16sin13cAaC，8 分 所以211333sin22421613ABCaSabCaa.10 分 18.【答案】(1)因为13nnnaab，13nnnbab，所以11444()nnnnnnababab，2 分 又13a，11b，所以1140ab，所以nnab各项均不为 0，3 分 所以114nnnnabab是常数，所以数列nnab是等比数列 5 分(2)由(1)知，4nnnab.6 分 方法方法一一：因为13nnnaab，13nnnbab，所以11222()nnnnnnababab，8 分 又13a，11b，所以1120ab，所以nnab各项均不为 0，所以112nnnnabab是常数，#QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=#公众号：高中试卷君第 2 页（共 5 页）所以数列nnab是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以2nnnab.+：242nnna，所以1(42)2nnna.12 分 方方法二法二：因为13nnnaab，4nnnab，所以124nnnaa，8 分 所以111222nnnnnaa，所以2n 时，221111112222122222nnnnnaaa ，所以21122(2)nnnan，又1n 时，上式也成立，所以1(42)2nnna 12 分 19【答案】(1)方法一：方法一：连结PM，MB，BD.因为PAD为等边三角形，M是AD的中点，所以PMAD.又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PM 平面PAD，所以PM 平面ABCD.2 分 因为MBBC、平面ABCD，所以PMMB，PMBC.在RtPMB中，3PM，6PB，所以223MBPBPM，在MAB中，1MA，2AB，所以222MAMBAB，所以2AMB，则MBAD.4 分 又ADBC，所以BCMB，又因为BCPM，PMMBM，PMMB、平面PBM，所以BC 平面PBM，又MN 平面PBM，所以BCMN.6 分 ABCDPMNxyz ABCDPMNxyzQ(方法一图)(方法二图)方法二：方法二：连结PM，因为PAD为等边三角形，M是AD的中点，所以PMAD.又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PM 平面PAD，所以PM 平面ABCD.2 分 如图，在平面ABCD内，作MQMA，分别以,MA MQ MP为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A，(0,0,3)P.设(,0)C a b（0b），则(2,0)B ab.因为2AB，所以22(1)4ab.因为10PC，所以22310ab.4 分 由，解得：2a ，3b（舍负）.所以(2,3,0)C，(0,3,0)B，因为N为PB的中点，所以33(0,)22N，所以(2,0,0)BC ，33(0,)22MN，所以0BC MN，所以BCMN 6 分#QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=#公众号：高中试卷君第 3 页（共 5 页）(2)由(1)可知，PM 平面ABCD，又MAMB、平面ABCD，所以PMMA，PMMB，又ADMB，所以以M点为坐标原点，MA、MB、MP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(1,0,0)A，(0,3,0)B，(0,0,3)P，(0,0,0)M.因为3MPMB，N为PB的中点，所以MNPB，33(0,)22N，由(1)知MNBC，又PBBCB，PBBC、平面PBC，所以MN 平面PBC，所以33(0)22MN，为平面PBC的一个法向量.8 分 设(,)nx y z为平面PAB的一个法向量，则0,0.n ABn AP 因为(1,3,0)AB ，(1,0,3)AP ，所以30,30,xyxz 取1y，则3x，1z，则(3,1,1)n 为平面PAB的一个法向量.10 分 所以2222223303111022cos,5330()()(3)1122MN nMN nMNn，11 分 由图可知二面角APBC的平面角为钝角，所以二面角APBC的余弦值为105.12 分 20【答案】(1)由题可知(10000,0.25%)XB，则()10000 0.002525E X，2 分 记该公司今年这一款保险产品利润为变量Y，则2005YX，所以()(2005)2005()75E YEXE X万元.4 分(2)因为(,)XB n p，当n较大且p较小时，()25E X，则()25D X.由于n较大，2(,)XN，其中()25E X，2()25D X，6 分 若该公司今年这一款保险产品利润2005(50,100)YX，则(20,30)X，(2005(50,100)(2030)()0.683P YXPXPX；9 分 若该公司今年这一款保险产品利润20050YX，则40X，10.997(20050)(40)(3)0.00152P YXP XP X.11 分 答：(1)()25E X，该公司今年这一款保险产品利润的期望为 75 万元；(2)该公司今年这一款保险产品利润为 50100 万元的概率为0.683；亏损的概率为0.0015.12 分 21【答案】(1)因为双曲线2222:1xyEab的渐近线方程为0bxay，左焦点(,0)Fc，所以226,23,cabcba则3b，又222abc，所以22332aa，所以26a，故双曲线E的标准方程为22163xy.4 分#QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=#公众号：高中试卷君第 4 页（共 5 页）(2)由题设可知11:(3)lyk x，22:(3)lykx.设11(,)A x y，22(,)B xy，则由122(3),26yk xxy得2222111(12)121860kxk xk，所以2112211212kxxk，又M是AB的中点，所以2121612Mkxk，2111221163(3)1212Mkkykkk，则211221163(,)1212kkMkk.同理222222263(,)1212kkNkk.6 分 思路一：思路一：若MNxx，即22122212661212kkkk，即22221221(12)(12)kkkk，即2212kk，又1215k k ，则221215kk，此时2MNxx，此时:2MN x，由图形的对称性，猜测直线MN过x轴上一定点(2,0)T.8 分 下面，验证一般性：121122112131236102212MTkkkkkkk，21122221113()353110210210()25NTkkkkkkk，则MTNTkk，所以M、T、N三点共线.综上，直线MN过定点(2,0)T.10 分 所以存在定圆22:(2)4Gxy，使得直线MN被圆G截得的弦长恒为 4.12 分 思路思路二二：若MNxx，则21222221211212222222212112122221331212(12)(12)12662(12)2(12)2()1212MNkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkk，又1215k k ，所以12111112()3511022()5MNkkkkk，所以直线MN的方程为2111222111336()1210212kkkyxkkk，即21111222211113363102102 1212kkkkyxkkkk，即11221136102102kkyxkk，即1213(2)102kyxk，所以直线MN过定点(2,0).9 分 若MNxx，即22122212661212kkkk，即22221221(12)(12)kkkk，即2212kk，又1215k k ，则221215kk，此时2MNxx，此时:2MN x 也过(2,0).故直线MN过定点(2,0)T.10 分 所以存在定圆22:(2)4Gxy，使得直线MN被圆G截得的弦长恒为 4.12 分#QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=#公众号：高中试卷君第 5 页（共 5 页）22【答案】(1)因为()ln1fxxm（0 x），所以当1(0,e)mx时，()0fx，()f x单调递减；当1(e,)mx时，()0fx，()f x单调递增 所以11min()(e)e1mmf xf ，所以1m.4 分(2)由(1)知，()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，又当(0,e)x时，()0f x，当(e,)x时，()0f x，所以1201exx，10a.5 分 先证明：先证明：122xx.记()()(2)ln(2)ln(2)22g xf xfxxxxxx，则()lnln(2)ln(2)g xxxxx，当(0,1)x时，0(2)1xx，所以()0g x，()g x单调递减，所以当(0,1)x时，()(1)0g xg，即()(2)f xfx，故11()(2)f xfx，即21()(2)f xfx 又211,21xx，由单调性可知：212xx，即122xx.8 分 再证明：再证明：21(1)exxa.记函数ya与1yx 和2ee1xy交点的横坐标分别为34,xx.当(0,1)x时，()ln0f xxxx，故311()axf xx ，所以，13xxa.【或：()yf x的图象在1yx 的图象的下方，且两个函数在(0,1)上都是减函数】当(1,e)x时，记ee()()lne1e1xxh xf xxxx，所以1()lne1h xx.当1e 1(1,e)x时，()0h x，()h x单调递减；当1e 1(e,e)x时，()0h x，()h x单调递增 又(1)(e)0hh，所以当(1,e)x时，()0h x，即e()e1xf x.故422ee()e1e1xxaf x，所以24eexxaa，故2143(1)exxxxa.【或()yf x的图象在2ee1xy的图象的下方，且两个函数在(1,e)上都递增】综上，2122(1)exxxa 12 分#QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=#公众号：高中试卷君