（趣味数学）第二讲 找规律（一）（培优讲义）2023-2024学年四年级下册数学思维拓展含答案.pdf
张飞和张绍沿着山路往大寨赶去。道路两旁的树木郁郁葱葱，经常会看到一些不知名的野鸟在树上跳来跳去，快活极了。“要是没有山贼，黑龙山山民就会象这些鸟儿一样，自由自在悠闲的生活。”张飞看到欢快地小鸟在枝头唱歌，说出来心里话。不远处，张飞看到几个猎户手里提着几只野兔慢慢走了过来。“老乡，今天收获不错嘛！”张飞上去打招呼。为首的穿着虎皮袄的中年猎户看到一个黑脸将军，旁边还立着一位威风凛凛的小将军，一看就知道是蜀军剿匪的将军张飞和张绍，也上去招呼说：“托将军的福，今天收获了 6 只野兔，2 只野鸡。”“野兔很多嘛！”张飞笑着说。“是呀。山上一对大兔子一个月可以生一对小兔子，再经过一个月，这对小兔子就会成为一对大兔子，这样就可以生出又一对小兔子出来了。兔子繁殖很快的！”穿虎皮袄的猎户介绍说。“还真有趣，如果兔子在期间不死亡，不被你们捕杀，一年下来的确会变成很多兔子出来。”张飞说着说着，突然皱起了眉头，问道：“一年下来究竟能有多少对兔子呢？”“一会大兔生小兔，一会小兔又变成了大兔，又开始生小兔了，越生越多，越多越烦！”想着想着，张飞不耐烦了。众猎户们看到张飞不够耐烦就笑了起来。张飞看到猎户们嘲笑自己，看看张绍也不会，便向猎户求教：“请问猎户兄弟，你们可知道原来一对兔子一年下来一共会变成多少对兔子出来？”“难得你这么大的将军还来请教我们猎户。就让我来算给你听听吧。”穿虎皮袄的猎户对张飞说。第二讲第二讲 找规律（一）找规律（一）疯狂的兔子（斐波那契数列）板块一：趣味数学 （趣味数学）第二讲 找规律（一）（培优讲义）2023-2024学年四年级下册数学思维拓展 只见猎户一边说一边在地上画出来一幅图。（如图 1）“第一个月就是一对大兔。第二月的时候，一对大兔生出了一对小兔，这样山中就会有 2 对小兔了。第三个月的时候，第二月中的大兔又生了一对小兔出来了，而到了第三个月，原来二月生出小兔就长成了大兔。这样第 3 月一共就有 2 对大兔和 1 对小兔共 3 对兔子。第四个月，2 对大兔又生出 2 对小兔，原来的小兔长成了大兔。一共有 3 对大兔和 2 对小兔。第四月一共有兔子 5 对。”“可要算到一年，这可怎么办？”张飞看到这么多兔子要整理，感觉太麻烦了。“这样画图，越往下画，难度越来越来越大。我们其实找到规律就简单了。”猎户说道。“这里有什么规律呢？”张飞把头直接凑到图上去寻找了。“接着再来画一个，估计就能看到规律了。”说着，猎户又在图上接着画了起来。（见图 2）“第五个月：加上原来的兔子，一共变成了 8 对兔子。你能看出有什么规律吗？”猎户问。张飞摇了摇头，实在看不出来。“我看出来了！”张绍兴奋地叫了出来。看着张飞投来不相信的目光，张绍指着上面的每个月的数字说：“你看，从第 3 月开始，每个月的总数正好是前面两个月的和。”还真是这样：第 4 月的总数 5 对正好是前面两月 3 对加上 2 对的和。8 对也正好是前面两月 5 对加上 3 对的和。找这样的规律的话，第 6 月应该是 8513（对），第 7 月应该是 13821（对），第 8 月就是 211334（对），第 9 月就是 342155（对），第 10 月就是 553489（对），第 11 月就是 8955144（对），第 12 月就是 14489233（对）。乖乖，越往后增加的速度就越快！2 年下来，不就变得漫山遍野全是兔子啦！“照这样自然良好的生长的话，的确会繁殖很快。但是兔子也会生病死亡，也会被人类捕杀，所以一般情况下不会兔满为患的！”穿虎皮袄的猎户打消了张飞夸张的想法。“告辞了诸位，我还有军务在身。”张飞和张绍告别猎户赶往军营。不死神兔的繁衍生息神奇的斐波那契数列，也叫“兔子数列”、“斐波那契数列”，是意大利数学家列昂纳多斐波那契发明的，他还被人称作“比萨的列昂纳多”。观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。【例题【例题 1 1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。1，4，7，10，（），16，19【思路导航】【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是 3，即每一个数加上 3 都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13 或 163=13。像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。练习练习 1 1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，6，10，14，（），22，26 板块二：知识精讲板块二：知识精讲 板块三：典例好题板块三：典例好题 （2）33，28，23，（），13，（），3（3）3，6，12，（），48，（），192 【例题【例题 2 2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，（），16，22【思路导航】【思路导航】在这列数中，前 4 个数每相邻的两个数的差依次是 1，2，3。由此可以推算 7 比括号里的数少 4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。应填的数为：7+4=11 或 16-5=11。练习练习 2 2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。（1）10，11，13，16，20，（），31（2）1，4，9，16，25，（），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（），（），11，2 【例题【例题 3 3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。23，4，20，6，17，8，（），（），11，12【思路导航】【思路导航】在这列数中，第一个数减去 3 的差是第三个数，第二个数加上 2 的和是第四个数，第三个数减去 3 的差是第五个数，第四个数加上 2 的和是第六个数依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11 前面的数为：8+2=10 练习练习 3 3：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）13，2，15，4，17，6，（），（）（3）3，4，7，3，4，10,3,4,13，（），（），（）（4）187，286，385，（），（）【例题【例题 4 4】在数列 1，1，2，3，5，8，13，（），34，55中，括号里应填什么数？【思路导航】【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21 或 3413=21 上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。练习练习 4 4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，2，4，6，10，16，（），（）（2）34，21，13，8，5，（），2，（）（3）0，1，3，8，21，（），144【例题【例题 5 5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。（8，4）（5，7）（10，2）（，9）【思路导航】【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是 12。根据这一规律，里所填的数应为：129=3 练习练习 5 5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。（1）（6，9）（7，8）（10，5）（，3）（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，）（3）（18，17）（14，10）（10，1）（，5）意大利中世纪数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入一个数列，称为“兔子数列”。假设兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对。两个月后，生下一对小兔对数共有两对。三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对。依次类推可以列出下表：斐波那契数列 板块四：数学故事板块四：数学故事 可以看出总体对数构成了一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。其通项公式可以表达为：这个数列就是斐波那契数列，也叫黄金分割数列。之所以称为黄金分割数列，是因为随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值 0.6180339887 11=1，12=0.5，23=0.666，35=0.6，58=0.625，5589=0.617977，144233=0.618025越到后面，这些比值越接近黄金比。斐波那契数列中的斐波那契数在我们的生活中随处可见，比如植物花朵的花瓣数、蜂巢、蜻蜓翅膀、超越数 e、黄金矩形、等角螺线、十二平均律等。斐波那契数与植物花瓣 百合花和蝴蝶花 5，蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8，翠雀花 13，金盏和玫瑰21。斐波那契数与植物生长 例如树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。练习练习 1 1：（1）相邻的两个数的差都是 4，括号里填 18。（2）相邻的两个数的差都是 5，括号里填 18，8。（3）前一个数2 得下一个数，括号里填 24，96。练习练习 2 2：（1）前 5 个数每相邻的两个数的差依次是 1，2，3，4，所以下一个差是 5，填 25.（2）前 5 个数每相邻的两个数的差依次是 3，5，7，9，所以下一个差是 11，填 36.板块五：答案解析板块五：答案解析 （3）每两个一组，第二个数不变，第一个数是奇数，所以填 9,2。练习练习 3 3：（1）第一个数减 3 是第三个数，第三个数减 3 是第 5 个数，第二、第四、第六个数不变。应填 6,2.（2）第一个数加 2 是第 3 个数，第二个数加 2 是第 4 个数，依次类推所以填 19 和 8（3）每三个为一组，每组中的前两个数都是 3,4，每组的第三个数都等于前一组第三个数加上 3 的和。填 3,4，16（4）每个数十位上的数字 8 不变，百位上的数字依次是 1,2,3.,个位上的数字依次是7,6,5.，并且百位上的数字与个位上的数字的和是 8，应填 484,583。练习练习 4 4：（1）从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。括号里应填的数为：10+116=26或 16+26=42。（2）第一个数减第二个数是第三个数，根据这一规律，括号里应填的数为：85=3,3-2=1。（3）分析：根据已知的五个数字可得排列规律：从第三项开始每次用它的前一项乘 3 减去前面第二项的数；据此解答，13-0=3，33-1=8，83-3=21，213-8=55，553-21=144，答案为：55 关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题 练习练习 5 5：（1）每个括号里的两个数相加的和都是 15，所以填 12。（2）每个括号里两个数相乘是 24，所以是 6。（3）18-14=4,14-10=4,10-4=6，所以是 6。
