重庆一中2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 绝密启用前绝密启用前 重庆一中高重庆一中高 2025 届高二下开学考试届高二下开学考试 数数 学学 注意事项注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本写在本试卷上无效试卷上无效 3考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡考试结束后，将试卷和答题卡一一并交回并交回 一、选择题一、选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1已知函数2()sinf xxx=，则2f的值为（）A0 B C24 D24 2设动直线 l 与22:(1)5Cxy+=交于 A，B 两点若弦长AB既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线 l 的方程可以是（）A2xya+=B2axya+=C2axy+=Dxaya+=3已知数列 nb是公比为(1)q q 的正项等比数列，且10122ln0b=，若24()1f xx=+，则()()()122023f bf bf b+=（）A4069 B2023 C2024 D4046 4已知函数()f x的定义域为 R，设()e()xg xf x=设甲：()f x是增函数，乙：()g x是增函数，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5已知 F 为抛物线24yx=的焦点，A、B、C 为抛物线上三点，当0FAFBFC+=时，则在点 A、B、C中横坐标大于 2 的有（）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 6已知定义在 R 上的偶函数()f x满足()(2)4f x f x=，()0f x，(2024)1f=则20231()if i=（）学科网（北京）股份有限公司 A4545 B4552 C4553 D4554 7已知等差数列 na（公差不为零）和等差数列 nb的前 n 项和分别为nS，nT，如果关于 x 的实系数方程22021202120210 xSxT+=有实数解，那么以下 2021 个方程20(1,2,3,2021)iixa xbi+=中，无实数解的方程最多有（）A1008 个 B1009 个 C1010 个 D1011 个 8记椭圆22:21C xy+=的左右焦点为1F，2F，过2F的直线 l 交椭圆于 A，B，A，B 处的切线交于点 P，设12FF P的垂心为 H，则 PH 的最小值是（）A2 B3 C5 D6 二、选择题二、选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求全部选对的得全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分部分选对的得部分分分，有选错的得有选错的得 0 分分 9在正四棱台1111ABCDABC D中，11122ABABAA=，则（）A直线1AA与11C D所成的角为60 B平面11AAD D与平面11BBC C的夹角为60 C1/AA平面1C BD D1AA 平面1ABD 10 设 F 为双曲线22:2C xy=的右焦点，O 为坐标原点 若圆22()4xym+=交 C 的右支于 A，B 两点，则（）AC 的焦距为2 2 B22|OAOB+为定值 C|OAOB+的最大值为 4 D|FAFB+的最小值为 2 11已知数列 na：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，其中第 1 项为 1，接下来的 2 项为 1，2，接下来的 3 项为 1，3，5，再接下来的 4 项为 1，4，7，10，依此类推，则（）A2021a=B2(1)222n nann+=+C存在正整数 m，使得ma，1ma+，2ma+成等比数列 D有且仅有 3 个不同的正整数 m，使得12156mmmaaa+=三、填空题三、填空题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分 学科网（北京）股份有限公司 12若直线1:210lxmy+=与直线221:02lm xy+=垂直，则 m 的值为_ 13已知数列 na的各项均为非零实数，其前 n 项和为nS，11a=，且对于任意的正整数 n 均有211nnnSSa+=（1）若32a=，则2a=_；（2）若20232022a=，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是na=_ 14 已知函数()lnf xx=，()ag xx=（0 x，0a），若存在直线 l，使得 l 是曲线()yf x=与曲线()yg x=的公切线，则实数 a 的取值范围是_ 四、解答题四、解答题：本题共本题共 5 小题小题，共共 77 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是矩形，平面PAB 平面 ABCD，2AB=，2PAPBAD=（1）证明：PCBD；（2）求 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值 16（15 分）记nS，nT分别为数列 na，nb的前 n 项和已知nSn为等比数列，11nnbb+=，3228aS=，3315ST=（1）求 na，nb的通项公式；（2）求数列nna b的前 2n 项和 17（15 分）已知函数21()cos12f xaxx=+（1）当1a=时，求()f x的单调区间；（2）若0 x=是()f x的极大值点，求 a 的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 18（17 分）设1F、2F分别是粗圆222:2(0)E xytt+=的左、右焦点（1）求 E 的离心率；（2）过1F的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点（AB 与 y 轴不平行）当 t 为常数时，若2AF，|AB，2BF成等差数列，求直线 l 的方程；当2t=时延长2BF与 E 相交于另一个点 C（2BF与 x 轴不垂直），证明：直线 AC 与椭圆221129xy+=相切 19（17 分）已知函数2()()exf xxa=（1）讨论()f x的单调性；（2）设1x，2x分别为()f x的极大值点和极小值点，记()()11,A xf x，()()22,B xf x（）证明：直线 AB 与曲线()yf x=交于另一点 C；（）在（i）的条件下，判断是否存在常数()*(,1)n nn+N，使得|ABBC=若存在，求 n；若不存在，说明理由 附：ln20.693=，ln51.609=绝密启用前绝密启用前 重庆一中高二下开学考试重庆一中高二下开学考试 数学试题参考答案数学试题参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1B 2D 3C 4D 5D 6C 7C 8D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9ACD 10BCD 11ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 120 或12 132；,12022,2022(1),2023nnnn（答案不唯一）学科网（北京）股份有限公司 1410,(1,)e+四、解答题：共四、解答题：共 77 分分 15解：（1）取 AB 的中点 O因为PAPB=，所以POAB 因为平面PAB 平面 ABCD，且平面PAB平面ABCDAB=，所以PO 平面 ABCD 因为BD 平面 ABCD，所以POBD 因为tantanBOADBCOABDBCAB=，所以BCOABD=，因此COBD 因为POCOO=，所以BD 平面 POC 又因为PC 平面 POC，所以PCBD （2）以 O 为坐标原点，OA的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 由题设得(1,0,0)A，(0,0,1)P，()1,2,0D，()1,2,0C，(1,0,1)PA=，()0,2,0AD=，()1,2,1PC=设(,)nx y z=是平面 PAD 的法向量，则0,0,n ADn AD=即20,0,yxz=可取(1,0,1)n=所以2cos,2n PCn PCnPC=因此 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为22 16解：（1）由题设得332228aSSS=，即32232SS=因此nSn的公比为 2，于是1121nnSSn=，即112nnSnS=又因为24S=，所以2114SS=，即12nnSn=当1n=时，111aS=当2n 时，12212(1)2(1)2nnnnnnaSSnnn=+所以()2*(1)2nnann=+N 学科网（北京）股份有限公司 又因为233 212S=，312311Tbbbb=+=，所以3311315STb=，因此12b=，21b=因为1121nnnnbbbb+=+=+，所以2nnbb+=因此 na的通项公式为2(1)2nnan=+，nb的通项公式为2,1,.nnbn=为奇数为偶数（2）设21 2122nnnnncaba b=+，由（1）得2322121 212242(21)24nnnnnnnncaba bnn=+=+=，所以nna b的前 2n 项和()2121 212211114143nnnnnkkkkkkkkkkkka baba bc=+=17解：（1）当1a=时，21()cos12f xxx=+，xR，则()sinfxxx=令函数()sing xxx=，则()1 cos0g xx=，可得()g x单调递增 又(0)0g=，所以当(0,)x+时，()0g x，当(,0)x 时，()0g x 所以()f x的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,)+（2）若0a=，则21()2f xx=，此时0 x=是()f x的极小值点，故0a()sinfxxaax=，令函数()sinh xxaax=，则22()1cos1cos|h xaaxaa x=令函数2()1cos|(0)xaa x a=，可知()x在区间0,|a上单调递增 当2(0)10a=且0a，即11a 且0a 时，()(0)0 x，此时()h x在区间0,|a上单调递增，则()(0)0h xh=，此时0 x=不可能是()f x的极大值点 当2(0)10a=，即1a 时，由()x在区间0,|a上单调递增，可知存在0,|ma，使得当0,)xm时，()0 x，则2222attbabc=+，故22ct=，即22cea=（2）2AF，|AB，2BF成等差数列，222|ABAFBF=+，又22|4ABAFBFt+=，4|3ABt=，AB 与 y 轴不平行，所以直线 AB 的斜率存在，若 AB 的斜率为 k，设直线 AB 方程为22yk xt=+，()11,A x y，()22,B xy，联立222222yk xtxyt=+=，消去 y 得()222222212 20kxtk xt kt+=，则21222221222 22121tkxxkt ktx xk+=+=+，222122214|11123tkABkxxktk+=+=+=+，解之得1k=，故直线 AB 方程为202xyt+=或202xyt+=设(,)B m n，则2222mn+=，令11ABnkkm=+，21BCnkkm=，AB与 y 轴不平行且 AB、BC 斜率存在，1m，联立122(1)12yk xxy=+=，消去 y 得()2222111214220kxk xk+=，且()21810k=+，由韦达定理可知，22112212112221211nmkmxknm+=+，并注意到2222mn+=，得213423mmmxm+=+，即13423mxm+=+，学科网（北京）股份有限公司 故()111123nykxm=+=+，得34,2323mnAmm+，同理得34,23 23mnCmm此时，2323343462323ACnnmmmkmmnmm+=+，直线 AC 的方程为3423623nmmyxmnm=，整理得163myxnn=，联立221631129myxnnxy=+=，消去 y 得()222224440mnxmxn+=，注意到2222mn+=，故2224440 xmxn+=，此时，()()222216321162320mnmn=+=+=，直线 AC 与椭圆221129xy+=相切 19解：（1）2()2()e()e(2)()exxxfxxaxaxaxa=+=+令()0fx=得2xa=或xa=当(,2)(,)xaa+时，()0fx；当(2,)xaa时，()0fx所以()f x在(,2)a，(,)a+单调递增，在(2,)aa单调递减（2）由（1）得12xa=，2xa=（）直线 AB 的方程为()(2)()()(2)f af ayf axaaa=，即22e()ayxa=由2(),2e()ayf xyxa=得2()()e2e0 xaxaxa+=设2()()e2exag xxa=+，则()e()e(1)exxxg xxaxa=+=+学科网（北京）股份有限公司 令()0g x=得1xa=当(,1)xa 时，()0g x所以()f x在(,1)a单调递减，在(1,)a+单调递增 因为(2)0g a=，2(1)(2e)e0ag a=，所以()g x有且仅有 2 个零点2a，0 x，其中0(1,)xaa 这表明方程2()()e2e0 xaxaxa+=的解集为02,ax a，即直线 AB 与曲线()yf x=交于另一点 C，且 C 的横坐标为0 x（）由（）得()020e2exaax=，即()()00lnln22axax=假设存在常数()*(,1)n nn+N，使得|ABBC=，则00(2)2aaaxax=，所以02xa=，代入可得2ln20+=设2()ln2h xxx=+，则22()xh xx=令()0h x=得2x=当(1,2)x时，()0h x所以()h x在(1,2)单调递减，在(2,)+单调递增 因为(1)0h=，3(4)2ln22 0.7 1.502h=，所以存在唯一的(4,5)，使得()0h=此时()()0222002e2ee2eaxaag xxa=+=+ln22222ee2ee20aa=+=+=因此，存在常数()*(,1)n nn+N，使得|ABBC=，且4n=