2024年普通高等学校全国统一招生考试适应性测试数学模拟试卷含答案.pdf
S 数学试题 第 1 页（共 4 页）2024 年普通高等学校全国统一招生考试适应性测试 数 学 2024.2 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合|i,2,*nAx xnk kN，|cos2isi2n,nnBxnxCZ，则BA A 1,1 B i,i C D0 2设研究某两个属性变量时，作出零假设0H并得到 22 列联表，计算得220.05，则下列说法正确的是 A有 99.5%的把握认为0H不成立 B 有 5%的把握认为0H的反面正确 C有 95%的把握判断0H正确 D有 95%的把握能反驳0H 3设锐角与，若tan2，tan3，则 A34 B4 C2 D38 4设向量(1,)x a，向量(2,)x xb，若ab且|ab 则x A2 B2 C1 D2或 1 5已知平面直角坐标系xOy 中双曲线2222:1(,0)Cxyaabb.设1F 是 C 的左焦点，22(0,3()aPb连接1PF交双曲线 C 于 Q.若1QOPF，则 C 的离心率 e 的值为 A1531 B1361 C1331 D1331 6定义运算“&”，若&(&)&xyzxyz且&0 xx，则2024&(2023&2022)A2021 B2022 C2023 D2024#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#S 数学试题 第 2 页（共 4 页）7设,0 x y，1xy，则2211()(11)xy的最小值为 A3 B5 C7 D9 8把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 A记事件 A 为“翻开第 3 张牌时出现了第一张 A”，事件 B 为“翻开第 4 张牌时出现了第一张 A”，事件 C 为“翻开的下一张牌是黑桃 A”，事件 D 为“下一张翻开的牌是红桃 3”，则下列说法正确的是 A(A)(B)PP B(C)(D)PP C(A)(B)PP D(C)(D)PP 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正 n 面体的骰子来进行游戏。下列数字可以作为 n 的取值的是 A4 B12 C16 D20 VEF2VEF.10随机变量 X 的分布列如下表，随机变量2(3,)3YB设ZXY，29(0)81P Z，且 X 与 Y 互相独立，则下列说法正确的是 X a 1 P p 1p A517p B13p C0a D2()3E Z 11从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转。某苏州地区（经纬度约 120E，31N）的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计，则杆影可能的轨迹是 A半圆形 B双曲线 C直线 D椭圆 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12空间内四点(0,0,0)A，(1,0,0)B，)312,(2,0C，D 可以构成正四棱锥，则点 D 的坐标是 13 等差数列 na按照如图的方式排列成一个nn的方阵，并从里到外分为 n 层.设第 n 层内的所有数字和为nS，且有32812103nSnnn，则数列na的公差为 （第 13 题图）#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#S 数学试题 第 3 页（共 4 页）14现有一只蜜蜂沿如图所示的用 8 个完全一样的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A 点飞行到B 点，可能的飞行路径共有 种（用数字作答）（第 14 题图）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）生物学中，我们常用 Sigmoid 型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在 R 上的函数)()1e(0 xaaf x来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等（1）记()f x的导数为()fx，若()()1()fxf xf x，求 a；（2）若yK是()f x的渐近线，则我们称 K 为该生态系统的 K 值某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足 Sigmoid 模型，其 K 值为 K请通过计算，求该鱼塘中该种鱼的种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即()f x瞬时变化率最大）16（15 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PAPB，PCPD，且平面 PAB平面 PCDE、F 分别是 AB、CD 的中点22ABBC（1）求证：PEF 是直角三角形；（2）求四棱锥 PABCD 体积的最大值；（3）求平面 PEF 与平面 PBC 的夹角余弦值的范围#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#S 数学试题 第 4 页（共 4 页）17（15 分）平面直角坐标系 xOy 中，有一直线:1l x 与圆221)41:(2Cxy过 O 作直线 m交圆 C 与直线 l 分别于A、B两点取射线 OA 上一点 Q，使得|OQAB记 Q 的轨迹为 E设BOC，00(,)Q xy，并设0cosxAB，0sinyAB（1）求 E 的方程；（2）设抛物线22:ypx，直线1:lykx(0)k 交 E 于点 M，记 OM 的中垂线为直线n，若直线 n 与曲线 相切，求 的标准方程 18（17 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别记作 a，b，c已知ABC 的周长为 4，且有64sinsinabcbAC（1）求ABC 的面积；（2）设ABC 内心为 I，外心为 O，1IO，求外接圆半径 注：在ABC 中，有coscoscos1rABCR，其中 r 和 R 分别为三角形内切圆与外接圆的半径 19（17 分）若干个顶点及部分点之间的连线构成了一个“图”若对某图进行变换，使原来任意两个有连线的顶点之间都不再有连线，原来任意两个没有连线的顶点之间现在都有连线，则所得图为原图的“补图”若一图和其补图本质上结构完全相同（这意味着，把其中一个图的顶点以适当的方式与另一个图的顶点建立一一对应的关系，那么对于谁和谁之间有连线、谁和谁之间没有连线这样的问题，两个图的情况是完全一样的），则称这个图和它自己是互补的，简称该图为“自补图”（1）构造出所有的有 5 个顶点的自补图；（2）对于哪些正整数 n，存在顶点数为 n 的与自己互补的图求出所有 n 并说明你的理由#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#数学试题第1页（共6页）数学参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1B 2D 3A 4C 5A 6C 7D 8B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9ABD 2 10BCD B2C1D3 11BC 3 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 20 分 121()3,2,636 134 14291 四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）解：（1）2e()(e1)xxafx，e()e1xxaf x，则ee1e()1()e1e1xxxxxaaf xf x 则ee(e1e)xxxxaaa，因此1e1exxa，解得1a （5 分）（2）即求2e()()(e1)xxg xfx的最大值 则令230ee()(e1)xxxg x，令e0 xt，则20tt，解得0t（舍），1t，解得0 x 因此可列表：x(0),(0,)()g x ()g x#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#数学试题第2页（共6页）因此可得0 x 是()g x的极大值点，因此在0 x 时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，因此11(0)1 12f 而1e1()e11e1xxxf x，因此可知当种群数量为2K时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（8 分）16（15 分）（1）设平面 PAB平面 PCDl，由于 ABDC，AB 平面 ADC，CD 平面 ADC，因此AB平面 PDC，而 AC平面 APB，平面 PAB平面 PCDl，因此 ABl，而 ABPE，因此 lPE 而平面 PAB平面 PCD，平面 PAB平面 PCDl，PE平面 PAB，因此 PE平面 PDC，而 PF平面 PDC，因此 PEPF，故PEF 是直角三角形（6 分）（2）由于 PEPF，1EF，因此 P 是以 EF 为直径半圆上的点 而 ABEF，ABPE，PEEFE，PE，EF平面 PEF，因此 AB平面 PEF，而 AB平面 ABCD，因此平面 PEF平面 ABCD 故P到平面ABCD的最大距离为12，四棱锥PABCD体积最大为1126232 （3 分）（3）设 EF 中点为 O，作过 O 垂直 EF 的直线 m设平面 PEF 与平面 PBC 夹角为 以 O 为原点，OE，m，过 O 垂直于平面 ABCD 的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz 则),1(20,0E，),01(20,F，)212,(2,0B，)2,120(2,C，并设11(cos,0,sin)22P 平面 PEF 的一个法向量为(0,1,0)m，)2i111()(2cos,2,s n(0 2)2,BP ，(1),0,0BC ，设平面 PBC 的法向量为n，因此00PBBCnn ，可取(0,sin),2n 22sincossin，不妨设0sin(,1t，#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#数学试题第3页（共6页）2()2tf tt，222()202()tttf，因此cos随sin增大而增大 因此3(0,cos3（6 分）17（15 分）（1）OQABOBOA，则22cos(1c11sincosos)scocosOQAB 因此202000()OQyyOQOQxxOQ而2020 xOQy且22002OQxy，代入得32000(1)xyx，因此 E 的方程为321xyx（8 分）（2）将1l与 E 联立：3221xk xx，得221Mkxk，321Mkyk 易知1nkk，线段OM的中点为2223,)(22 22kkkk，则直线 n：22231(2222)kkyxkkk，即42222kkxkyk 与抛物线联立：22220(1)21pkkypkyk，即2202ypkypk，222044pkp k，解得1p 或 0（舍去）因此22:yx （7 分）#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#数学试题第4页（共6页）18（17 分）（1）可知611()22sin(sin)1abCbcA，即216S，解得4S （5 分）（2）可知内接圆的半径22SrC 连接 IB、OB，设OBI，则2212cosBIBOBI BO 不妨设外接圆半径为 R，则22241co()sin2ssin2RRBB 由角度关系，coscos()cos()sin()222NBCCBBMBAA，因此代入有 222244 sin42()42(coscos)221sinsinsin222sin()1cosBBrRRRACRRBBABB，整理：222sin1)42()(1cos2BRRRB 右式24422 cos2(cos1)42sinBRRBRBR 由于2sin02B，因此214RR，解得52R （12 分）19（17 分）（1）如图：（2）如果一个图有 n 个顶点，那么它总共就有(1)2n n条可能的连线，而一个图要想和自己互补，其连线数必然是(1)4n n的一半，#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#数学试题第5页（共6页）因此 n 是形如4k或41k 的正整数下面说明这一点 当1n 时，其自身便互为“图”与“补图”当4n 时，链状图满足要求不妨把这 4 个顶点分别记作 A、B、C、D，那么 ABCD 的补图就是 BDAC 设另一能与自己互补的有 k 个顶点的图 G，将链 ABCD 加入 G 得到G，将 A 与 D 分别与这 k 个顶点相连，该图仍为自补图，则此时图G有4k 个顶点，因此，从1n 和4n 的情形出发，如此扩展，不难说明对于所有形如4k和41k 的正整数 n，存在顶点数为 n 的与自己互补的图 备用题 16（15 分）在光明中学数学节上，某数学小组展示了如图的乘法计算器数学小组提供了以下数据：以输入线所在直线为 y 轴，输出线所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy；D 点是输出线最左端，距离输入线12单位；设点 A 与点 B 的纵坐标分别为1y、2y12(0,0)yy数学小组展示了部分机械结构，并告知大家 E、F 两点在一连续曲线 C 的凹槽中随着 A、B 输入端的运动而运动，且 C 关于输出线对称，但他们没有具体给出曲线 C 的方程（1）根据该计算器的用途，写出点 C 的横坐标（用题中字母表示）；（2）直接写出 C 的形状并求出其方程 16（15 分）解：（1）1212Cxy y（2）C 是抛物线 设抛物线方程为22ypxt，则其焦点为()2,pt.#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#数学试题第6页（共6页）设11(,)E x y，22(,)F xy，则直线 EF 的方程为211121()yyyxxxxy，而2112ytxp，2222ytxp，代入直线方程：212222111()22yxyyytyyypp，整理得1212122y ytpyyyyyx，令0y，则1212122Cy ytpyxyyy，即122Cytpxy，对比目标式，可知12p，12t 因此212yx#QQABKQYUggAoAAIAAAgCQwV6CAOQkAACCAoGhEAMoAAAyRNABAA=#
