湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数学试卷含答案.pdf
岳阳市二二四届高三教学质量监测（一）数学试卷#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#高三数学一模试卷第 1页（共 4 页）岳阳市 2024 届高三教学质量监测（一）数学试卷本试卷共 4 页，22 道题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合)1ln(|xyxA，06|2xxxB，则BAA21|xxB31|xxC32|xxD1|xx2已知复数z满足2)1(iz，则zA1B2C2D33已知数列 na与 nb均为等差数列，且252ba，1296ba，则74baA5B6C7D84定义在R上的函数)(xf满足：当1,0 x时，12)(xxf，且对任意实数x，均有1)1()(xfxf，则)23(f为A23B2C21D225自 2020 年确定针对中国的“融入”政策(和平演变)失败，美国政府开始带领部分西方国家推动“去中国化”的“硬脱钩”政策，技术封锁特别是芯片出口限制就是其中重要一项为突破围堵，以华为为代表的一批中国高新技术企业不仅着力发展硬件，而且加强了软件技术特别是算法的研发.如我国超级计算机天河一号 A 每秒执行 2.51015条指令，普通计算机每秒执行 108条指令若天河一号 A 用“插入排序”法排 n 个数需要 2n2条指令，普通计算机用“并归排序”法排 n 个数需要 50nlgn 条指令现排 1010个数，则超级计算机与普通计算机所花时间的比值为A85B850000C800005D851086据统计，我国结核病的感染率约为 0.001在针对结核病的检查中，健康者检测结果显示为阳性的概率为 0.05，结核病感染者检测结果显示为阴性的概率为 0.01，那么 A 同学检测结果为阳性的概率为A0.05094B0.05001C0.001D0.05084姓名_考号_#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#高三数学一模试卷第 2页（共 4 页）7已知 F1，F2分别为椭圆 C：12222byax(ab0)的左、右焦点，A 为椭圆上顶点，直线AF2与椭圆 C 交于另外一点 B，若AF1F22BF1F2，则椭圆离心率e位于下列哪个区间A），（410B），（2141C），（4321D），（1438已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的41，侧棱长为3当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为A233B33C257D57二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9若函数)6,)(6sin()(Nxxf的图象关于直线6x对称，则A21)0(fB)(xf的图象关于点0,125对称C)(xf在区间),0(上有 2 个极值点D)(xf在区间3,0上单调递增10已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，下列说法正确的是A异面直线 A1D 与 B1D1所成角为 45B若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的体积为23CA1C 与平面 A1BD 所成角的正弦值为33D若点 Q 为正方体 ABCDA1B1C1D1对角线 BD1上的动点，则AQC 的最大值为3211已知双曲线1:2222byaxC）（0,0ba的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3O 为坐标原点直线 l 交双曲线 C 的右支于 P，Q 两点(不同于右顶点)，且与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点(A，P 位于第一象限)，则A双曲线方程为1322yxB点 P 到两条渐近线的距离之和的最小值为32CAQPB D若QBPQ2，则OPQ的面积为332121979 年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7 只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成 7 等份，只好先去睡觉，准备第二天再分夜里 1 只猴子偷偷爬起来，先吃掉1 个桃子，然后将其分成 7 等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第 2 只猴子又爬起来，吃掉 1 个桃子后，也将桃子分成 7 等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的 5 只猴子都先后照此办理问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”下列说法正确的是A若第n只猴子分得nb个桃子(不含吃的)，则）（7,6,5,4,3,2,11671nbbnnB若第n只猴子连吃带分共得到na个桃子，则)7,6,5,4,3,2,1(nan为等比数列C若最初有）（677个桃子，则第 7 只猴子偷偷办理后还剩得）（767个桃子D若最初有 m 个桃子，则 m 被 7 除的余数为 1#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#高三数学一模试卷第 3页（共 4 页）三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 O(0,0)，A(1,2)，B(3,1)，若向量OAm/，且m与OB的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为_14 已知曲线xxyln在点），（11处的切线与曲线axaxy1)32(2有两个不同的公共点，则a的取值范围为_15过圆22:5O xy外一点P作圆O的切线，切点分别为A、B，若2AB，则点P的轨迹方程为_16正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的点(不包括端点)，且QC、PC分别为DQP、BPQ的角平分线则(1)APQ的周长为_；(2)PCQ面积的取值范围为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本题满分 10 分)已知正项数列na的前 n 项和为nS11a，111nnnSnSna(n2)(1)求证：数列nSnSnn为常数列；(2)求数列nS的通项公式，并证明111111433221nnSSSSSSSS18(本题满分 12 分)在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,且0tantan2tanAaAcBa(1)求B；(2)若ABC的面积为3，B的平分线BD交AC于点D且1BD，求ac的值19(本题满分 12 分)如图，三棱柱111CBAABC 中，侧棱ABCAA平面1，2 BCACE，F分别是AB，11CB的中点，且11CBEF(1)证明：ACBC；(2)若二面角BECF的正切值为22，求直线EF与平面ECA1所成角的余弦值#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#高三数学一模试卷第 4页（共 4 页）20(本题满分 12 分)为了进一步深入开展“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，让阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，某校规定每位师生需在学校图书馆借阅一本文学类或理工类书籍现对该校 60 名师生的借阅情况进行调查，其中教师与学生的人数之比为 12，教师中借阅文学类书籍的占21，学生中借阅文学类书籍的占43，得到如下22列联表：(1)请将22列联表补充完整，并根据小概率值1.0的独立性检验，判断老师与学生的借阅情况是否存在差异；(2)若从学校随机抽取m人，用样本的频率估计总体的概率，若抽取的人中有 5 人借阅理工类书籍的概率最大，求m所有可能的取值附：)()()()(22dbcadcbabcadn，其中nabcd 参考数据：0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82821(本题满分 12 分)已知抛物线xy42的准线与x轴相交于点N，过点N作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，其中点A在第一象限(1)求直线AB的方程；(2)过点N作直线l交抛物线于 C、D 两点，交直线AB于点E，过点E作AD的平行直线EH分别交线段AC、AN于点 M、H证明：存在实数，使得AMAEAH22(本题满分 12 分)已知函数1)(xexxf(1)求函数)(xf的单调区间；(2)设xxfxgcos)()(，(0,2)x，判断()g x的零点个数，并说明理由教师学生合计文学类理工类合计#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#1岳阳市 2024 届高三教学质量监测(一)数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分1B2C3C4D5A6A7B8D二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分9ABC10BD11ACD12ABD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13），（21(满足0),2,1(kk均可)14),27()27,(1542522 yx162(2 分)；2112，(3 分)四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(1)由题意，111nnnSnSna(n2)1(111111nnSnSnSnSnSSannnnnnn.(2 分)）（1111nSnSnSnSnnnn数列nSnSnn为常数列.(4 分)(2)111 aS，11111SSnSnSnn.(5 分)0)1)()1(2nnnnSnSnSnS又0na，0nS，nSn.(7 分)nnnnSSnn111)1(111.(8 分)nnSSSSSSSSnn)1(1321211111114332211111)1(13121211nnn.(10 分)#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#218(1)由题意，0cossincossin2cossintantan2tanAAaAAcBBaAaAcBa.(1 分)0coscos2cos2AaAcaBab又0a，0coscos2cosAaAcBb，0cossincossin2cossinAAACBB.(3 分)0cossincossin2cossinBABCAB,即0cossin2sinBCBA）（即0cossin2sinBCC又0sinC,21cosB,B为三角形内角3B.(5 分)(2)343sin21acBacSABC，4ac.(7 分)36sin1216sin121caSSSCBDABDABC，34ca.(9 分)1243422）（）（acca.(10 分)整理得01)(10)(2acac，解得625ac.(12 分)19(1)取BC的中点Q,连接FQ,EQ，则,/1CCFQ又,/11CCAA,/1AAFQAA1平面ABCABCFQ平面.(2 分),BCFQ BCCB/11,11CBEF EFBC.(3 分)FEFFQ，EFQEQEFQBC平面又平面,EQBC.(4 分)EQ为ABC的中位线，ACEQ/，ACBC.(5 分)(2)过Q作MCEQM于，连接FM，由(1)知ABCFQ平面QQMFQECFQ,，FMQEC平面，FMEC 二面角BECF的平面角为FMQ,22tanQMFQFMQ又224sinCQQM，2FQ.(7 分)又1,CCCBCA两两垂直，以C为坐标原点如图建系)2,0,2(),0,0,0(),2,1,0(),0,1,1(1ACFE，)2,0,1(EF)2,0,2(),0,1,1(1CACE.(8 分)设平面ECA1的法向量为）（zyxn,001CAnCEn,得00zxyx，令1x，1,1zy，）（1,1,1n.(10 分)设直线EF与平面ECA1夹角为，515,cossinnEF.(11 分)直线EF与平面ECA1夹角的余弦值为510.(12 分)#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#320.(1 分)(1)提出零假设0H：老师与学生的借阅情况不存在差异1.022706.275.340204020)30101010(60 x.(3 分)根据小概率值1.0的独立性检验，推断0H不成立，即认为判断老师与学生的借阅情况是存在差异，此推断犯错误的概率不大于1.0.(4 分)(2)设借阅理工类书籍的概率为p，则316020p.(5 分)设随机抽取m人中借阅理工类书籍的人数为随机变量X则)4()5()6()5(XPXPXPXP，444555666555)32()31()32()31()32()31()32()31(mmmmmmmmCCCC.(8 分)）（）（）（）（323131324565mmmmCCCC，32)!4(!4!31)!5(!5!31)!6(!6!32)!5(!5!mmmmmmmm得32411513161325(1mm）解得1714 m.(11 分)又Nmm可取17161514，.(12 分)21(1)由题意，其准线为1x，N点坐标为(01，).(1 分)不妨设直线NA的方程为)1(1xky，设直线NB的方程为)1(2xky，联立)1(412xkyxy得0)42(2121221kxkxk，由题知0416164412141kkk，得121k.(3 分)12242121kkxA，同理1Bx，故直线AB的方程为1x.(4 分)(2)由题可知，若存在实数，则0，AMAEAHAMAEAH11又MEH、在同一条直线上111，2故只需证明M为H、E的中点即可.(5 分)设直线ND为1 tyx，设点C(11,yx)，点D(22,yx)联立142tyxxy，得0442 tyy，4,42121yytyy.(6 分)教师学生合计文学类103040理工类101020合计204060#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#4令1x代入直线ND中得tyE2，点E）（t2,12414212222222yyyxykAD，同理241ykACtxyylEH2)1(24:21:xylAN2)1(24:1xyylAC联立得22)1(2122yyttxH联立得2121)1(41yyttxM.(8 分)要证明M为H,E的中点，即证明MEHxxx2,即证明)(18222)1(21121222yyttyytt）（即证明)(1422)1(21222yyttyytt）（即证明21221422yytyy）（.(10 分)等式右边2121212144414yyyyyytyyt）（，421yy，214yy 224)2(44442222222222222121yyyyyyyyyyyyyy故MEHxxx2得证.(12 分)22(1)由题意，)(xf的定义域为0|xx.(1 分)2)1(11)(xxeexxf）（，设1)1()(xexxt.(2 分)xexxt)()(，若0(),0(）xtx，)(xt在)0(，单调递减，0)0()(txt；若0)(),0,(xtx，)(xt在），（0单调递增，0)0()(txt.),0()0,(,0)(xxf)(xf的单调减区间为)0,(和)0(，无单调增区间.(4 分)(2)xexxxfxgxcos1cos)()(23,2x时，0cosx，01xex0cos1)(xexxgx，)(xg在23,2无零点.(5 分)#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#52,23x时，)(xgxeexxxsin)1(112）（0sinx，由(1)可知0)1(112xxeex）（，0)(xg)(xg在2,23上单调递减，又00123)23(23eg，0112)2(2eg)(xg在2,23存在唯一零点.(7 分)2,0 x时，求)(xg的零点即求0cos1)(xexxgx的根的个数，即求0cos1xexx）（根的个数，设xexxhxcos1)(）（，即求)(xh零点的个数0)0(,sin)cos(sin1)(hxxxexhx，设xxxexmxsin)cos(sin1)(1)0(,cossin2)(mxxexmx，设xxexnxcossin2)(0sin)cos(sin2)(xxxexnx，2,0 x.(9 分)(xn单调递增，又02)2(,01)0(2enn)(xn在2,0上存在唯一零点1x.(10 分)在)(,0)(,01xmxnx），（单调递减，在)(,0)(,21xmxnx），（单调递增0)2(,0)0(2emm)(xm在2,0上存在唯一零点2x，且2,12xx.(11 分)在)(,0)(,02xhxmx），（单调递减，在)(,0)(,22xhxmx），（单调递增02)2(,0)0(hh)(xh在2,0上存在唯一零点0 x.综上，)(xg在），（20内存在两个零点.(12 分)#QQABJQCEogCoQBAAAAhCAw3oCACQkAEACAoOxAAAMAIAiQFABAA=#
