离散数学离散数学 (18).pdf

Computer Science&Technology0Computer Science&Technology1Computer Science&Technology2)()(,)(cafgbafcbgcbagf(x)=g(f(x)Computer Science&Technology3co-domain(f)af(a)f(a)g(f(a)g(f(a)(g f)(a)domain(g)domain(f)f(a)rng(f)Computer Science&Technology4Computer Science&Technology5Computer Science&Technology6Computer Science&Technology7Computer Science&Technology8Computer Science&Technology9Computer Science&Technology10Computer Science&Technology11Computer Science&Technology12Computer Science&Technology13AfBgCa1a2a3b1b2b3b4c1c2c3c4Computer Science&Technology14证明(1)因为 g f 是单射,当 a1 a2,有g f(a1)g f(a2)即 g(f(a1)g(f(a2)。反证 假设f 不是单射,即有 f(a1)=f(a2)=b,则对同一变量b,函数g却有两个不同值g(f(a1)和 g(f(a2)。这与g为函数矛盾。从而必有 f(a1)f(a2),f 是单射的。Computer Science&Technology15证明 由于g f 是满射,任取c C,必存在某一a A,使g f(a)=g(f(a)=c。即任取c C,有b B,使g(b)=c且b=f(a)。于是Rng g=C,即g是满射的。Computer Science&Technology16Computer Science&Technology17Computer Science&Technology18证明（1）若f 可逆，a A,必存在b B，使得f(a)=b。由逆函数f 1的定义,f 1(b)=a,即a f 1(B)由a的任意性,可知f 1是一个满射设b1,b2 B，且b1 b2，由双射函数f 的定义，在A中必有两个元素a1 a2，使得f(a1)=b1,f(a2)=b2于是f 1(b1)=a1,f 1(b2)=a2并且f 1(b1)f 1(b2),f 1是一个单射所以f 1是一个双射。（2）若f 为双射，则 f 可逆，f 为双为双射射，根据双，根据双射射的定义，的定义，f的逆一定有定义。的逆一定有定义。Computer Science&Technology19Computer Science&Technology20Computer Science&Technology21Computer Science&Technology22Computer Science&Technology23Computer Science&Technology24Computer Science&Technology25