广州仲元中学2024届高三第一次调研数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 广州市仲元中学广州市仲元中学 2024 届高三第一次调研届高三第一次调研 数学科目数学科目 一、选择题一、选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.已知集合1222xAx=，设椭圆1C：22221xyab+=与双曲线2C：22221xyab=的离心率分别为1e，2e.若213ee=，则双曲线2C的渐近线方程为（）A.2 55yx=B.45yx=C.52yx=D.55yx=4.已知数列 na满足12a=，132nnaa+=+，*nN.记数列()()1133nnnaaa+的前n项和为nT.若对任意的*nN，都有nkT，则实数k的取值范围为（）A.1,10+B.1,10+C.1,5+D.1,5+5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为0ktPPe=，其中0P，k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（）A.27.1%B.70%C.72.9%D.81%6.已知函数()()2sin0,02f xx=+的解集是13xx，则（）A.0a B.0abc+=C.420abc+D.不等式20cxbxa+的解集是113x xx 或 11.已知抛物线C：()220ypx p=的焦点为F，准线为l，点M在C上，MNl于N，直线NF与C交于A，B两点，若2NAAF=，则（）A.60MNF=B.43NFp=C.3MBMN=D.3 7sin14NAM=12.e是自然对数的底数，mR，0n，已知elnlnmmnn nm+，则下列结论一定正确的是（）A.若0m，则0mn B.若0,1mn，则e0mn C.若0m，则ln0mn+学科网（北京）股份有限公司 D.若0m 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据()(),1,2,10iix yi=，其经验回归方程为3.2yax=+，且10 x=，8y=，则相应于点()10.5,7的残差为_.14.某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多 3 个，已知第一排有 5 个座位，且该阶梯大教室共有 258 个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为_.15.在三棱锥PABC中，底面ABC为等腰三角形，120ABC=，且ACPA=，平面PAC 平面ABC，PABC，点Q为三棱锥PABC外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为17+，则球O的表面积为_.16.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且()222Sabc=，则22bcbc+的取值范围为_.四、解答题四、解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题 10 分）设nS为数列 na的前n项和，已知12a=，120nnSa+=.（1）数列 na是否是等比数列?若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；（2）设2lognnba=，数列21nnb b+的前n项和为nT，证明：34nT.18.（本题 12 分）在ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()()coscoscosbAcBacAC=+.（1）求角B的值；（2）若ABC的面积为3 3，13b=，求ABC的周长.19.（本题 12 分）在平行六面体1111ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，12ABAA=，13A AB=，侧面11CDDC 底面ABCD.（1）求证：平面1ABC 平面11CDDC；学科网（北京）股份有限公司（2）求直线1AB和平面11ABC所成角的正弦值.20.（本题 12 分）随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升.某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为16，12，13，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为16，13，12，已知第 1 关的难度为“容易”.（1）求第 3 关的难度为“困难”的概率；（2）用nP表示第n关的难度为“困难”的概率，求nP.21.（本题 12 分）如图，动点M到两定点()1,0A、()2,0B构成三角形MAB，且2MBAMAB=，设动点M的轨迹为C.（1）求轨迹C的方程；（2）设直线2yxm=+与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且PQPR，()()eaxg xa=R（1）若1a=，讨论()()()F xf xg x=在()0,+的单调性；（2）若0a，函数()()()4lnG xf xg x=，不等式()1sin66xaxG x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当*nN，2n 时，求证：221671sin6nknnkkn=+.学科网（北京）股份有限公司 广州市仲元中学广州市仲元中学 2024 届高三第一次调研届高三第一次调研 数学科目参考答案数学科目参考答案 1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 【详解】因为函数()f x的图象过点()0,1，所以()102sin1sin2f=，因为02，所以0k=时，16 4,33，则40,3；当1k=时，8 16,33，综上，48 160,333，即的最大值为163，故选：C.7.B【分析】先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到2ACB=，且2 3ACBS=，求出点D到平面ABC的距离，求出点D所在球的截面的半径及三角形ABC的外接圆半径，设点D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，结合2 13CE=+=，求出CD长度的最大值.【详解】因为球的体积为20 53，故球的半径R满足320 5433R=，故5R=，而4AB=，2AC=，学科网（北京）股份有限公司 2 3BC=，故222ABACBC=+，故2ACB=，故12 322 32ACBS=，设点D到平面ABC的距离为h，则12 32 33h=，故3h=，点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为，因为hR，所以平面与平面ABC在球心的异侧，设球心到平面ABC的距离为d，而ACB外接圆的半径为122AB=，则541d=，故球心到平面的距离为3 12=，故截面圆的半径为541=，设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为ABC的外心即AB的中点，当CE最长时CD最长，此时2 13CE=+=，故CD长度的最大值为223 2CEh+=.故选：B 8.D【详解】设22cosisin20232023nnnz=+，nN，2022n，则()()2023202322cosisincos 2isin 2120232023nnnnnz=+=+=，由题意可得：01z=，nnzz=，*nN，2022n 可得关于x的方程202310 x=的根为 1，z，2z，2022z，故()()()()20232202211xxxzxzxz=，整理得()()()2023220222022111xxzxzxzxxx=+，即()()()2202220221xzxzxzxx=+，令1x=，可得()()()2202220221111 112023zzz=+=，且 2022 为偶数，所以()()()220221112023zzz=.学科网（北京）股份有限公司 故选：D.二、多选题二、多选题 9.AC 10.ABD 11.AC【详解】不妨设点M在x轴上方，设点()00,M xy，则点0,2pNy，,02pF，若2NAAF=则点011,63Apy.将点011,63Apy代入C：()220ypx p=可得03yp=，将()0,3M xp代入C：()220ypx p=可得032xp=，所以,32pNp，3,32Mpp，13,63App，所以03322NFpkpp=，所以直线NF的倾斜角为120，所以60MNFNFO=，故 A 正确.()2203222ppNFpp=+=，故 B 不正确.易得直线AB的方程为332yxp=+，由23322yxpypx=+=解得116xp=，232xp=所以3,32Bpp，所以2 3MBp=，2MNp=，所以3MBMN=，故 C 正确；因为22 3,33ANpp=，42 3,33AMpp=所以7cos,14AN AMAN AMAN AM=且两个向量夹角为锐角，学科网（北京）股份有限公司 根据同角三角函数基本关系得3 21sin,14AN AM=，故 D 不正确.故选：AC 12.BC【详解】构造函数()exf xxx=.则()()1 e1xfxx=+，当0 x 时，()0e11 10 xfxxx+=+.A 选项，取emn=，则lnlne1nm=满足题意，但此时0mn=，故 A 错误；B 选项，若0m，1n，则ln0n，又由题可知()()lnf mfn，且()f x在()0,+上单调递增，则lnelnmmnn，故 B 正确；C 选项，若0m，当1n 时，ln0mnm+时，构造函数()()()()eexxg xf xfxx=+，注意到当0 x 时，()0g x，又0m，则()()()()()0g mf mfmf mfm=，则()()lnfnfm，()f x在()0,+上单调递增，则lnln0nmnm+.综上，若0m，则ln0mn+，又()f x在(),0上单调递减，则()()lnf mfn满足题意，但此时211e2eemn+=+，故 D 错误.故选：BC 三、填空题三、填空题 学科网（北京）股份有限公司 13.35 14.38 15.28【详解】取AC的中点M，连接BM，因为底面ABC为等腰三角形，120ABC=，所以ACBC=，所以BMAC，又因为平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABCAC=，BM 平面ABC，所以BM 平面PAC，又PA平面PAC，所以BMPA，又因为PABC，BMBCB=，BM，BC 平面ABC，所以PA 平面ABC，因为三角形ABC为等腰三角形，120ABC=，则60ABMCBM=，设BMa=，则2BABCa=，2 3PAACa=设等腰三角形ABC外接圆的圆心为1O，半径为r，球O的半径为R，连接1O M，则1O，M，B三点共线，由BM 平面PAC得1O M 平面PAC，由正弦定理得124sin120ACO Ba=，故12O Ba=，则1O Ma=，连接1O A，OA，则12O Aa=，由PA 平面ABC，且三角形ABC外接圆的圆心为1O，可得221172RPAO Aa=+=，因为1OO 平面ABC，所以1OOPA，又1OO 平面PAC，PA平面PAC，故1OO 平面PAC，所以点O到平面PAC的距离等于点1O到平面PAC的距离1O M，又因为点Q到平面PAC的距离的最大值为17+，所以1717O MRaa+=+=+，解得1a=，所以7R=，球O的表面积为2428SR=.故答案为：28.16.342,15【详解】在ABC中，由余弦定理得2222cosabcbcA=+，学科网（北京）股份有限公司 且ABC的面积1sin2SbcA=，由()222Sabc=，得sin22cosbcAbcbcA=，化简得sin2cos2AA+=，又0,2A，22sincos1AA+=，联立得25sin4sin0AA=，解得4sin5A=或sin0A=（舍去），所以()sinsinsin coscos sin43sinsinsin5tan5ACbBACACcCCCC+=+，因为ABC为锐角三角形，所以02C，2BAC=，所以22AC=，所以140,tan3C，所以3 5,5 3bc，设btc=，其中3 5,5 3t，所以221bcbctbccbt+=+=+，由对勾函数单调性知1ytt=+在3,15上单调递减，在51,3上单调递增，当1t=时，2y=；当35t=时，3415y=；当53t=时，3415y=，所以342,15y，即22bcbc+的取值范围是342,15.故答案为：342,15.四、解答题（共四、解答题（共 70 分）分）17.【详解】（1）由题设()()11122nnnnnnnaSSaaaa+=，即12nnaa+=，且2n，又1n=时，1212220Saaa+=+=，可得2142aa=，综上，na是公比为 2 的等比数列，通项公式为2nna=.（2）由题设2lognnban=，故()2111 11222nnb bn nnn+=+，学科网（北京）股份有限公司 所以11111111111232435112nTnnnn=+，11113111122124212nnnn=+=+又11012nn+，所以34nT，得证.18.【详解】（1）由()coscosACB+=，得()coscoscosbAcBcaB=由正弦定理，得()sin cossin cossinsincosBACBCAB=.sin coscos sin2sin cosABABCB+=.()sin2sin cosABCB+=.又ABC+=，()sinsinABC+=.又0C，且0y，当90MBA=时，点M的坐标为()2,3，当90MBA时，2x，由2MBAMAB=有22tantan1tanMABMBAMAB=，即221211yyxxyx+=+，化简可得22330 xy=，而点()2,3在曲线22330 xy=上，学科网（北京）股份有限公司 综上可知，轨迹C的方程为()223301xyx=；（2）直线2yxm=+与()223301xyx=联立，消元可得22430 xmxm+=有两根且均在()1,+内，设()2243f xxmxm=+，()()22241211 430,16430mfmmmm=+=+1m，2m，设Q，R的坐标分别为(),QQxy，(),RRxy PQPR，且2m，所以()248231mmm，则2101m，所以()()2444284 3123 1 123 1 023 1m=+，因为()2244123123 1mmmm=，()24284 3231mmm+，且()248231mmm，()241174 3231mmm +，所以()()121eeee22xxxxxFxxxxx+=，在10,2上，()0Fx，在1,2+上，()0Fx，设16ta=，令()31sin6h xxtxx=+，则()21cos2h xxxt=+，令()21cos2m xxxt=+，则()sinm xxx=+，再令()sins xxx=+，则()cos10sxx=+，所以()s x在()0,+单调递增，则()0s x，即()0m x，所以()m x在()0,+单调递增，所以21coscos012xx+=，x +，y +，则21cos(0)2yxxx=+的值域为()1,+.当1t 时，即16a 时，()21cos02m xxxt=+，即()0h x，则()h x在()0,+单调递增，所以()0h x 恒成立，符合题意.当1t 时，即106a时，()010mt=+时，()()21cos121102m xxxtttt=+=+，学科网（北京）股份有限公司 所以存在00 x，使()00m x=，则当()00,xx时，()0m x，即()0h x，则函数()h x在()00,x上单调递减，此时()0h x，所以当()00,xx时，()0h x 矛盾，不符合题意.综上所述，a的取值范围是1,6+.（3）原式即证1111172sin3sin4sinsin23466nnnn+.由（2）可知，当1t=时，()31sin06h xxxx=+，即0 x 时，31sin6xxx，则2sin116xxx.令1xn=，则()211111 11sin11166161nnnn nnn =+.则11 12sin1126 2+，11 113sin136 32+，11 11sin161nnnn+，各式相加得，11111111112sin3sin4sinsin1123462321nnnnn+1766nn=+.所以当*nN，2n 时，221671sin6nknnkkn=+成立.