重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高三下学期2月月度质量检测数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷第 1 页 共 4 页秘密2024 年 2 月 16 日 17：00 前重庆市 2023-2024 学年（下）2 月月度质量检测高三数学高三数学【命题单位：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；检测员拟对一批新生产的 1000 箱牛奶抽取 10 箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（）A用简单随机抽样，用分层随机抽样B用简单随机抽样，用简单随机抽样C用分层随机抽样，用简单随机抽样D用分层随机抽样，用分层随机抽样2下列函数既是奇函数，又在0,上单调递增的函数是（）A1yxxB22xxyClnyxD3yx3已知 na是公比为 2 的等比数列，若1325aa，则5a（）A100B80C50D404若55sin1213，则cos 26（）A119169B50169C119169D501695已知圆22:210C xxy，直线10mxn y与圆C交于A，B两点.若 为直角三角形，则（）A0mn B0mnC0mnD2230mn学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷 第 2 页 共 4 页6已知数列 na满足1ia，1iinnaa，若513i810ka，则正整数 k 的值是（）A8B12C16D207已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点1F，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在直线2axc上，若12PQFO，11111(0)FPFOF QFPFO，则椭圆的离心率为（）A12B32C312D5128对于一个古典概型的样本空间和事件 A，B，C，D，其中()60n，()30n A，()10n B，()20n C，()30n D，()40n AB，()10n AC，()60n AD，则（）AA 与 B 不互斥BA 与 D 互斥但不对立CC 与 D 互斥DA 与 C 相互独立二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9已知 sin(0)4f xx，若:2p，且p是q的必要条件，则q可能为（）A f x的最小正周期为B4x 是 f x图象的一条对称轴C f x在0,4上单调递增D f x在,4 2上没有零点10设奇函数 f x与偶函数 g x的定义域均为R，且在区间I上都是单调增函数，则（）A f xg x不具有奇偶性，且在区间I上是单调增函数B f xg x不具有奇偶性，且在区间I上的单调性不能确定C f x g x是奇函数，且在区间I上是单调增函数D f g x是偶函数，且在区间I上的单调性不能确定11对于任意两个正数u，v uv，记曲线1yx与直线xu，xv，x轴围成的曲边梯形的面积为,L u v，并约定,0L u u 和,L u vL v u，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现1,lnLxx.关于,L u v，下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷 第 3 页 共 4 页A1 1,4,86 3LLB501004,31002,3LLC2,vuL u vuvD,uuL uvvu三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12若命题2230 xxmxm R，为真命题，则 m 的取值范围为 .13在多面体 PABCQ 中，2PAPBPCABACBC，QAQBQC且 QA，QB，QC 两两垂直，则该多面体的外接球半径为 ，内切球半径为 14已知12,x x为方程21120tantan3xx的两个实数根，且,0,2，123xx，则tan的最大值为 .四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)若规定试验者乙至多可进行*n nN轮试验（若第n轮不成功，也停止试验），记乙在第*,k kknN轮使得试验成功的概率为kP，则乙能试验成功的概率为1()nkkP nP，证明：13P n.16（15 分）如图，AB是半球O的直径，4,ABM N是底面半圆弧上的两个三等分点，P是半球面上一点，且60PON(1)证明：PB 平面PAM：(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷 第 4 页 共 4 页17（15 分）设aR，函数 2sincosf xxxa，,2x.(1)讨论函数 f x的零点个数；(2)若函数 f x有两个零点1x，2x，试证明：12121tantan31tantanxxxx.18（17 分）已知抛物线：22yx，直线:4l yx，且点,B D在抛物线上(1)若点,A C在直线l上，且,A B C D四点构成菱形ABCD，求直线BD的方程；(2)若点A为抛物线和直线l的交点（位于x轴下方），点C在直线l上，且,A B C D四点构成矩形ABCD，求直线BD的斜率19（17 分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程2)(eexxcccy，其中c为参数.当1c 时，就是双曲余弦函数eecosh2xxx，类似地我们可以定义双曲正弦函数eesinh2xxx.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x _.（只写出即可，不要求证明）；(2)1,1x ，不等式cosh2cosh0 xmx恒成立，求实数m的取值范围；(3)若 3,42x，试比较cosh(sin)x与sinh(cos)x的大小关系，并证明你的结论.学科网（北京）股份有限公司高三数学答案 第 1 页 共 6 页秘密2024 年 2 月 16 日 17：00 前重庆市 2023-2024 学年（下）2 月月度质量检测高三数学答案及评分标准高三数学答案及评分标准【命题单位：重庆缙云教育联盟】试卷视频讲解一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C2D3B4A5A6B7D8D二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9AC10ABD11ABC三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12,31,13 62 6221412 2四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（1）由题意得，X的可能取值为1,2,3，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为13，211139P X，依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为14，2111219418P X ，易知531126P XP XP X，X的分布列为：X123学科网（北京）股份有限公司高三数学答案 第 2 页 共 6 页P1911856X的数学期望11549123918618E X .（2）证明：当2k 时，不难知道2222111111134(1)(2)kPkk，2222111111134(1)(2)kk222222 4 3 512134(1)(2)312kkkkkk，212112312312kPkkkkk，由（1）可知119P，又1121193 1 112P，*21211312312kPkkkkkN，12 111111()3 233412nkkP nPnn12133(2)3n.即 13P n.16（1）连接,OM MN BM，因为,M N是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有60MONNOB，又因为2OMONOB，所以 ,都为正三角形，所以MNNBBOOM，四边形OMNB是菱形，记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，因为60,PONOPON，所以三角形OPN为正三角形，所以132PQBM，所以PBPM，因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PBPA，因为PMPAP，,PM PA平面PAM，所以PB 平面PAM学科网（北京）股份有限公司高三数学答案 第 3 页 共 6 页（2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，由（1）知Q为ON的中点，为正三角形，所以PQON，所以PQ底面ABM，因为四边形OMNB是菱形，所以MBON，即MBONPQ、两两互相垂直，以点Q为坐标原点，QM，QN，QP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Qxyz，如图所示，则0,1,0,3,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,3OMBNP，所以3,0,3PM ，0,1,3OP ，3,1,0OB ，设平面PAB的一个法向量为,mx y z，则00m OPm OB ，所以3030yzxy，取1x，则1,3,1m，设直线PM与平面PAB的所成角为，所以3310sincos,565PM m，故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为10517（1）2coscos1f xxxa，令 0f x，即2coscos1xxa ，当,2x时，令cos1,0tx，所以21,04tt ，则 0f x 即21tta ，所以当10a 或114a 时，即1a 或54a 时，21tta 无解；当114a 时，即54a 时，21tta 仅有一解；当1104a 即514a时，21tta 有两解，综上，1a 或54a 时，f x无零点；54a 时，f x有一个零点；514a时，f x有两个零点.（2）若 f x有两个零点1x，2x，令11costx，22costx，则1t，2t为21tta 两解，学科网（北京）股份有限公司高三数学答案 第 4 页 共 6 页则121tt，则12coscos1xx，则1222211ccos2coososc sxxxx，由12,2x x可得1cos0 x，2cos0 x，则120c2oscosxx，所以2212coscos1xx，所以2221223cossincos2xxx，由2,2x可得23,22x，所以23cos02x，则123coscos2xx，由cosyx在,2递减，可得1232xx，所以1232xx，所以12cos0 xx令121tantanxx，则1212121212coscoscossinsin0coscoscoscosxxxxxxxxxx要证12121tantan31tantanxxxx成立，即证：1132 ；即证：2210，因为222110 显然成立，故原式成立.18（1）由题意知ACBD，设直线:BD xym 联立22xymyx 得2220yym，则2,2BDBDyyy ym ，222BDBDxxyymm，则BD的中点1,1m在直线4yx上，代入可解得2m，2240,200yy，满足直线与抛物线有两个交点，所以直线BD的方程为2xy，即20 xy （2）当直线,AB AD的斜率为0或不存在时，均不满足题意学科网（北京）股份有限公司高三数学答案 第 5 页 共 6 页由242yxyx得22xy 或84xy（舍去），故2,2A方法一：当直线,AB AD的斜率存在且不为0时，设直线:22AB xt y联立2222xt yyx 得22440ytyt，所以2AByyt所以2242,22Bttt同理得22422,2Dttt由BD的中点在直线4yx上，得22124122422422222tttttt，即221140tttt令1tpt，则220pp，解得2p 或1p 当1p 时，直线BD的斜率22222211124322422BDttktttttt；当2p 时，直线BD的斜率不存在所以直线BD的斜率为13方法二：设1122,B x yD xy，线段BD的中点,4M a a，则12122,24xxa yya由ABAD，得121222122yyxx，即1222122212222yyyy 所以1212280y yyy又2222121212121144222y yyyyyaxx221444218322aaaa，故1212280y yyy可转化为2218324480aaa，即211280aa解得7a 或4a 所以直线BD的斜率21212221212121422BDyyyykyyxxyya学科网（北京）股份有限公司高三数学答案 第 6 页 共 6 页当4a 时，斜率不存在；当7a 时，斜率13BDk所以直线BD的斜率为13 19（1）22ee(ee)(ee)sinh 22sinhcosh22xxxxxxxxx.（2）依题意，1,1x ，不等式22eeeecosh2cosh0022xxxxxmxm，函数exu 在 1,1上单调递增，1e,eu，令e1exxtuu，显然函数1tuu在1e,1上单调递减，在1,e上单调递增，12,eet，又2222ee(ee22)xxxxt，于是 1,1x ，22cosh2cosh0022tmtxmx，因此12,eet，2mtt，显然函数2ytt在12,ee上单调递减，当2t 时，max1y，从而1m ，所以实数m的取值范围是1m .（3）3,42x，cosh(sin)sinh(cos)xx.依题意，3,42x，sinsincoscoseeeecosh(sin)sinh(cos)22xxxxxxsincossincos()1eeee2xxxx，当 5,44x时，0,4x，sincos2sin()04xxx，即sincosxx，于是sincos0eexx，而sincos0eexx，因此cosh(sin)sinh(cos)0 xx，当5 3(,42x时，cos0 x，则coscosxx，coscoseexx，即coscos0eexx，而sinsin0eexx，因此cosh(sin)sinh(cos)0 xx，于是 3,42x，cosh(sin)sinh(cos)0 xx，所以cosh(sin)sinh(cos)xx.