北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷含答案.pdf

高高二二第第一一学期期学期期末末试卷试卷 数学数学（清华附中高 22 级）2024.1 第一部分第一部分（选择题 共 40 分）一、一、选择选择题共题共 10 小小题，题，每小每小题题 4 分，分，共共 40 分。在每小题列出的分。在每小题列出的四个四个选项中，选出符合选项中，选出符合题目题目要求要求的一项的一项。（1）设集合1,2,3,4,5,6,7,8,9A=，|=2,xBy yxA=，则AB等于()(A)2,4(B)2,4,8(C)2,4,6,8(D)2,4,6,8,9（2）251()xx的展开式中x项的系数为()(A)10(B)5(C)5(D)10（3）双曲线2221xya=的焦距为 4，则其渐近线方程为()(A)5yx=(B)3yx=(C)33yx=(D)55yx=（4）已知函数1()f xxx=，则下列说法中正确的是()(A)1(2)=()2ff(B)()f x的图像关于原点对称(C)()f x在定义域内是增函数(D)()f x存在最大值（5）在ABC中，5AB=，3BC=，3sin5BAC=，则AB CB等于()(A)16(B)9(C)9(D)16（6）已知底面边长为 2 的正四棱柱1111ABCDABC D的体积为8 3，则直线AC与1AB所成角的余弦为()(A)32 (B)22(C)34(D)24（7）已知点F是双曲线C：221xy=的一个焦点，直线:l ykx=，则“点F到直线l的距离大于 1”是“直线l与双曲线 C 没有公共点”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（8）已知数列na的前n项和为nS，满足21(1,2,3,)nnSan=，则下列结论中正确的是()(A)2nna=(B)122nnS+=(C)数列2logna的前n项和为212n (D)数列nnSa是递增数列（9）已知直线1:0lmxy+=恒过定点 A，直线2:20lxmy=恒过定点 B，且直线1l与2l交于点 P，则点 P 到点(0,2 2)的距离的最大值为()(A)4 (B)2 3 (C)3(D)2（10）已知函数22,0()ln(1),0 xx xf xxx=+.若不等式()|)0 x f xa x对任意实数x恒成立，则a的取值范围是()(A)(0,1 (B)(0,2 (C)1,2 (D)1,)+第二部分第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。（11）已知复数z=3+ai(aR)对应的点到原点的距离是a+1，则实数a=_.（12）已知点P(2,4)在抛物线C:y2=2px上，则点P到抛物线C的焦点的距离为_.（13）已知函数()2sin()3f xx=+在区间0,2上的最大值为 2，则正数的最小值为_.（14）从数字 1,2,3,4 中选出 3 个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有_个.#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#（15）在平面直角坐标系中，定义1212(,)|d A Bxxyy=+为点11(,)A x y到点22(,)B xy的“折线距离”.点O是坐标原点，点P在圆221xy+=上，点Q在直线22 50 xy+=上.在这个定义下，给出下列结论：若点P的横坐标为35，则7(,)5d O P=；(,)d O P的最大值是2；(,)d O Q的最小值是 2；(,)d P Q的最小值是52.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，分。解答应写出文字说明，演算步骤演算步骤或或证明过程。证明过程。（16）(本小题 14 分)如图,四边形CDEF为矩形,平面ABCD 平面CDEF,/ABCD,ADDC,11AB=AD=DE=2DC=.（I）求证:BD 平面BCF；（II）求直线BC与平面BEF所成角的大小.#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#（17）(本小题 14 分)在锐角ABC中,sin23cosBB=,1b=.（I）求B；（II）求ABC周长的最大值.#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#（18）(本小题 14 分)某区 12 月 10 日至 23 日的天气情况如图所示.如：15 日是晴天，最低温度是零下9，最高温度是零下 4，当天温差（最高气温与最低气温的差）是 5.（I）从 10 日至 21 日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率；（）从 11 日至 20 日中随机抽取两天，求恰好有一天温差不高于 5的概率；（）已知该区当月 24 日的最低温度是零下 10.12 日至 15 日温差的方差为21s，21 日至 24 日温差的方差为22s，若21s=22s，请直接写出 24 日的最高温度.（结论不要求证明）（注：)()()(1222212xxxxxxs=n+n，其中为数据x1,x2,xn的平均数）x#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#（19）(本小题 14 分)已知函数21()(1)2f x=xexax.（I）当a=1时,求证:f(x)在R上是增函数；（II）若f(x)在区间(0,+)上存在最小值,求a的取值范围；（III）若f(x)仅在两点处的切线的斜率为 1,请直接写出a的取值范围.（结论不要求证明）#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#（20）(本小题 14 分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为4 2,下顶点A和右顶点B的距离为10.（I）求椭圆C方程；（II）设不经过右顶点的直线:l ykxm=+交椭圆C于两点P,Q,过点P作x轴的垂线交直线AB于点D,交直线BQ于E,若点D为线段PE的中点,求证:直线l经过定点.#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#（21）(本小题 15 分)已 知 整 数n 4,数 列A:a1,a2,an是 递 增 的 整 数 数 列，即a1,a2,anZ且a1 a2 an.定义数列A的“相邻数列”为B:b1,b2,bn,其中b1=a1,bn=an,bi=ai1+1或bi=ai+11(i=2,3,n1).（I）已知n=4,数列A:2,4,6,8,写出A的所有“相邻数列”；（II）已知n=10,数列A:a1,a2,a10是递增的整数数列,a1=1,a10=20,且A的所有“相邻数列”均为递增数列,求这样的数列A的个数；（III）已知n=20,数列A:a1,a2,a20是递增的整数数列,a1=0,a2=2,且存在A的一个“相邻数列”B，对任意的i,j2,3,19,ai+ajbi+bj,求a20的最小值.#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#第 1 页，共 4 页 高高二二第第一一学期期学期期末末试卷试卷 数学数学 （清华附中高 22 级）2024.1 第一部分第一部分（选择题 共 40 分）一、一、选择选择题共题共 10 小小题，题，每小每小题题 4 分，分，共共 40 分。在每小题列出的分。在每小题列出的四个四个选项中，选出符合选项中，选出符合题目题目要求要求的一项的一项。（1）设集合1,2,3,4,5,6,7,8,9A=，|=2,xBy yxA=，则AB等于()(A)2,4(B)2,4,8(C)2,4,6,8(D)2,4,6,8,9（2）251()xx的展开式中x项的系数为()(A)10 (B)5 (C)5 (D)10 （3）双曲线2221xya=的焦距为 4，则其渐近线方程为()(A)5yx=(B)3yx=(C)33yx=(D)55yx=（4）已知函数1()f xxx=，则下列说法中正确的是()(A)1(2)=()2ff (B)()f x的图像关于原点对称 (C)()f x在定义域内是增函数 (D)()f x存在最大值 （5）在ABC中，5AB=，3BC=，3sin5BAC=，则AB CB等于()(A)16 (B)9 (C)9 (D)16（6）已知底面边长为 2 的正四棱柱1111ABCDABC D的体积为8 3，则直线AC与1AB所成角的余弦为()(A)32 (B)22 (C)34 (D)24（7）已知点F是双曲线C：221xy=的一个焦点，直线:l ykx=，则“点F到直线l的距离大于 1”是“直线l与双曲线 C 没有公共点”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#第 2 页，共 4 页 （8）已知数列na的前n项和为nS，满足21(1,2,3,)nnSan=，则下列结论中正确的是()(A)2nna=(B)122nnS+=(C)数列2logna的前n项和为212n (D)数列nnSa是递增数列（9）已知直线1:0lmxy+=恒过定点 A，直线2:20lxmy=恒过定点 B，且直线1l与2l交于点 P，则点 P 到点(0,2 2)的距离的最大值为()(A)4 (B)2 3 (C)3(D)2（10）已知函数22,0()ln(1),0 xx xf xxx=+.若不等式()|)0 x f xa x对任意实数x恒成立，则a的取值范围是()(A)(0,1 (B)(0,2 (C)1,2 (D)1,)+第二部分第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题二、填空题共共 5 小小题，题，每小每小题题 5 分，分，共共 25 分分。（11）已知复数3()zai aR=+对应的点到原点的距离是1a+，则实数a=_.4（12）已知点(2,4)P在抛物线2:2C ypx=上，则点P到抛物线C的焦点的距离为_.4 （13）已知函数()2sin()3f xx=+在区间0,2上的最大值为 2，则正数的最小值为_.13 （14）从数字 1,2,3,4 中选出 3 个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有_个.72 选 1,2,3 列:213,1312,2131,1231,1321,3121,共634=72 个#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#第 3 页，共 4 页 （15）在平面直角坐标系中，定义1212(,)|d A Bxxyy=+为点11(,)A x y到点22(,)B xy的“折线距离”.点O是坐标原点，点P在圆221xy+=上，点Q在直线22 50 xy+=上.在这个定义下，给出下列结论：若点P的横坐标为35，则7(,)5d O P=；(,)d O P的最大值是2；(,)d O Q的最小值是 2；(,)d P Q的最小值是52.其中，所有正确结论的序号是_.(,)|d O Pxy=+,22222(,)2|2()dO Pxyxyxy=+,或(cos,sin)P；设直线交x轴于 A，作 QB 垂直x轴于 B，则|2|QBBA=,(,)|5d O QOA=,当Q=A 时取等号.同理当 PQ 是水平线段时,min(,)d P Q.求单位圆上点到直线的最小距离为 1,利用此距离与水平距离的比例为25,求得min5(,)2d P Q=.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，分。解答应写出文字说明，演算步骤演算步骤或或证明过程。证明过程。（16）(本小题 14 分)如图,四边形CDEF为矩形,平面ABCD 平面CDEF,/ABCD,ADDC,112ABADDEDC=.（I）求证:BD 平面BCF；（II）求直线BC与平面BEF所成角的大小.解:（I）法 1：过 作 于 G./ABCD,ADDC,112ABADDC=,=2,又 =2.2=2+2,.四边形CDEF为矩形,.ABCDCDEFABCDCDEFCDCFCDEFCFCD=平面平面平面平面平面,平面.BD 平面,.#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#第 4 页，共 4 页 ,BDBCBDCFBCCFCBC CFBCF=平面,BD 平面.法 2:ABCDCDEFABCDCDEFCDDECDEFDECD=平面平面平面平面平面,平面.D 平面,.由,两两垂直,则以为轴,以为轴,以为轴建立空间直角坐标系.(1,1,0)DB=,(1,1,0)BC=,(0,0,1)CF=,知0DB BC=，0DB CF=.,BDBCBDCFBCCFCBC CFBCF=平面,BD 平面.（II）设平面BEF的法向量为(,)nx y z=.(1,1,1)BE=,(0,2,0)EF=,则0n BE=,0n EF=.020 xyzy+=,令1x=,则有0,1yz=.即(1,0,1)n=.(1,1,0)BC=.设所求角的大小为.则|1sin|cos,|2|n BCn BCn BC=.6=.（17）(本小题 14 分)在锐角ABC中,sin23cosBB=,1b=.（I）求B；（II）求ABC周长的最大值.解:（I）(0,)2B,cos0B,2sincos3cosBBB=,3sin2B=，3B=.（II）法 1：2 3sinsinsin3acbACB=,2 3(sinsin)13abcAC+=+2 32(sinsin()133AA=+2 3 33(sincos)1322AA=+3sincos1AA=+2sin()16A=+在锐角ABC中,3B=,(,)6 2A,当3A=时,max()3abc+=.#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#第 5 页，共 4 页 法 2：2222cosbacacB=+,221acac+=,2()13acac+=.2()2acac+,223()1()4acac+,2ac+.当1ac=时,即ABC是等边三角形,max()3abc+=.（18）(本小题 14 分)某区 12 月 10 日至 23 日的天气情况如图所示.如：15 日是晴天，最低温度是零下9，最高温度是零下 4，当天温差（最高气温与最低气温的差）是 5.（I）从 10 日至 21 日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率；（）从 11 日至 20 日中随机抽取两天，求恰好有一天温差不高于 5的概率；（）已知该区当月 24 日的最低温度是零下 10.12 日至 15 日温差的方差为21s，21 日至 24 日温差的方差为22s，若21s=22s，请直接写出 24 日的最高温度.（结论不要求证明）（注：)()()(1222212xxxxxxnsn+=，其中为数据nxxx,21的平均数）解：（I）设“这三天中至少有两天是晴天”为事件 A.连续统计三天共有 12 个基本事件，事件 A 共有 8 个基本事件.则82()123P A=.（）从 11 日至 20 日中随机抽取两天共有21045C=个基本事件.设“恰好有一天温差小于5”为事件 B.不高于 5有 11 日，12 日，13 日，14 日，15 日，16 日，20 日.事件B 有117321C C=个基本事件.则217()4515P B=.（）0 法 1：12 日至 15 日温差为 4,2,5,5，平均数为 4，方差2132s=.x#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#第 6 页，共 4 页 21 日至 24 日温差为 8,11,11,a，平均数为304a+，方差2222221(2)(14)(14)(330)416161616aaaas=+.由题意知2232s=，化简得2(10)a=0，得10a=.法 2：12 日至 15 日温差为 4,2,5,5，平均数为 4，即 0,1,1,2 的方差为21s.21 日至 24 日温差为 8,11,11,a，数据都减去 10，等价于10a,1,1,2 方差为22s.当且仅当10a=0 时，两方差相等.（19）(本小题 14 分)已知函数21()(1)2xf xxeax=.（I）当1a=时,求证:()f x在R上是增函数；（II）若()f x在区间(0,)+上存在最小值,求a的取值范围；（III）若()f x仅在两点处的切线的斜率为 1,请直接写出a的取值范围.（结论不要求证明）解:()()xxfxxeaxx ea=（I）当1a=时,令10 xe =,得0 x=,当0 x,0,10 xxe 得()0fx.当0 x,0,10 xxe 得()0fx.所以()f x在定义域内是单调递增函数；（II）当0 x 时,1xe.当1a 时,0 xea,则当0 x 时,()0fx,所以()f x在区间(0,)+上单调递增,所以()f x在区间(0,)+上不存在最小值；当1a 时,由lnxa=.此时ln0a.x(0,ln)a lna(ln,)a+()fx 0+()f x 极小值 所以min()(ln)f xfa=.综上,a的取值范围是(1,)+.（III）法 1：方程1xaex=有两个不同解,画1()xg xex=和ya=的图像有两个交点,则0a.即a的取值范围为(0,)+.#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#第 7 页，共 4 页 法 2：方程1xeax=有两个不同解,画()xg xea=和1yx=的图像有两个交点 （20）(本小题 14 分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为4 2,下顶点A和右顶点B的距离为10.（I）求椭圆C方程；（II）设不经过右顶点的直线:l ykxm=+交椭圆C于两点P,Q,过点P作x轴的垂线交直线AB于点D,交直线BQ于E,若点D为线段PE的中点,求证:直线l经过定点.解:(1)由题意得2222224 210cababc=+=+，得312 2abc=.则椭圆C方程为2219xy+=.(2)联立2219ykxmxy=+=得222(91)18990kxkmxm+=,且3mk.设11(,)P x y,22(,)Q xy.则有:22222564(91)(99)0k mkm=+,1221891kmxxk+=+,21 229991mx xk=+.直线1:13AB yx=,则111(,1)3D xx.222233BQykxmkxx+=,直线22:(3)3kxmBQ yxx+=,2112()(3)(,3kxm xE xx+.点D为线段PE的中点,21112()(3)2233kxm xyxx+=.1221122()(3)()(3)(3)(3)03kxm xkxm xxx+=1 2122(2)(32)()6603kx xmkxxm+=2222(2)(99)18(32)36609191kmkm mkmkk+=+22222181866 185436(66)(91)0kmkmkmk mkmmk+=222222181866 1854365465460kmkmkmk mkmk mmk+=22186636540kmmkmk=,2(61)3(31)0mkmkk+=#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#第 8 页，共 4 页 (3)(31)0mk mk+=3mk,31mk=,直线:31(3)1l ykxmkxkk x=+=,直线l恒过定点(3,1).（21）(本小题 15 分)已 知 整 数4n,数 列A:12na,a,a是 递 增 的 整 数 数 列，即12na,a,aZ且12naaa.定义数列A的“相邻数列”为B:12nb,b,b,其中11ba=,nnba=,11iiba=+或11iiba+=(2 31i,n=).（I）已知4n=,数列A:2,4,6,8,写出A的所有“相邻数列”；（II）已知10n=,数列A:1210a,a,a是递增的整数数列,110120a,a=,且A的所有“相邻数列”均为递增数列,求这样的数列A的个数；（III）已知20n=,数列A:1220a,a,a是递增的整数数列,1202a,a=,且存在A的一个“相邻数列”B，对任意的i,j2 319,ijijaabb+,求20a的最小值.解：（I）2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8.（II）任取 的一个“相邻数列”:1,2,.,10.首先，一定有1 2且9 1 或2=3 1 2 1=1。同理，9 10.其次，对于 2,3,.,8,+1的取值分以下 4 种情形：（1）=1+1,+1=+1，（2）=+1 1；+1=+2 1，（3）=1+1,+1=+2 1，（4）=+1 1,+1=+1 由数列是递增的整数数列，前前 3 种情形都能得到种情形都能得到+,所以只需考虑第只需考虑第 4 种情种情形形，递增，+1，+1 1 +1 即+1 37.综上，20的最小值为37.请将全部答案都写在答题纸上！请将全部答案都写在答题纸上！#QQABLQSQggAgAhBAAAhCEwWICECQkAGACKoOhAAMMAIAyRNABAA=#