河北省唐山市2024届高三上学期期末数学试题含解析.docx

唐山市2023-2024学年度高三年级第一学期期末考试数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内，复数的对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案.【详解】由题得，所以在复平面内该复数对应的点的坐标为，该点在第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 已知集合满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的定义可得出集合是集合的子集.【详解】由，得集合是集合的子集，即，即.故选：C.3. 已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心到直线的距离，解得，故的取值范围是.故选：A4. 已知函数满足，则实数m的值为（ ）A B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用给定的分段函数，依次代入计算即可得解.【详解】函数，所以.故选：B5. 在正方体的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（ ）A. 16个B. 12个C. 10个D. 8个【答案】C【解析】【分析】根据正方体以及正三棱锥的结构特征分析判断.【详解】如图，以为顶点，可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有8个；可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有2个；其余情况均不合题意，所以符合条件的正三棱锥的个数为.故选：C.6. 已知函数是偶函数，则（ ）A. 3B. 0C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义与性质结合对数运算分析求解.【详解】因为函数是偶函数，则，结合的任意性可得，可得，则，即，若，则，令，解得或，可知的定义域为，关于原点对称，符合题意；若，则，可知的定义域为，不关于原点对称，不符合题意；综上所述：.故选：A.7. 已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线过定点以及正弦函数图象，求得在处的切线斜率并结合图象即可求得实数a的取值范围.【详解】易知直线恒过定点，且的周期为，也过；画出函数的图象如下图实线部分所示：若两函数图象有3个交点可知，直线的斜率；若直线与相切，可得，易知，则，结合图象可知时满足题意.故选：D8. 已知双曲线：的左、右焦点为，P为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（ ）A. 2B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的关系可得，再根据通径可得，结合内切圆的性质以及面积关系可得，即可得离心率.【详解】因为，即，可得，又因为，可知，可得，设的内切圆的半径为，由题意可得：，即，由的面积可知：，即，整理得，即，解得，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】方法点睛：双曲线离心率（离心率范围）的求法：求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（ ）A. B. C. D. 平面【答案】CD【解析】【分析】取的中点，连接，建系，利用空间向量逐项分析判断.【详解】取的中点，连接，由题意可知：，因为平面，且平面，可得，则，即两两垂直，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，对于选项A：因为，即不相互垂直，故A错误；对于选项B：因为，即不相互平行，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：因为，所以平面，故D正确；故选：CD.10. 已知m，n都是正整数，且，下列有关组合数的计算，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】对A、C：借助组合数的性质计算即可得；对B：举出反例即可得；对D：由，借助的系数关系与组合数的性质计算即可得.【详解】对于A，因为，所以，即A正确；对于B，当、时，左边，右边，等式不成立，故B不正确；对于C，故C正确；对于D，因为，等式左边系数为：，等式右边的系数为：，所以，故D正确.故选：ACD.11. 已知函数的定义域为R，则以下选项正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，且为奇函数，则D. 若，且，则为奇函数【答案】AC【解析】【分析】根据题意结合奇函数的定义逐项分析判断.【详解】已知函数的定义域为R，对于选项A：若，则，故A正确；对于选项B：例如，满足，但，不满足，故B错误；对于选项C：若，且为奇函数，则，可得，故C正确；对于选项D：例如，满足，且，但，不满足，即不为奇函数，故D错误；故选：AC.12. 数列的通项公式为，下列命题正确的为（ ）A. 先递增后递减B. 为递增数列C. ，D. ，【答案】BD【解析】【分析】借助二项式定理可得，即可得A、B，借助导数可证明恒成立，即可得C、D.【详解】对A、B：，由、，故，即数列为递增数列，故B正确、A错误；对C、D，假设，即需要证明，即证，即证，即证，即证，令，故在上单调递减，故，故对，有，故，故D正确，C错误.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题A、B选项关键在于借助二项式定理从而比较与的大小关系，C、D选项关键在于构造函数，借助导数证明在上小于零恒成立，从而得到恒成立.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，若与共线，则实数_【答案】【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为与共线，所以，解得.故答案为：.14. 已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为_【答案】【解析】【分析】利用弧长公式和圆的周长公式求出底面半径，然后可得表面积.【详解】如图，设圆锥底面半径为r，则，解得，所以，该圆锥的表面积为.故答案为：15. 已知抛物线，圆，过点M的直线l与E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点（A，C都在x轴上方），若，则直线l的斜率为_【答案】【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程消去y，利用韦达定理和抛物线定义即可求解.【详解】如图，由题意可知，直线的斜率，设，直线的方程为，联立，消去y得，则，因为，所以，由抛物线定义可得，即，所以，整理得，解得或（舍去），所以.故答案为：16. 已知函数，A，B是直线与曲线的两个交点，若的最小值为，则_【答案】【解析】【分析】设直线与曲线的两个交点，则，再由的最小值为，求出，由，求出，进而求出.【详解】因为A，B是直线与曲线的两个交点，设则有两个根，即，又因为=，所以，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.四解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在中，角的对边分别为，（1）求；（2）设边的中线，且，求的面积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）在和中，分别利用余弦定理结合，求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】因为，由正弦定理得，又因，所以，所以，又，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以；【小问2详解】在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，因为，所以，则，所以，则，所以，故，解得或（舍去），所以的面积18. 目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的BMI数值标如下表所示：BMI18.528体重情况过轻正常超重肥胖为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工、50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，并进行分类统计，如右表所示：性别BMI合计过轻正常超重肥胖男106011990女15255550合计25851614140（1）参照附表，对小概率值a逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的a的一个值；（2）在该单位随机抽取一位职工的BMI值，发现其BMI值不低于28由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小a0.10050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：【答案】（1）0.1 （2）不能；是男性的可能性大于女性【解析】【分析】（1）列出体重是否正常与性别的关系的列联表，根据列联表计算出卡方，结合附表即可判断；（2）分别计算出该职工的性别是男还是女的概率即可得.【小问1详解】由表可得到与体重是否正常与性别之间的列联表：正常不正常合计男603090女252550合计8555140则，由，故能认为职工体重是否正常与性别有关联的a的值为0.1；【小问2详解】设事件为“抽到的员工为男员工”、设事件为“抽到的员工BMI值不低于28”，则，即不能认为该职工的性别是男还是女的可能性相同，且是男性的可能性大于女性.19. 记为数列的前n项和，当时,且（1）求，；（2）（i）当n为偶数时，求的通项公式；（）求【答案】19. ，. 20. （i）（n为偶数）；（）【解析】【分析】（1）根据递推公式令、结合运算求解；（2）（i）根据递推公式可得，利用构造法求通项公式；（）根据递推公式可得，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】令，可得；令，可得；因为，可得，.【小问2详解】（i）当n为偶数时，则，可得，且，可知数列的偶数项成首项为，公比为的等比数列，则，所以（n为偶数）；（）当n为偶数时，则，即，可得，所以，所以.20. 如图，在四棱锥中，底面，（1）求证：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见详解 （2）【解析】【分析】（1）由底面ABCD，得，由，可知，从而平面，所以；（2）以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，由两平面夹角公式可得，从而得解.【小问1详解】因为底面ABCD，底面，所以，又，则为直角梯形，可得，且，所以，又平面，平面，所以平面，平面，所以；【小问2详解】由（1）可知，两两垂直，以所在直线轴，建立空间直角坐标系，则，又，所以，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，又平面的法向量为，由已知，解得，所以，.21. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）直线与C相交于A，B两点，若直线AF，BF的倾斜角互补，求面积的最大值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将点代入后，结合计算即可得；（2）借助韦达定理表示出A，B两点横坐标的关系，由直线AF，BF的倾斜角互补可得其斜率之和为，可得与的关系，结合三角形面积公式与基本不等式即可得.【小问1详解】由，故，即，由在椭圆上，故，即有，即，整理得，即，故或（舍），故，即椭圆C的方程为；【小问2详解】设、，联立直线与椭圆方程，可得，消去可得，即，、，由直线AF，BF的倾斜角互补，故两直线斜率相反，即有，即，即，故，此时，即，即直线，、，则，点到直线的距离，故，令，则，即，当且仅当，即时，等号成立，此时，符合题意.故面积的最大值为.【点睛】关键点睛：本题关键有两点，一个是通过直线AF，BF的倾斜角互补结合韦达定理得到得与的关系，一个是得到面积表达式后采用换元法借助基本不等式得到最值.22. 已知函数（1）若，求函数的极值；（2）若有两个零点，求m的取值范围【答案】（1）极小值，无极大值; （2）【解析】【分析】（1）借助导数，利用求极值的方法求解即可；（2）结合（1）问，借助导数以及零点存性定理，对m分情况讨论即可.【小问1详解】当时，所以，因为在单调递增，所以在单调递增，且易得，所以当时，在在单调递减，当时，在单调递增.所以当时，函数有极小值，无极大值.【小问2详解】结合上问可知：当时，此时只有极小值，不满足有两个零点，故舍去；当时，结合（1）可知， 此时无零点，故舍去；当时，且， 易知在单调递增，由，所以存在，使得，所以当，在单调递减；所以当，在单调递增；由，令,则，易知在单调递增,，所以在上单调递增，所以，所以在有且只有一个零点.当时，所以在有且只有一个零点.综上：当时，有两个零点.【点睛】关键点点睛：通过第一问，需将参数分成三种情况讨论.第一个关键点利用零点存在性定理判断其图象变化，第二个关键点在于合适取点，如及等符号的判定.第27页/共27页学科网（北京）股份有限公司