湖北孝感高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司数学试题数学试题一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1抛物线212yx=的焦点坐标为（）A1,08 B1,02C10,8D10,2 2在等比数列 na中，13282,81xxaaa a+=,且前 x 项和121,xSx=（）A4 B5 C6 D7 3已知 m,n 表示两条不同直线，表示平面，则（）A若,mn,则mn B若,mn,则mnC若,mmn,则n D若,mmn,则n 4有 5 辆车停放 6 个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法A72 B144 C108 D96 5 已知ABC的边BC的中点为 D,点 E 在ABC所在平面内，且32CDCECA=,若ACxAByBE=+,则xy+=（）A5 B7 C9 D11 6函数）()yf x=的图象为椭圆2222:1(0)xyCabxab+=轴上方的部分，若(),(),()f stf sf st+成等比数列，则点(),s t的轨迹是（）A线段（不包含端点）B椭圆一部分 C双曲线一部分 D线段（不包含端点）和双曲线一部分 7已知3 50,sincos45xxx+=,则3tan4x=（）A3 B3 C5 D2 8 双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左、右焦点分别是12,F F,离心率为62,点()11,P x y是 C 的右支上异于顶点的一点，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足是,|2MMO=，若 C 上一点 T 满足125FT FT=,则 T 到 C 的两条渐近线距离之和为（）湖北孝感高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 A2 2 B2 3 C2 5 D2 6 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9已知复数12,z z是关于 x 的方程210(22,R)xbxbb+=的两根，则（）A12zz=B12Rzz C121zz=D若1b=,则33121zz=10若函数2222()2sinlog sin2coslog cosf xxxxx=+,则（）A()f x的最小正周期为 B()f x的图象关于直线4x=对称 C()f x的最小值为1 D()f x的单调递减区间为2,2,4kkkZ+11设 a 为常数，1(0),()()()()()2ff xyf x f ayf y f ax=+=+,则（）A1()2f a=B1()2f x=成立 C()2()()f xyf x f y+=D满足条件的()f x不止一个 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12集合2R320,RAxaxxa=+=,若 A 中元素至多有 1 个，则 a 的取值范围是_ 13已知圆锥的母线长为 2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为_时，圆锥的体积最大，最大值为_ 14函数2238()(R)2sin13cos2f xxxx=+的最小值_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分请在分请在答题卡指定区答题卡指定区域域内作答内作答，解答时应写出文字说明、，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）设13()ln122f xaxxx=+,曲线()yf x=在点(1,(1)f处取用极值（1）求 a；（2）求函数()f x的单调区间和极值 16（本小题满分 15 分）袋中装有 5 个乒乓球，其中 2 个旧球，现在无放回地每次取一球检验（1）若直到取到新球为止，求抽取次数 X 的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验 5 次取到新球个数 X 的均值 17（本小题满分 15 分）学科网（北京）股份有限公司 如图，在三棱柱111ABCABC中，1122,23ACBBBCCBBCAB=,且平面ABC 平面11BC CB （1）证明：平面ABC 平面1ACB；（2）设点 P 为直线BC的中点，求直线1AP与平面1ACB所成角的正弦值 18（本小题满分 17 分）已知抛物线2:4E yx=的焦点为 F,若ABC的三个顶点都在抛物线 E 上，且满足0FAFBFC+=,则称该三角形为“核心三角形”（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为 2，求直线AB的方程；（2）已知ABC是“核心三角形”，证明：ABC三个顶点的横坐标都小于 2 19（本小题满分 17 分）对于给定的正整数 n,记集合()123,1,2,3,nnjRx xxxxR jn=,其中元素称为一个 n维向量特别地，0(0,0,0)=称为零向量 设()()1212R,nnnnka aaRb bbR=，定义加法和数乘：()()121122,nnnkka kakaab abab=+=+对一组向量()12,2ssNs+,若存在一组不全为零的实数12,sk kk,使得11220sskkk+=,则称这组向量线性相关否则，称为线性无关（1）对3n=,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由(1,1,1),(2,2,2)=；(1,1,1),(2,2,2),(5,1,4)=；(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)=学科网（北京）股份有限公司（2）已知,线性无关，判断,+是线性相关还是线性无关，并说明理由（3）已知(2)m m 个向量12,m 线性相关，但其中任意1m个都线性无关，证明：如果存在等式()11220,1,2,3,mmikkkkR im+=,则这些系数12,mk kk或者全为零，或者全不为零；如果两个等式()1122112210,0,1,2,3,mmmmlkkklllkR lR im+=+=同时成立，其中10l，则1212mmkkklll=学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案数学参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B A D A A A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分全部选对得分全部选对得 6 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选分，有选错得错得 0 分分 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 题号 12 13 13 14 答案 0a=或98a 63 16 327 4913 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）（1）13()ln122f xaxxx=+，则213()22afxxx=，又(1)0f=,故可得20a=,解得2a=；（2）由（1）可知，213(31)(1)()2ln1,()222xxf xxxfxxx=+=，令()0fx=，解得121,13xx=，又函数定义域为(0,)+，故可得()f x在区间10,3和(1,)+单调递减，在区间1,13单调递增 故()f x的极大值为(1)0,()ff x=的极小值为122ln33f=16（15 分）（1）X 的可能取值为 1，2，3，32 332 1 31(1),(2),(3)55 4105 4 310P XP XP X=，故抽取次数 X 的概率分布为：X 1 2 3 P 35 310 110 3313()123510102E X=+=（2）每次检验取到新球的概率均为35，故35,5XB，所以3()535E X=学科网（北京）股份有限公司 17（15 分）（1）证明：因为22ACBC=,所以1BC=,因为23CAB=，所以6CAB=在ABC中，sinsinBCACAB=，即12sinsin6B=，所以sin1B=,即ABBC 又因为平面ABC 平面11BC CB,平面ABC 平面11,BC CBBC AB=平面ABC,所以AB 平面11BC CB 又1BC 平面11BC CB,所以1ABBC,在1B BC中，112,1,3B BBCCBB=，所以2221112cos33BCB BBCB B BC=+=，即13BC=,所以1BCBC 而1,ABBC AB平面,ABC BC 平面,ABC ABBCB=,所以1BC 平面ABC 又1BC 平面1ACB,所以平面ABC 平面1ACB （2）在平面ABC中过点 C 作AC的垂线CE,以 C 为坐标原点，分别以1,CA CE CB所在直线为,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则113(0,0,0),0,(2,0,0),(0,0,3)22CBAB,学科网（北京）股份有限公司 所以11333,0,34422PA，所以15 3 3,344AP=，平面1ACB的一个法向量为(0,1,0)n=，设直线1AP与平面1ACB所成的角为,则直线1AP与平面1ACB所成角的正弦值为：1113 33 34sincos,102527|31616AP nAPnAPn=+18（17 分）（1）解：设直线AB的方程为2yxt=+,与24yx=联立得2220,480yytt+=，得12t，设()()()112233,A x yB xyC x y,则12122,2yyy yt+=,所以()12121212xxyytt+=+=,由题意知(1,0)F,因为()()()1122330,1,1,1,FAFBFCFAxyFBxyFCxy+=,所以()1231233,(0,0)xxxyyy+=,所以1231233,0 xxxyyy+=+=，所以332,2xt y=+=，即点 C 的坐标为(2,2)t+,代入抛物线 E 的方程得：44(2)t=+，解得1t=,满足条件12t,所以22323,4,4nmyym y yn+=,所以()22323242xxm yynmn+=+=+由（1）知1231233,0 xxxyyy+=+=，所以211342,4xmn ym=,学科网（北京）股份有限公司 即点 A 的坐标为()2342,4mnm 又点 A 在抛物线24yx=上，所以()22164 342mmn=,所以2342nm=,又2nm,所以212m，所以点 A 的横坐标2234242mnm=,同理可证，B,C 两点的横坐标也小于 2 所以ABC三个顶点的横坐标均小于 2 19（17 分）（1）解：对于，设120kk+=，则可得1220kk+=,所以,线性相关；对于，设1230kkk+=,则可得12312312325020240kkkkkkkkk+=+=+=,所以12320,0kkk+=,所以,线性相关；对于，设12340kkkk+=,则可得124134234000kkkkkkkkk+=+=+=,解得123412kkkk=,所以,线性相关；（2）解：设123()()()0kkk+=，则()()()1312230kkkkkk+=,因为向量,线性无关，所以131223000kkkkkk+=+=+=,解得1230kkk=，所以向量,+线性无关，（3）11220mmkkk+=,如果某个0,1,2,ikim=，则112211110ililmmkkkkk+=,因为任意1m个都线性无关，所以1211,iimk kkkk+都等于 0，所以这些系数12,mk kk或者全为零，或者全不为零，因为10l，所以12,ml ll全不为零，所以由11220mmlll+=可得21211mmllll=，代入11220mmkkk+=可得21222110mmmmllkkkll+=，学科网（北京）股份有限公司 所以21221110mmmllkkkkll+=，所以2121110,0mmllkkkkll+=+=，所以1212mmtkkklll=
