福建省2023-2024学年高三下学期开学考试金太阳联考数学试题含答案.pdf

更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司高三数学高三数学注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名，为生号，考场号，座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自已的姓名，为生号，考场号，座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1,2,|11ABx x=-=-，则AB=（）A.0 B.1-C.1,0,1-D.1,0,1,2-2.32i22i+-=（）A.102i-+B.102i-C.102i+D.102i-3.已知2xfx=，则 3f=（）A.8B.9C.2log 3 D.3log 24.国家统计局发布的 2018 年至 2022 年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（）（居民消费水平：农村居民消费水平农村人口数+城镇居民消费水平城镇人口数农村人口数+城镇人口数）A.2018 年至 2022 年我国居民消费水平逐年提高B.2018 年至 2022 年我国城镇居民消费水平逐年提高C.2018 年至 2022 年我国居民消费水平数据的60%分位数为 27504 元D.2022 年我国城镇人口数比农村人口数的 1.5 倍还要多5.已知sincossin44aaa-+-=，则tan4a-=（）福建省2023-2024学年高三下学期开学考试金太阳联考数学试题更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司A.0 B.1 C.-1 D.226.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环（如图 1）后，制成了简易笔筒（如图 2）的侧面，在它的轨截面ABCD中，10cm,15cmABADCD=，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（）A.3 B.2 C.4 D.67.过原点O的直线:l ykx=与圆22:66160M xxyy-+-+=交于,A B两点，且OAAB=，则k=（）A.1 B.2 C.12 D.28.已知函数 sin(0)f xxwjw=+，若任意,f xjR在0,2上有零点，则w的取值范围为（）A.0,+B.1,+C.2,+D.3,+二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左右焦点分别为12,F F O为坐标原点，直线yb=与双曲线C的渐近线交于点,A B（A在第二象限，B在第一象限），下列结论正确的是（）A.12BFBFB.2BFAOC.若OABV的面积为 2，则双曲线C的焦距的最小值为 4D.若OABV的面积为 2，则双曲线C的焦距的最小值为 8更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司10.如图，三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14,L排列而成，按照此规律，下列结论正确的是（）A.数阵中前 7 行所有数的和为 1190B.数阵中第 8 行从左至右的第 4 个数是 101C.数阵中第 10 行的第 1 个数是 137D.数阵中第 10 行从左至右的第 4 个数是 14611.已知定义在R上的函数 f x满足 f xf xf xyf xy-=，当,00,x-+，时，0f x.下列结论正确的是（）A.1122f=B.101f=C.f x是奇函数 D.f x在R上单调递增三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为F，点,4pPa在抛物线C上，且3PF=，则p=_.13.甲乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢 2 局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为35，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第 3 局才分出胜负的概率为_，本次比赛甲获胜的概率为_.14.如图，将正四棱柱1111ABCDABC D-斜立在平面a上，顶点1C在平面a内，1AC 平面1,26AAABa=.点P在平面a内，且13PC=.若将该正四棱柱绕1AC旋转，PC的最大值为_.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（13 分）已知正项等比数列 na满足121316,aaa aa+=.（1）求 na的通项公式；（2）记 na的前n项中最大值为nM，最小值为nm（规定：111Mma=），令2nnnMmb+=，求数列 nb的前n项和nS.16.（15 分）将 3 个数字 1，2，3 随机填入如下 99 个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的 3 个数字从左到右依次变大.（1）求数字 2 填在第 2 个空格中的概率；（2）记数字 2 填在第x个空格中的概率为 P x，求 P x的最大值.17.（15 分）如图，在四棱锥PABCD-中，四边形ABCD是菱形，,PAAC BDPC PAAB=.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司（1）证明：PA平面ABCD.（2）若4,60PCPEABC=ouuu ruuu r，求二面角ABDE-的余弦值.18.（17 分）已知椭圆C的方程为22221(0)xyabab+=，右焦点为1,0F，且离心率为12（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于,A B两点，证明，圆22325416xy-+=恒与以弦AB为直径的圆相切.19.（17 分）已知函数 2f xxa=-.（1）若曲线 yf x=在点,a f a处的切线过点4,2，求a的值；（2）若 1exf xa-恒成立，求a的取值范围.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司高三数学参考答案高三数学参考答案1.B ,02,1BAB=-+=-.2.D 232i22i66i4i4i102i+-=-+-=-.3.C 令23x=，可得2log 3x=，则 23log 3f=.4.D 2019 年的居民消费水平比 2020 年的居民消费水平高，A 错误.2019 年的城镇居民消费水平比 2020 年的城镇居民消费水平高，B 错误.2018 年至 2022 年我国居民消费水平数据从小到大排序为25245,27439,27504,31013,31718,5 60%3,2018=年至 2022 年我国居民消费水平数据的60%分位数为275043101329258.52+=元，C错误.设我国农村人口数为x，城镇人口数为y，则195303828931718xyxy+=+，化简得12188365712yx=，所以 2022 年我国城镇人口数比农村人口数的 1.5 倍还要多，D 正确.5.C 因为sincos2sin44aaa-+-=，所以2sinsinaa=，则sin0a=，即,kka=Z，所以tantan144ka-=-=-.6.B 延长,CB DA交于点O，设圆台上下个底面的闪心分别为21,O O.连接1OO，设21,OBx O Br OCR=.因为21OO BOOCVV，所以rOBROC=，则20cmx=.设所求圆心角为q，则2xrq=，所以22rxq=.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司7.A 圆22:66160M xxyy-+-+=，即圆22:(3)(3)2Mxy-+-=，圆心3,3M到直线l的距离为,d AB的中点为C.因为OAAB=，所以3OCAC=.因为22333 2OM=+=，所以222|18OCOMdd=-=-.又因为22ACd=-，所以22183 2dd-=-，解得0d=，所以直线l经过圆心3,3M，所以30130k-=-.8.C 令txwj=+，由题意可得sin0t=在,2wjj+上有解.因为sin0t=在,a b内有解的最短区间长度为ba-=.所以2wjj+-，解得2w.9.AC 12OBcOFOF=，点B在以O为圆心，1OF为半径的圆上，所以12BFBF，A 正确.直线2BF的斜率为bca-，直线AO的斜率为,bbaca-与ba-不一定相等，所以直线2BF与直线AO不一定平行，B 错误.OABV的面积为1222a bab=，双曲线C的焦距为22222 22 44cabab=+=，当且仅当2ab=时，等号成立，所以双曲线C的焦距的最小值为4,C正确，D错误.10.ACD 设等差数列2,5,8,11,14,L的通项公式为31nbn=-.数阵中前 7 行共123728+=L个数，数阵中前 7 行所有数的和为28 27 32 2811902+=，A 正确.令31101nbn=-=，解得34n=，前 7 行共 28 个数，第 8 行有 8 个数，所以 101 是数阵中第 8 行从左至右的第 6 个数，B 错误.记每一行的第 1 个数组成数列 na，则121324312,3,63 2,93 3,31nnaaaaaaaaan-=-=-=-=-=-L，累加得更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司131312312nn naan-=+-=L，所以210334,1372nnnaa-+=，C 正确.数阵中第 10 行从左至右的第 4 个数是1374 13146+-=，D 正确.11.ACD 令0 xy=，可得 00f=.令1xy=，可得 21 1ff=.因为当0 x 时，0f x，所以 11f=.令xy=，可得 220f xf x=.因为20 x，所以当0 x时，0f x.又因为当0 x 时，0f x，所以当0 x 时，0f x.令1y=，可得 1f xf xf xf x-=，所以 11,11f xf xf xf x-=+-=，两式相加可得112f xf x+-=.令1y=-，可得 1f xf xf xfx-+=-.-可得 11f xf xf xf xfx+-=-，化简可得 f xfx=-，所以 f x是奇函数，C正确.由 11f xf x-=，可得 2112,3213,4314,1010fffffff=+=+=+=L，B 错误.由 11,f xf xf xfx+-=-可得111,2211,22ffff-=-解得11,A22f=正确.令112,xx yxx=-，可得 112121f xxxf xf xf x-=.令210 xx-.因为当0 x 时，0f x，所以 11120,0f xf xxx-，所以 1121210f xxxf xf xf x-=，即 12f xf x，所以 f x在0,+上单调递增.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司因为 f x为奇函数，所以 f x在R上单调递增，D 正确.12.4 342ppPF=+=，解得4p=.13.1225；81125（本题第一空 2 分，第二空 3 分）到第 3 局才分出胜负，则前两局甲乙各赢一局，其概率为123212C5525=.若甲获胜，分 2 种情况：甲连赢 2 局，其概率为3395525=，前两局甲乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为1232336C555125=.故甲获胜的概率为9368125125125+=.14.51 过点C作1CEAC，垂足为E，连接AC.易得CE平面a，所以点C到平面a的距离为11.3 2,C E ACAC=2211113 6,2 3,AC CCACCCCEC EAC+=2212 6CCCE-=.过点C作CC 平面a，垂足为C（图略）.当1,C C P三点共线，且11C PC CC P+=时，PC取得最大值，最大值为22221111151C EC CC PC ECEC P+=+=.15.解：（1）设 na的公比为q，则11231116,aa qa a qa q+=解得12aq=或3q=-（舍去）.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以 na的通项公式为2nna=.（2）因为 na是递增数列，所以2,2nnnMm=，1222122nnnnnMmb-+=+.122112nnnSnn-=-=+-.16.解：（1）数字 2 填在第 2 个空格中的概率为197399C1C1617=.（2）由题意可得298x，且x+N.111993399991 99CCCCxxxxP x-=.当50 x=时，P x取得最大值，最大值为23994949C3201=.17.（1）证明：记ACBDO=.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为,BDPC PC平面,PAC AC 平面PAC.且ACPCC=，所以BD 平面PAC.因为PA平面PAC，所以BDPA.因为,PAAC AC平面,ABCD BD 平面ABCD，且ACBDO=，所以PA平面ABCD.（2）解：以O为坐标原点，分别以,OC ODuuur uuur的方向为,x y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设4AB=，则0,2 3,0,0,2 3,01,0,3,1,2 3,3,(0BDEBEBD-=-=uuu ruuu r，4 3,0).设平面BDE的法向量为,mx y z=r，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司则4 30.2 330,m BDym BExyz=-+=uuu rruuu rr令3x=，得3,0,1m=r.平面ABD的一个法向量为0,0,1n=r.110cos,1010n mn mn m=r rr rr r，易得二面角ABDE-为锐角，故二面角ABDE-的余弦值为1010.18.（1）解：由题意得椭圆C的半焦距1c=，且12cea=，所以2a=.又因为2223bac=-=，所以椭圆C的方程为22143xy+=.（2）证明：当直线l的斜率为 0 时，直线l的方程为0 x=此时AB为椭圆C的长轴，以弦AB为直径的圆的方程为224xy+=，该圆的半径为 2.圆22325416xy-+=的半径为54，两圆的圆心距为53244-=.满足圆22325416xy-+=恒与以弦AB为直径的圆相切.当直线l的斜率不为 0 时，设直线l的方程为11221,xtyA x yB xyAB=+的中点为00,M xy.联立221,1,43xtyxy=+=得2234690tyty+-=，所以12122269,3434tyyy ytt+=-=-+，120002234,123434yytyxtytt+=-=+=+.222121221211434tABtyyy yt+=+-=+.记圆22325416xy-+=的圆心为3,04N，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司22222243394344344 34ttMNttt+=-+-=+.222222615 34194523444 344 34tttABMNttt+-=-=+.满足圆22325416xy-+=恒与以弦AB为直径的圆相切.综上，圆22325416xy-+=恒与以弦AB为直径的圆相切.19.解：（1）11,2f aa fxfaxaa=-=.曲线 yf x=在点,a f a处的切线方程为1yaxaa-=-.因为该场线过点4,2，所以124aaa-=-，解得4a=.（2）因为 12exf xxa a-=-，所以0a，且2ax.两边平方可得222e2xaxa-.令函数 222222e2,2e12xxag xaxa xgxa-=-+=-.令函数 222222e1,2e0 xxh xah xa-=-=，所以 h x是增函数.令 2222e10 xgxa-=-=，得1 lnxa=-.下面比较1 lna-与2a的大小.令函数 21 ln,0,22aau aau au aa+=-=-=-，即1 ln2aa-.当0,aa+时，0u a，即1 ln2aa-.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司当00,aa时，当,1 ln2axa-时，0h x，即 0gx，即 0gx.所以 g x在,1 ln2aa-上单调递减，在1 ln,a-+上单调递增.22lnmin()1 lne2 1 ln2ln1ag xgaaaaaa-=-=-+=+-.令函数 22ln1,10v aaav aa=+-=+，所以 v a是增函数.由题意可得min()2ln1 0g xaa=+-，又因为 10v=，所以01 aa，符合题意.综上，a的取值范围为1,+.