(40)--4.5 群离散数学离散数学.ppt

群群：群：设设V=是代数系统，是代数系统，是二元运算。是二元运算。如果运算如果运算 在在G上是上是:(1)封闭的；封闭的；(2)可结合的；可结合的；(3)存在幺元存在幺元e G，(4)任意任意x G，存在存在x 1 G，则称则称V=为群。为群。如：如：,是群，是群，但但,不是。不是。群例例:设设Zn=0,1,2,n-1，定义，定义n上的运算上的运算 如下：如下：x,yZn，x y=x+y(modn),证明证明是群。是群。证证：（可逆性）（可逆性）xZn，由于，由于n-xZn，且且x (n-x)=n modn=0，即即x-1=n-x。群有限群：有限群：G为有限集的群为有限集的群称为有限群，称为有限群，否则称为无限群。否则称为无限群。|G|为为有限群的阶有限群的阶。如：如：,为无限群，为无限群，为有限群。为有限群。群群中的幂：群中的幂：设设群群，则，则对对 x G，x0=e，xn+1=xn x，(n为非负整数为非负整数)x-n=(x-1)n，(n为正整数为正整数)(1)x G，(x-1)-1=x，幂运算的性质：幂运算的性质：(2)x,y G，(x y)-1=y-1 x 1，(3)x G，xm xn=xm+n，m,n为整数为整数(4)x G，(xm)n=xmn，m,n为整数为整数群的性质定理：定理：设设为群，为群，对对 a,b G，方程，方程a x=b 和和y a=b在在G中有解，且解是唯一的。中有解，且解是唯一的。显然，两个方程的解分别是显然，两个方程的解分别是x=a-1 b，y=b a 1。群的性质例例：S=1,2,3，在群，在群中解方程中解方程1,2 x=1,3和和y 1=2,3。解解：群群的幺元是的幺元是，1,2-1=1,2，1-1=1y=2,3 1-1=2,3 1=1,2,3。x=1,2-1 1,3=1,2 1,3=2,3群的性质定理：定理：二阶以上的二阶以上的群群中不存在零元中不存在零元 。证明证明：若：若|G|=1，则，则G的唯一元素必是幺元的唯一元素必是幺元e。若若|G|1，假设，假设 G，则对则对 x G，有，有x =x=e，即说明即说明G中任何元素都不是中任何元素都不是 的逆元，的逆元，这与这与中每个元素都有逆元矛盾。中每个元素都有逆元矛盾。因此，群因此，群中不存在零元中不存在零元 。群的性质证明证明：（：（1）因为）因为是群，是群，a G，所以，存在，所以，存在a的的逆元逆元a-1 G，用，用a-1从左边乘从左边乘a b=a c两边，可得两边，可得 a-1 (a b)=a-1(a c)(a-1 a)b=(a-1 a)ce b=e c b=c定理：定理：设设为群，则为群，则G 中适合消去律。中适合消去律。即对即对 a,b,c G，有，有(1)若若a b=a c，则，则b=c。(2)若若b a=c a，则，则b=c。群的性质定理：定理：设设为有限群，则为有限群，则G的运算表中的每一行的运算表中的每一行(每一列每一列)都是都是G中元素的一个置换，且不同行中元素的一个置换，且不同行(或列或列)的置换都不相同。的置换都不相同。eabcaa ec bbbc e aeeabcccba e群的性质利用上条定理可以通过运算表判断某个代数系统不是群，利用上条定理可以通过运算表判断某个代数系统不是群，但是不能判断某个代数系统是群。但是不能判断某个代数系统是群。eabcaa bc bbbc e aeeabcccba c eabcaa ec cbbc e eeeabcccba a群的性质定理：定理：设设是群，是群，a G，则，则a是幂等元当且仅当是幂等元当且仅当a是是G的幺元。的幺元。abcaabcbbcaccaba=e a=(a-1 a)a=a-1(a a)=a-1 a=e群的性质THANK YOU