(41)--4.6 子群离散数学离散数学.ppt

子群子群：子群：设设为群，为群，H是是G的非空子集，的非空子集，如果如果H关于关于G中的运算中的运算构成群，构成群，则称则称为为的子群。记作的子群。记作H G如：如：是是的子群，的子群，是是的子群，其中的子群，其中Z表示整数集，表示整数集，R表示实数集，表示实数集，S表示表示偶数集，偶数集，表示乘法运算，表示乘法运算，+表示加法运算。表示加法运算。子群平凡子群：平凡子群：如果如果|G|1，则群，则群G至少有两个子群，一个为由幺元至少有两个子群，一个为由幺元e作成的子群作成的子群，另一个是，另一个是G自身，这两个子群自身，这两个子群被称为群被称为群G的平凡子群。如果还存在其它子群，则被的平凡子群。如果还存在其它子群，则被称为非平凡子群。称为非平凡子群。如：如：是是的子群，其中的子群，其中和和是是的平凡子群；的平凡子群；子群（1）子群保持幺元不变。）子群保持幺元不变。（2）子群保持各元素的逆元不变。）子群保持各元素的逆元不变。子群的性质设设为为的子群，则的子群，则H的幺元就是的幺元就是G的幺元，的幺元，H中任意元中任意元a在在中的逆元就是中的逆元就是a在在中的逆元中的逆元a-1。又因为对 a H，有证明：设eH和e分别是H和G的幺元，则在G中有，e*eH=eH，在H中有eH=eH*eH，于是e*eH=eH*eH，从而由群G的消去律有eH=e。设设是群，是群，H是是G的非空子集，则的非空子集，则H关于运算关于运算是是的子群的的子群的充分必要条件充分必要条件是：是：（1）对任意的对任意的x,y H，有，有x y H；（2）对任意的）对任意的x H，有，有x-1 H。下面介绍几个子群的判断定理下面介绍几个子群的判断定理子群的判断条件可简化为：子群的判断条件可简化为：子群的子群的判定定理判定定理1子群的判定证证：必要性必要性显然成立。显然成立。充分性充分性由条件（由条件（1），满足封闭性；），满足封闭性；由于由于G中的运算中的运算是可结合的，所以是可结合的，所以H中运算中运算也是可结合也是可结合的；的；对对 x H，由条件（，由条件（2）知）知x-1 H，再由条件，再由条件(1),e=xx-1 H,易得易得e是是的幺元；的幺元；x-1是是x在在H中的逆元。中的逆元。所以所以是群，从而是是群，从而是的子群。的子群。设设为群，为群，H是是G的非空子集，的非空子集，如果如果对对 x,y H，x y-1 H，则则是是的子群。的子群。子群的子群的判定定理判定定理2证证：必要性必要性易得易得充分性充分性任取任取x H，由条件，由条件x x-1 H，即，即e H，又因为，又因为e，x H，所以所以x-1=e x-1 H，这说明，若，这说明，若x,y H,则则xy=x(y-1)-1 H，所以所以是是的子群。的子群。子群的判定设设为群，为群，H是是G的一个有限非空子集，的一个有限非空子集，如果如果对对 x,y H，x y H，则则是是的子群。的子群。子群的子群的判定定理判定定理3证证：必要性必要性由子群的定义可得。由子群的定义可得。充分性充分性设设x是是H中的任一元素，由条件有中的任一元素，由条件有x2=x x H，x3=x2 x H，因为因为H是有限集，是有限集，所以所以必存在正整数必存在正整数i和和j，使，使ij，x i=x j，子群的判定n不妨设不妨设ij，则，则xi=xi x j-i这说明这说明x j-i是是中的幺元，这个中的幺元，这个幺元也在子集幺元也在子集H中。中。n如果如果j-i=1，那么由，那么由xi=xi x知知x就是幺元且就是幺元且x的逆元就是的逆元就是x。n如果如果j-i1，那幺由，那幺由x j-i=x x j-i-1知知x j-i-1是是x的逆元且的逆元且x j-i-1 H。n总之对总之对 x H，有，有x-1 H。所以由子群判定定理。所以由子群判定定理1知知是是的子群。的子群。子群的判定THANKYOU