(38)--4.3 同态与同构离散数学离散数学.ppt

同态与同构同态：同态：设设V1=，V2=是代数系统，是代数系统，和和 是二元运算，如果存在映射是二元运算，如果存在映射f:S1 S2满足对满足对 x,y S1有有 f(x y)=f(x)f(y)，则称则称f是是V1到到V2的同态映射，简称同态。的同态映射，简称同态。同态象：同态象：设设f 是是V1=到到V2=的同态，的同态，则称则称是是V1在在 f下的同态象。下的同态象。同态 12112222 abcaabcbbbcccccV1=V2=设映射设映射:1,2 a,b,c，其中，其中(1)=a,(2)=b，则则(1 1)=(1)=a=a a=(1)(1)，同理同理(1 2)=(1)(2)，(2 1)=(2)(1)，(2 2)=(2)(2)。因此，因此，是是V1到到V2的同态，且的同态，且V1在在 下的同态象是下的同态象是。同态如如：V1=，V2=，其中，其中、+为普通乘法、加法。为普通乘法、加法。令令映射映射:R+R，(x)=lnx，于是于是对对 x,y Z，有，有 (x y)=ln(xy)=lnx+ln y=(x)+(y)因此因此 是是V1到到V2的同态的同态。同态设设 是是V1=到到V2=的同态的同态,(1)若若 是满射的，则称是满射的，则称 为为V1到到V2的的满同态满同态。例例:设设f：NNk定义为对任意的定义为对任意的xNf(x)xmodk那么，那么，f是从是从到到的一个满同态。的一个满同态。同态的类型(2)若若 是单射的，则称是单射的，则称 为为V1到到V2的的单同态单同态。例：设例：设f：RR定义为对任意定义为对任意xRf(x)5x那么，那么，f是从是从到到的一个单一同态。的一个单一同态。设设 是是V1=到到V2=的同态的同态,同态的类型(3)若若 是双射的，则称是双射的，则称 为为V1到到V2的的同构同构。例：例：设设Hx|xdn，d是某一个正整数，是某一个正整数，nI，定义映射定义映射f：IH，对任意对任意nIf(n)dn那么，那么，f是是到到的一个同构。的一个同构。设设 是是V1=到到V2=的同态的同态,同态的类型注意：注意：两个同构的代数系统只是符号的不同。两个同构的代数系统只是符号的不同。结论：结论：设设A是代数系统的集合，则是代数系统的集合，则A中代数系统中代数系统之间的同构关系是等价关系。之间的同构关系是等价关系。同构(1)若若()是可交换的是可交换的(可结合的或幂等的可结合的或幂等的)，则，则()在在(S1)中也是中也是可交换的可交换的(可结合的或幂等的可结合的或幂等的)。设设V1=和和V2=是具有两个二元运算的代数系统，是具有两个二元运算的代数系统，是是V1到到V2的同态，则：的同态，则：(2)若若 对对 是可分配的是可分配的(可吸收的可吸收的)，则，则 对对 在在(S1)中也是中也是可分配的可分配的(可吸收的可吸收的)。(3)若若e是是S1中关于中关于 的幺元，的幺元，是是S1中关于中关于 的零元，则的零元，则(e)和和()分别是分别是(S1)中关于中关于 的幺元和零元。的幺元和零元。若若x 1是是x关于关于 的逆元，则的逆元，则(x 1)是是(x)关于关于 的逆元。的逆元。同态同构的性质因为因为对对 x S1，有，有x e=e x=x，则则(e)(x)=(e x)=(x)，于是于是(e)是是(S1)中关于中关于 的幺元；的幺元；且且(x)(e)=(x e)=(x)，因为因为x x 1=x 1 x=e，则则(x 1)(x)=(x 1 x)=(e)，且且(x)(x 1)=(x x 1)=(e)，于是于是(x 1)是是(x)关于关于 的逆元。的逆元。(3)若若e是是S1中关于中关于 的幺元，的幺元，是是S1中关于中关于 的零元，的零元，则则(e)和和()分别是分别是(S1)中关于中关于 的幺元和零元。的幺元和零元。若若x1是是x关于关于 的逆元，则的逆元，则(x 1)是是(x)关于关于 的逆元。的逆元。同态同构的性质THANK YOU