2024步步高考二轮数学新教材讲义专题一　微重点1　导数中函数的构造问题含答案.docx

2024步步高考二轮数学新教材讲义微重点1导数中函数的构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题考点一导数型构造函数考向1利用f(x)与x构造例1已知函数f(x)的定义域为0，)，导函数为f(x)，若f(x)<恒成立，则()Af(2)>f(3) B2f(1)>f(3)Cf(5)>2f(2) D3f(5)>f(1)规律方法(1)出现nf(x)xf(x)的形式，构造函数F(x)xnf(x)；(2)出现xf(x)nf(x)的形式，构造函数F(x).跟踪演练1(2023·常州模拟)已知f(x)是定义在(，0)(0，)上的奇函数，f(x)是f(x)的导函数，当x>0时，xf(x)2f(x)>0，若f(2)0，则不等式x2f(x)>0的解集是_考向2利用f(x)与ex构造例2(2023·黄山模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f(x)，且满足f(x)2f(x)<0，f(0)1，则()Ae2f(1)<1 Bf(1)>e2Cf <e Df(1)>ef规律方法(1)出现f(x)nf(x)的形式，构造函数F(x)enxf(x)；(2)出现f(x)nf(x)的形式，构造函数F(x).跟踪演练2函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex1的解集为()Ax|x>0Bx|x<0Cx|x<1或x>1Dx|x<1或0<x<1考向3利用f(x)与sin x，cos x构造例3(2023·重庆模拟)已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f(x)，当0x<时，有f(x)cos xf(x)sin x>0成立，则关于x的不等式f(x)>2f cos x的解集为()A. B.C. D.规律方法函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F(x)f(x)sin x，F(x)f(x)sin xf(x)cos x；(2)F(x)，F(x)；(3)F(x)f(x)cos x，F(x)f(x)cos xf(x)sin x；(4)F(x)，F(x).跟踪演练3(2023·成都统考)记函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)为奇函数，且当x时恒有f(x)cos xf(x)sin x>0成立，则()Af >f Bf >f C.f >f D.f >f 考点二构造函数比较大小例4(1)(2023·榆林统考)已知aln ，bln ，c2ln ，则()Aa<c<b Bb<a<cCa<b<c Dc<b<a(2)(2023·咸阳模拟)已知a，b，c，则()Aa>b>c Bb>a>cCb>c>a Da>c>b规律方法构造函数比较大小的常见类型(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小跟踪演练4(1)(2023·山西联考)设a，b，c，则()Ab>c>a Bb>a>cCa>b>c Da>c>b(2)已知a1012，b1111，c1210，则a，b，c的大小关系为()Ab>c>a Bb>a>cCa>c>b Da>b>c微重点2函数的公切线问题函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养考点一求两函数的公切线例1(2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线yex1与yln x1的公切线，则直线l的方程为_规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)·(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解跟踪演练1(2023·南平模拟)已知曲线yaln x和曲线yx2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为_考点二与公切线有关的求值问题例2(2023·德阳模拟)已知曲线yex在点(x1，y1)处的切线与曲线yln x在点(x2，y2)处的切线相同，则(x11)(x21)等于()A1 B2 C1 D2规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程跟踪演练2已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax(aR)，若经过点A(0，1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于()A0 B1C3 D1或3考点三判断公切线条数例3(2023·广州模拟)曲线C1：yx2与曲线C2：yln x公切线的条数是()A0 B1 C2 D3规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况跟踪演练3已知函数f(x)x24x4，g(x)x1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为()A3 B2 C1 D0考点四求参数的取值范围例4(2023·保定模拟)若曲线f(x)(k<0)与g(x)ex有三条公切线，则k的取值范围为()A. B.C. D.规律方法利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解跟踪演练4(2023·桂林模拟)若曲线C1：yx2与曲线C2：y(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.微重点1导数中函数的构造问题例1B跟踪演练1(2,0)(2，)例2C设g(x)，则g(x)，因为f(x)2f(x)<0在R上恒成立，所以g(x)<0在R上恒成立，故g(x)是减函数，所以g(1)>g(0)，e2f(1)>1，故A不正确；g(1)<g(0)，即<，即f(1)<e2f(0)e2，故B不正确；g<g(0)，即<1，即f <e，故C正确；g>g(1)，即>，即f(1)<ef ，故D不正确跟踪演练2A例3C构造函数g(x)，<x<，g(x)，当0x<时，g(x)>0，所以函数g(x)在上单调递增，因为函数f(x)为偶函数，所以函数g(x)也为偶函数，且函数g(x)在上单调递增，所以函数g(x)在上单调递减，因为x，所以cos x>0，关于x的不等式f(x)>2f cos x可变为>，即g(x)>g，所以g(|x|)>g，则解得<x<或<x<.跟踪演练3B例4(1)Daln 2ln ，bln 2ln ，构造函数f(x)2ln(x1)x(0<x<1)，则f(x)1，当0<x<1时，f(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增，所以f <f <f ，所以c<b<a.(2)B设f(x)exx1，所以f(x)ex1，令f(x)<0x<0，令f(x)>0x>0，所以函数f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，则f(x)f(0)0，即exx10，得exx1.所以be>1a，即b>a；又0<cos<1，所以c<a，即a>c，所以b>a>c.跟踪演练4(1)D(2)D微重点2函数的公切线问题例1yex1或yx解析设直线l与曲线yex1相切于点P(a，ea1)，与曲线yln x1相切于点Q(b，ln b1)，则ea，整理得(a1)(ea1)0，解得a1或a0，当a1时，l的方程为yex1；当a0时，l的方程为yx.跟踪演练12xye0例2B根据常用函数的导数可知yexyex，yln xy，则两函数在点(x1，y1)和(x2，y2)处的切线分别为yy1(xx1)，yy2(xx2)，化简得yx(1x1)，yxln x21，由题意可得化简得x1x2x2x110(x11)(x21)2.跟踪演练2D例3C设公切线与yx2的切点为(x1，x)，与yln x的切点为(x2，ln x2)，yx2的导数为y2x，yln x的导数为y，则在切点(x1，x)处的切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx，则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为yln x2(xx2)，即yxln x21，整理得到xln x11ln 2，令f(x)x2ln x，x(0，)，则f(x)2x，f(x)>0x>；f(x)<00<x<，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，f(x)minf ln 2<1ln 2，即函数f(x)与y1ln 2的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的图象与直线y1ln 2有两个交点，则方程xln x11ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：yx2与曲线C2：yln x公切线的条数是2.跟踪演练3A例4A设公切线为l，P(x1，y1)是l与f(x)的切点，由f(x)，得f(x)，设Q(x2，y2)是l与g(x)的切点，由g(x)ex，得g(x)ex，所以l的方程为yy1(xx1)，因为y1，整理得yx，同理yy2(xx2)，因为y2，整理得yx(1x2)，依题意，可得消去x1，得4k(x21)2，由题意此方程有三个不相等的实根，设h(x)ex(x1)2，即直线y4k与曲线h(x)有三个不同的交点，因为h(x)ex(1x2)，令h(x)0，则x±1，当x<1或x>1时，h(x)<0；当1<x<1时，h(x)>0，所以h(x)有极小值为h(1)4e1，h(x)有极大值为h(1)0，因为h(x)ex(x1)2，ex>0，(x1)20，所以h(x)0，当x趋近于时，h(x)趋近于0；当x趋近于时，h(x)趋近于，故h(x)的大致图象如图所以当4e1<4k<0，即<k<0时，直线y4k与曲线h(x)有三个交点跟踪演练4Dyx2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，y(a>0)在点处的切线斜率为，如果两个曲线存在公切线，那么2m.又由斜率公式得到2m，由此得到m2n2，则4n4有解，则y4x4，y的图象有公共点当直线y4x4与曲线y相切时，设切点为(s，t)，则4，且t4s4，可得t4，s2，即有切点(2,4)，a，故a的取值范围是a.