城市用水量预测模型(数学建模论文).doc

城市供水量预测模型 摘要 水是生命之源，地球上水的总量虽然巨大，但能够被人类利用的淡水资源却极其匮乏，而且分布极不平衡。淡水资源的短缺给人们的生产生活带来了诸多不变，因此我们应该珍惜水资源，对水资源要合理且可持续的利用。本文以两个自来水厂20012007年间每天的供水量为依据，运用灰色系统理论、模糊线性回归、二元线性回归、组合预测等数学方法对所给问题建立模型并对结果进行了分析。关键词：灰色系统理论 模糊线性回归 组合预测 matlab问题分析该问题是根据日供水量记录估计未来一时间段的用水量，只有一些数据内部机理不明确属于灰色系统问题。我们需要在一定的假设下，对已知数据统计分析，并运用一些方法完成对未来一时间段用水量的预测。1) 对问题（1）的分析：为预测2008年上半年日用水量，我们考虑到温度与用水量的正相关性，需先对温度进行预测。由于我们只需预测出2008年上半年的日用水量，并且通过对2005-2007年每年相应时段内的日用水量及温度的散点图观察分析，我们知道这几年里相应时段内温度及用水量均稳定在某一值附近。故我们可以以三年内相应时间段温度及相应的日用水量的平均值作为数据基础建立数学模型，所建模型可以很好的表征用水量在一年中（此模型只考虑上半年）随时间的变化趋势及相关制约因素的作用，故我们用其进行预测是合理有效的。 首先，我们建立一年内上半年温度随时间（天）变化的线性回归模型，得到上半年温度与时间序列（天）的关系，进而可以预测出2008年上半年每天的温度。然后，为找出温度与用水量的关系，以所求得的用水量与温度的均值为基础，分别建立了二元线性回归模型和模糊线性回归模型，表示出了每天最高温度、最低温度与用水量的关系。通过观察2001-2007年用水量整体随时间变化的关系图，我们很明显的看到用水量变化总体来说是呈增长趋势的。以上模型只是以2005-2007年三年的相关数据为基础，没有考虑到温度、用水量长时期内整体随时间（年）的变化规律。为弥补这个缺陷我们建立了GM（1，1）模型单独对2008日用水量进行预测。但该模型没有表示出温度对用水量的影响。 以上模型各有利弊，为了综合上述模型的优点，我们以它们为基础又建立了组合预测模型，很好的提高了预测精度。2) 对问题（二）的分析：通过对所给数据观察，我们可以得出任何时段内该城市的日用水量与两水厂的供水量之和均相等的结论。以这个结论为前提，利用问题（一）所求结果，我们只需对一号水厂或是二号水厂2008年上半年日供水量进行预测，从而可以得到另一水厂2008年上半年日供水量。3) 对问题（三）的分析：为确定能使2008年8月份的总用水量不超过5045万吨的水价调整方案，只需找出各年8月份用水量与对应水价之间的关系，通过这个关系即可以确定满足上述条件的水价调整方案。但本题所给数据较少，我们利用GM（1，1）理论分别对8月份用水量及相应水价进行了预测扩充，得出了20082010年的相关数据。接着，我们根据那些数据建立了一元直线回归模型，得出了8月份用水量与相应水价的关系，继而得到相应的水价调整方案。模型假设与符号说明模型假设：1) 自来水厂提供的七年来每天的供水量数据是真实可靠的2) 每天的自来水的需求量与当天的温度有关3) 人们对自来水的价格有一定的敏感性，既提高价格能抑制自来水的需求量4) 每天的温度是相对独立的5) 自来水厂有足够的水资源来满足用户的需求6) 该城市的用水量仅有一号和二号这两个水厂供应。符号说明：-表示第i年第j天的用水量。（，）-表示第i年第j天的最高温度。（，）-表示第i年第j天的最低温度。（，）-表示20052007年相应天数的平均最高温度。（t=1,2,180）-表示20052007年相应天数的平均最低温度。（t=1,2,180）-表示第一个水厂第i年第j天的供水量（，）-表示第二个水厂第i年第j天的供水量（，）-表示第i年八月份水价（）-表示第i年八月份用水总量（）-表示第i年第j天用水量的实际值-表示第I个模型第i年第j天供水量的预测值-表示第II个模型第i年第j天供水量的预测值模型的建立与求解问题（一）的求解：i. 数据准备：通过对如图（一）所示20052007年日用水量的分布可知：20052007年各个对应时段的日用水量q浮动不大。由经验可知，相邻年份各个时段的温度T相差不大。故我们对数据做如下处理：注：青线、绿线、蓝线分别表示2005、2006、2007年上半年日用水量的变化曲线图（一） 20052007年上半年日用水量的分布图ii温度的预测：为了说明温度对日用水量的影响，我们需对2008年上半年的温度进行预测。首先，我们分别做出温度，（j=1,2,180）随时间（天）变化的散点图如图（二）所示，可以看出温度在这半年内随时间的变化呈线性增长趋势，故我们用线性回归分别对，（j=1,2,180）进行线性拟合，所求得的曲线如图（二）中直线所示：图（二） 对最高温度、最低温度的拟合曲线的回归方程分别为，它们的相关系数分别为：可以看出该回归方程的预测精度较高，我们可以用它们完成对2008年上半年最高、最低温度预测，预测结果见附表1。iii.模型建立模型I：二元线性回归模型为了表现出最高温度、最低温度对日用水量的影响，我们首先建立日用水量对最高、最低温度，（j=1,2,180）的二元线性回归模型，所求得的回归方程为：，先把20052007年上半年的相关数据按月（30天）进行累加（方便作图），然后对其进行误差检验，见图（四），得到每年每个月平均误差系数分别为：0.051176、0.028478、0.018252。由此可以看出该模型的预测精度比较高。模型II：模糊线性回归模型由于模糊线性回归模型能够很好的处理影响用水量变化的各种不确定性因素，在这里我们也建立了日用水量对最高、最低温度，（j=1,2,180）的模糊线性回归模型，所得结果一般形式为:-（1）其中， (j=1,2), 由于,说明最低温度与日用水量的相关度很低，这与实际生活中客观规律是一致的即当温度高于一定的程度时才会对日用水量产生明显的影响。之后，先把20052007年上半年的相关数据按月（30天）进行累加（方便作图），然后对其进行误差检验，见图（四），得到各年每个月平均误差系数分别为：0.031268、0.033255、0.043079。通过与模型I预测精度比较，该模型误差精度要稍微差一些。模型III：灰色微分方程模型 以上两个模型均只建立在20052007年相关数据基础上，没有考虑这几年相应时间段内日用水量的变化趋势，观察图（三）可知各年用水量在相应时间段内呈递增趋势，因此我们建立此模型予以弥补前两个模型的缺陷。图（三） 20012007年日用水量的变化曲线我们先把20012007年上半年的日用水量（i=1,2,7 j=1,2,180）的j列进行累加生成得到累加生成序列，然后按照模型准备部分的步骤得到该列对应的灰微分方程为（j=1,2,180）其中，（j=1,2,180）,对数列进行累减还原得到原始数列拟合序列为：然后利用matlab编程循环即可预测出每一年前180天的日用水量。我们用20052007年上半年的相关数据按月（30天）进行累加（方便作图），然后对其进行误差检验，见图（四），得到20052007年上半年每个月平均误差系数分别为：0.0069587、0.010846、0.00036306。由此可知该模型的预测精度比以上两个模型均有所提高。模型IV：最优组合预测模型 模型I II考虑了温度对日用水量的影响，但没有考虑日用水量各年整体的变化趋势，而模型III考虑了日用水量各年整体的变化趋势但忽略了温度对日用水量的影响，它们各有利弊。由于模型I比模型II预测精度更高，而模型III预测精度比前两者均更高，所以我们把模型I和模型III进行组合：，-（2）其中（j）+（j）=1建立下列式子： 令,则使最小令R=(1,1),则上述问题可归结为以下优化问题:利用拉格朗日乘子法求条件极值，设：则函数L的极值比满足即解得，又由于RK=1，因此最后得到组合系数为利用已知数据通过matlab编程即可得到系数矩阵，（j=1,2,180）见附表1将，（j=1,2,180）代入式子（2）即可得组合后的模型，为了与前面所建模进行对比我们用20052007年上半年的相关数据按月（30天）进行累加（方便作图），然后对其进行误差检验，见图（四），得到20052007年上半年每个月平均误差系数分别为：0.0034153、0.0084898、0.0011233。该模型的预测精度已经非常高了，故我们用其对2008年上半年的日用水量进行预测，结果见附表2图（四） 对问题（一）所建模型的误差评判注：图中直方图、黑色曲线、红色曲线、蓝色曲线分别为模型I、模型II、模型III、模型IV所拟合出的20052007年上半年各个月用水总量，为预测值。o为20052007年上半年各个月用水总量实测值。问题（二）的求解：由上面的问题分析可知，我们只需预测出一号水厂在2008年上半年的日供水量，然后依据问题（一）的求解结果即可预测出二号水厂在2008年上半年的日供水量。首先，我们依据一号水厂20012007年上半年日供水量，建立GM（1，1）模型完成对2008年上半年的日供水量预测，然后我们用20022007的相关数据对其进行误差检验，见图（五），对20022007年上半年预测的各年的平均误差系数分别：0.020128、0.01469、0.026702、0.022941、0.025683、0.00035384。由此可知该模型对一号水厂的预测精度比较高。图（五） 对20022007年上半年各月一号水厂供水总量的预测值与观察值的比较灰色关联度的计算：按照模型准备部分介绍的一种新的关联度计算方法，我们用matlab编程得到前半年每天的用该模型对供水量的预测值与观测值的关联度见附表3，对180天的关联度求平均为0.52596，按照这种关联度计算法的等级要求预测精度已经比较好。综合误差系数和灰色关联度这两项指标，该模型的预测精度相当高，所以我们用它对2008年上半年一号水厂的供水量进行预测，预测结果见附表四。从而可以得到2008年上半年二号水厂的供水量结果，见附表五。问题（三）的求解： 根据问题分析部分对该问题的描述，由于所给数据较少，我们先分别用GM（1，1）模型对各年8月份用水总量及相应水价进行了预测，得到20082010年每年8月份用水总量及相应水价如下表所示：20012002200320042005200620072008200920108月份用水总量43823000446500004579400046613000477150004852600049713000507150005180000052898000调整价格33.43.94.34.75525.86.36.88月份用水总量与调整水价之间的相关系数为：=0.99666，所以说明调整价格与8月份用水总量之间有很强的线性关系，接着我们直接建立调整水价对8月份用水总量的线性回归模型，求得结果如图（六）所示，图（六） 8月份用水总量与水价的拟合曲线由图中所作曲线可以看出拟合吻合度很高，对应的曲线方程为,我们把（吨）代入得模型的评价与改进模型的评价：u 模型优点：1) 在问题（一）的求解中，我们利用三种方法分别建立了2008年上半年日用水量的预测模型，通过误差分析我们可知模型I较模型II有更高的预测精度，模型III采用了灰色预测法，预测精度比前两者均要高，最后建立的最优组合预测模型很好的表现出了温度等因素对用水量的影响，已经达到了非常高的预测精度。2) 问题（一）求解中所用模糊线性回归模型能够很好的处理影响用水量变化的各种不确定性因素。3) 在问题（二）的求解中，我们利用了GM（1，1）理论对一号水厂2008年上半年的日供水量进行了预测，具有较高的预测精度，并且所用方法简单解决问题很有效。4) 在问题（三）的求解中，鉴于提高水价可以限制供水量，我们建立了水价和供水量之间的线性回归方程，结合灰色理论对原始数据进行扩展，解决了数据量不足的缺点。5) 本文中采用了图表相结合的方法对问题进行说明解释，简洁直观。u 模型缺点：1) 求解问题（一）所建立的模型I、模型II，由于只是基于20052007三年的数据进行的计算分析，虽然预测精度较高但是只适用于对未来短期内用水量的预测。2) 影响用水量的因素有很多如：人口增长、地理位置、降雨量、经济增长等，但由于数据不全面，模型并没有反应上述因素对用水量的影响。3) 对问题（一）、（二）的求解均是对每年的前180天的日用水量及水厂供水量进行分析预测，这与所要求的对2008年上半年的日用水量的预测严格来说有微小的偏差。模型的改进推广1) 对于本题中所提出的那些预测问题我们还可以运用其它方法加以预测如：偏最小二乘回归预测法，神经网络预测法等。它们都有各自的优缺点，我们可以尝试综合起来运用，最大的提高预测精度。2) 水价的调整模型还可以用来预测其它调价问题如：电费的调整，天然气费用的调整等。3) 本文中那些预测方法如：GM(1,1)模型，最优组合预测模型等还可以用来预测其它问题，如：生活必需品的购买量，人口增长的预测等。参考文献：姜启源，谢金星，数学建模 高等教育出版社第三军医大学卫生统计学教研室，许汝福，尹全焕，张蔚，一种新的灰色关联度计算方法及其应用，中国卫生统计 1996年第13卷第六期。于九如，杨泽华，模糊线性回归及其应用实例，系统工程理论与实践，1995年4月第4期。4薛 锋 组合预测的精度估计A.中国经济文库（统计卷）M.北京：中央编译出版社。10