福建省部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期开学质量监测数学试题含答案.pdf
高一数学 1（共 4 页）准考证号：姓名：（在此卷上答题无效）20232024 学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测数 学 试 卷（完卷时间：120 分钟；满分：150 分）温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1设集合=1 5,=N|2，则 =A 1 2B 1 0 ，则下列结论正确的是A CD15+15的解集为12三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12已知全集=1,2,3,4,5,6,7,8，=1,3,6，=3,4,5，指出 Venn 图中阴影部分表示的集合是.13已知 sin=450 2，则 tan2=.14已知函数 =+2+4 0，若 sin0+sin6+sin2=0，则关于的不等式 +2 0 成立，求实数的取值范围16（本题满分 15 分）杭州，作为 2023 年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为 =1802+20万元.(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?(2)现安排标明“汪 1”、“汪 2”、“汪 3”的 3 台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是 120 米.3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为1，2，3.“汪 1”有一半的时间以速度（单位:米/秒）1奔跑，另一半的时间以速度2奔跑；“汪 2”全程以速度 12奔跑；“汪 3”有一半的路程以速度1奔跑，另一半的路程以速度2奔跑，其中1 0，2 0，且1 2则哪台机器狗用的时间最少?请说明理由.17（本题满分 15 分）筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为 6m，筒车直径为 8m，设置有 8 个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要 24s，如图，盛水筒 A（视为质点）的初始位置0距水面的距离为 4m#QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=#高一数学 4（共 4 页）(1)盛水筒 A 经过s 后距离水面的高度为 h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h 关于 t 的函数=的解析式；(2)盛水筒 B（视为质点）与盛水筒 A 相邻，设盛水筒 B 在盛水筒 A 的顺时针方向相邻处，求盛水筒 B与盛水筒 A 的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的 t（参考公式：sin sin=2cos+2sin2，cos cos=2sin+2sin2）18（本题满分 17 分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射 tml 药品，从注射时间起血药浓度 y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：=168 2,0 6,9 2,6 18.当血药浓度不低于 2ug/ml 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过 2ml(1)若注射 1ml 药品，求药品的有效治疗时间；(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和已知病人第一次注射1ml 药品，12 小时之后又注射 aml 药品，要使随后的 6 小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值19（本题满分 17 分）已知函数 =2sincos 2cos2+22.(1)求函数 的单调递增区间；(2)若 =+4 +4，存在1,2 R，对任意 R，有 1 2恒成立，求 1 2的最小值；(3)若函数 =2+8+8+2 3 在 0,N+内恰有 2023 个零点，求与的值.#QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=#120232024 学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测数学试题参考答案阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答但解答科学合理的同样给分。科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。题号12345678答案DACABCBB二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。注意：全部选对的得 6 分，第 9 题选对其中一个选项得 2 分，第 10、11 题选对其中一个选项得 3 分。有错选的得 0 分。题号91011答案ABDBDAB三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12 2,3,7,81324714 1,32四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本题满分 13 分，第一小题 6 分，第二小题 7 分）解：（1）函数()=33+1+3经过点 1,16，所以312=16，解得=1，即()=313+1+3=313(3+1)，()=313(3+1)=132313+1，则()是 R 上的单调递增函数，理由如下：任取1、2 R，且1 31，则(1)(2)=23(132+1131+1)=233132(31+1)(32+1)0，所以(1)(2)0，即(1)0 等价于(2+)(2+4)=(2 4)，所以2+2 4，即 22+4 0，即存在 2,1,不等式 22+4 0 有解，即 2 4在 2,1上有解，由 2,1，可得 1,2，#QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=#2由对勾函数性质易知：=+2在 1,2 单调递减，在2,2 单调递增，且 1+21=2+22=3，故=+2在1,2的最大值为 3，所以 2 2 6，即2 4 6所以 (2 4)max=6，即实数的取值范围是(,6)16（本题满分 15 分，第一小题 6 分，第二小题 9 分）解：（1）由题意，购买台“机器狗”的总成本为 =1802+20，则每台机器狗的平均成本为=180+20+1 2180 20+1=1+1=2，当且仅当180=20时，即=40 时，等号成立，所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买 40 台.（2）由题意，“汪 1”满足1211+1212=120，可得1=1201+22，“汪 2”满足212=120，可得2=12012，“汪 3”满足3=601+602=1202121+2，2121+22122 12=12，1 2，所以2121+2 0，2 0，且1 2，所以可得1+2212，则1+22122121+2 0，所以1 2 3，所以“汪 1”用的时间最少.17（本题满分 15 分，第一小题 6 分，第二小题 9 分）解：（1）以简车转轮的中心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，设=sin(+)+，0,24，由题意知，2=8，+=6，=4，=2，即=4sin(+)+2，当=0 时，=4sin+2=4，解得 sin=12，结合图像初始位置可知=6，又因为=2=24，所以=12，综上=4sin12+6+2,0,24#QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=#3（2）经过s 后 A 距离水面的高度=4sin12+6+2，由题意知=28=4，所以经过s 后 B 距离水面的高度=4sin12 12+2，则盛水筒 B 与盛水筒 A 的高度差为=4 sin12+6 sin12 12，利用 sin sin=2cos+2sin2，=4 sin12+6 sin12 12=8sin8cos12+24，当12+24=,Z，即=12+12,时，H 取最大值 8sin8m，又因为 0,24，所以当=11.5 或=23.5 时，H 取最大值，综上，盛水筒 B 与盛水筒 A 的高度差的最大值约为 8sin8m，此时=11.5 或=23.518（本题满分 17 分，第一小题 6 分，第二小题 11 分）解：（1）注射 1ml 该药品，其浓度为=168 2,0 6,9 2,6 18.当 0 6 时，2 168 2，解得 4 6；当 6 18 时，2 9 2，解得 6 0，当 18,2 时，=20 4 2 12,18，所以4 2 2 1 218 2，因为 2 4 2+3=(2 1)(2 3)0，解得 0.5 2，所以 0.5当=18时，()=202+22054，(18)=34 2，所以 0,18不能保证持续有效，综上，要使随后的 6 小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为 0.5#QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=#419（本题满分 17 分，第一小题 4 分，第二小题 5 分，第三小题 8 分）解：（1）=2sincos 2cos2+22=22sin2 221+cos2+22=22sin2 22cos2=sin 2 4令2+2 2 42+2 Z，得8+38+Z函数 的单调递增区间为 8+,38+Z（2）=+4 +4=sin 2 4+cos 2 4 sin 2 4cos 2 4令 sin 2 4+cos 2 4=2sin2 2,2，则 sin 2 4cos 2 4=212 =122+12=12 12+1可得，当=1 即 sin2=22时，max=1；当=2即 sin2=1 时，min=2 12存在1,2 R，对任意 R，有 1 2恒成立，1为 的最小值，2为 的最大值，sin21=1，sin22=22，21 22min=3234=34，1 2min=38.（3）令 =2+8+8+2 3=0，方程可化为=sin22+3sin2+2=sin224+7sin2+2=sin2+2+7sin2+2 4，令 sin2+2=1,3，则+4=+7 1,3，当+4=8 时，=1，sin2=1，此时函数 在 0,N+上有个零点，=4，=2023 适合题意；当+4 163,112112,8 时，在 1,2 2,73内有一解，sin2在 1,0 或 0,13内有一取值，则此时函数 在 0,N+上有 2个零点，不适合题意；#QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=#5当+4=112时，=2,sin2=0，此时函数 在 0,N+上有 2 1 个零点，=32，=1012 适合题意；当+4=163时，=3 或73，sin2=1 或13，则此时函数 在 0,N+上有 3个零点，不适合题意；当+4 2 7,163时，在73,7 和7,3 内各有一解，sin2在13,7 2 和7 2,1 内各有一取值，则此时函数 在 0,N+上有 4个零点，不适合题意；当+4=2 7时，=7，sin2=7 2，则此时函数 在 0,N+上有 2个零点，不适合题意.综上所述，=4，=2023，或=32，=1012.#QQABQQ4QggCgAABAAAhCUwH6CEOQkBCCCIoOgEAMMAAASBFABAA=#
