2024步步高考二轮数学新教材讲义专题六　第4讲　母题突破1　范围、最值问题含答案.docx

2024步步高考二轮数学新教材讲义母题突破2定点(定直线)问题1(2023·荆门模拟)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的实轴长为2，两渐近线的夹角为.(1)求双曲线C的方程；(2)当a<b时，记双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：xmy2与双曲线C的右支交于M，N两点(异于A2)，直线A1M，A2N相交于点T，证明：点T在定直线上，并求出定直线方程2(2023·嘉兴模拟)已知抛物线C：y22px(p>0)，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且|AB|AF|BF|.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P(4,4)，直线PA，PB分别交准线l于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点第4讲圆锥曲线的综合问题母题突破1范围、最值问题1(2023·凉山模拟)已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，点A(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，求|PQ|的取值范围母题突破3定值问题1(2023·西北工大附中模拟)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为原点，点P(1,1)在C的渐近线上，PAO的面积为.(1)求C的方程；(2)过点P作直线l交C于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值2(2023·上饶模拟)已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，B为C的上顶点，且BF1F2的周长为22.(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O：x2y22上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M，N.求证：为定值 母题突破4探究性问题1(2023·郑州模拟)过点M(t,0)(t<0)，斜率为的直线l与抛物线C：y22px(p>0)相切于点N，且|MN|4.(1)求抛物线C的方程；(2)斜率为的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线l，使得点Q关于l的对称点Q恒与P，N共线，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由2已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，过点P(0，m)(m0)且斜率为1的直线l与双曲线C交于A，B两点且3，·3.(1)求双曲线C的方程；(2)设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M，使得QFM2QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由培优点7隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形1若椭圆C：1(a>0)的蒙日圆为x2y26，则a等于()A1 B2 C3 D42(2023·烟台模拟)过抛物线y24x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，PAB的面积S的最小值为()A. B2C4 D43已知在平面直角坐标系Oxy中，A(2,0)，动点M满足|MA|MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：yk(x1)b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是()A. B.C. D.4抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，PAB具有以下特征：P点必在抛物线的准线上；PFAB.若经过抛物线y24x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()Ax2y10 B2xy20Cx2y10 D2xy205(多选)(2023·廊坊模拟)如图，PAB为阿基米德三角形抛物线x22py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为()A若弦AB过焦点，则ABP为直角三角形且APB90°B点P的坐标是CPAB的边AB所在的直线方程为(x1x2)x2pyx1x20DPAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)6(多选)已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点直线l的方程为bxaya2b20.下列说法正确的是()AC的蒙日圆的方程为x2y23b2B对直线l上任意一点P，·>0C记点A到直线l的距离为d，则d的最小值为bD若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b27抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的.已知A(2,1)，B(2,1)为抛物线C：x24y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为_；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为_8(2023·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C：y21(a>1)上，动点P在直线3x4y100上，若APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为_9(2023·开封模拟)如图，过点P(m，n)作抛物线C：x22py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.(1)若APPB，证明：直线AB经过点；(2)若分别记PMN，ABQ的面积为S1，S2，求的值10.已知圆O：x2y25，椭圆：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线与椭圆相切于A，B两点若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；作PQAB于点Q，求证：|QF1|QF2|是定值母题突破1范围、最值问题1解(1)设椭圆C的半焦距为c>0，由题意可得解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，则l：x0，所以|PQ|2；当直线l的斜率存在时，设l：ykx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程消去y得(2k21)x24kx40，则(4k)24(2k21)×(4)16(3k21)>0，可得x1x2，x1x2，则|PQ|4，令t(0,1，则k2，可得|PQ|422，因为t(0,1，所以|PQ|2(2，4，综上所述，|PQ|的取值范围为2，42解(1)由双曲线E的离心率为2，得2.因为双曲线E过点P(2,3)，所以1.又c2a2b2，联立式，解得a1，b，c2.故双曲线E的标准方程为x21.(2)由双曲线的对称性，知OAOC，OBOD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以S四边形ABCD4SOAD.由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为xmy2.联立消去x，得(3m21)y212my90.36(m21)>0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y2，y1y2.因为A，D均在双曲线右支，所以所以解得0m2<.所以SOAD×|OF|×|y1y2|，.令t，则m2t21.所以SOAD.令函数f(t)3t，易得f(t)在区间上单调递减，所以当t1时，(SOAD)min6.所以四边形ABCD面积的最小值为24.母题突破2定点(定直线)问题1(1)解由题知2a2，得a1，tan 或tan ，得b或，所以双曲线C的方程为x23y21或x21.(2)证明由(1)知，当a<b时，C：x21，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线l与双曲线C得(3m21)y212my90，3m210，36(m21)>0，则y1y2，y1y2.因为A1(1,0)，A2(1,0)，则直线A1M：y(x1)，直线A2N：y(x1)，因为直线A1M，A2N相交于点T(x0，y0)，故y0(x01)，y0(x01)，消去y0，整理得3，因此x013(x01)x0，故点T在定直线x上2(1)解设AB：xmy(mR)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则联立得y22pmyp20，所以所以又|AF|x1，|BF|x2，所以|AB|AF|BF|x1x2p，由|AB|AF|BF|得x1x2p，即x1x2px1x2(x1x2)，所以(2m21)pp(2m21)，化简得(m21)p(p2)0，又p>0，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明由(1)知直线AB：xmy1(mR)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24，易得x1x24m22，x1x21，由题意知直线PA：y4(x4)，直线PB：y4(x4)，所以令x1得yM4，yN4，即M，N，所以yM·yN4.设Q(x，y)是以线段MN为直径的圆上的任意一点，(x1，yyM)，(x1，yyN)，则有·0，即0(x1)2(yyM)(yyN)，由对称性令y0得0(x1)2yMyN(x1)24，所以x1或x3，所以以线段MN为直径的圆经过定点，定点坐标为(3,0)与(1,0)母题突破3定值问题1(1)解因为点P(1,1)在C的渐近线yx上，所以ab，A(a,0)，则SPAOa，所以a1，故b1，所以C的方程为x2y21.(2)证明当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线只有一个交点，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去y得(1k2)x22k(1k)xk22k20，则1k20，且4k2(1k)24(1k2)(k22k2)88k>0，解得k<1且k1，x1x2，x1x2，直线AM的方程为y(x1)，令xx2，得y，即G，因为H为NG的中点，所以H，所以kAH，因为2k2k2k2k2k22k2，所以kAH1，所以直线AH的斜率为定值2(1)解设椭圆C的半焦距为c，因为BF1F2的周长为22，则2a2c22，又因为椭圆C的离心率为，则，解得a，c，则b23，所以椭圆C的方程为1.(2)证明当直线l的斜率不存在时，直线l：x±，与椭圆方程联立解得x22，y22，则|OM|ON|2，；当直线l的斜率存在时，如图所示，设直线l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并整理得(2k21)x24mkx2m260，显然点P在椭圆C内，即直线l与C必交于两点，有x1x2，x1x2，又直线l与圆x2y22相切，即，即m22k22，得xx(x1x2)22x1x2，显然y3x，y3x，即有xyx3，xyx3，因此，所以为定值.母题突破4探究性问题1解(1)由题意得直线l的方程为y(xt)，即xyt，设N(m，n)，与y22px联立并消去x得y22py2pt0，因为直线l与抛物线C相切，所以28pt0，整理得3p2t0，代入y22py2pt0，解得np，m，因为|MN|4，所以t6，由得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)得N(3,2)，假设存在直线l，使得点Q关于l的对称点Q恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于l对称，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为xyb，与y24x联立并消去x得y24y4b0，则(4)216b>0，b>3.y1y24，y1y24b.所以直线PN的斜率k1，所以直线NQ的斜率k2，k1k20，所以直线NP，NQ关于直线x3或y2对称，所以存在直线l，使得点Q关于l的对称点Q恒与P，N共线，且l的方程为x3或y2.2解(1)由双曲线离心率为2知c2a，ba.于是，双曲线方程可化为1.又直线l：yxm，与双曲线方程联立得2x22mxm23a20，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2m，x1x2.因为3，所以(x1，my1)3(x2，y2m)故x13x2.结合x1x2m，解得x1m，x2m.代入式得m2m26a2，又·x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m2m23a23a23，从而a21.此时m，代入式并整理得2x22x90.显然，该方程有两个不相等的实根因此，a21符合要求故双曲线C的方程为x21.(2)假设满足条件的点M(t,0)(t<0)存在由(1)知双曲线右焦点为F(2,0)由双曲线的对称性，不妨设点Q(x0，y0)在第一象限，当x02时，tanQFMkQF，tanQMFkQM.因为QFM2QMF，所以.将y3x3代入上式并整理得(42t)x04t2tx0t23，则解得t1.当x02时，QFM90°，而当t1时，QMF45°，符合QFM2QMF.所以满足条件的点M(1,0)存在培优点7隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形1B2.C3.C4.A5ACD由题意设A，B，x1<x2，由x22py，得 y，则y，所以kPA，kPB，若弦AB过焦点，设AB所在直线为ykx，联立x22py，得x22pkxp20，则x1x2p2，所以kPA·kPB1，所以PAPB，故A正确；以点A为切点的切线方程为y(xx1)，以点B为切点的切线方程为y(xx2)，联立消去y得x，将x代入y(xx1)，得y，所以P，故B错误；设N为抛物线弦AB的中点，N的横坐标为xN，因此直线PN平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确；设直线AB的斜率为k，故直线AB的方程为y(xx1)，化简得(x1x2)x2pyx1x20，故C正确6AD对于A，过Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线xa，yb，Q(a，b)在蒙日圆上，蒙日圆方程为x2y2a2b2，由e得a22b2，C的蒙日圆方程为x2y23b2，A正确；对于B，由l方程知l过P(b，a)，又P满足蒙日圆方程，P(b，a)在圆x2y23b2上，当A，B恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点时，·0，B错误；对于C，A在椭圆上，|AF1|AF2|2a，d|AF2|d(2a|AF1|)d|AF1|2a；当F1Al时，d|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，又F1到直线l的距离db，(d|AF2|)minb2a，C错误；对于D，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2y212b2，矩形MNGH的面积Sxy6b2(当且仅当xyb时取等号)，即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确718.解析根据题意可得，圆x2y2a21上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，因此当直线 3x4y100与圆x2y2a21相离时，APB恒为锐角，故a21<24，解得1<a2<3，从而离心率e.9(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxb，由消去y并整理得x22pkx2pb0，有x1x22pb，令抛物线C：x22py在点A处切线方程为yy1t(xx1)，由消去y并整理得x22ptx2ptx12py10，则有4p2t24(2ptx12py1)4p2t24(2ptx1x)0，解得t，同理，抛物线C：x22py在点B处切线斜率为，因为APPB，则有·1，解得b，所以直线AB：ykx恒过定点.(2)解由(1)知，切线PA的方程为yy1(xx1)，整理得yxy1，同理切线PB的方程为yxy2，设点Q(x0，y0)，则切线MN的方程为yxy0，而点P(m，n)，即有nmy1，nmy2，因此直线AB的方程为yxn，有|AB|x1x2|，点Q(x0，y0)到直线AB的距离是d2，则S2|x1x2|，由解得点M的横坐标xM，同理点N的横坐标xN，有|MN|，点P(m，n)到直线MN的距离d1，则S1|x1x2|，所以.10(1)解由题意得解得a2，b1，c，所以椭圆的标准方程为y21.(2)解设P(x0，y0)，则过P的切线方程为yy0k(xx0)，且xy5，由化简得(14k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)240，由0，得(4x)k22x0y0k1y0，设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k21，又直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为.证明当切线PA，PB的斜率都存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线PA，PB的方程为yyiki(xxi)，i1,2并由得(4x)k2xiyiki1y0，i1,2，(*)又点A，B在椭圆上，得y1，i1,2代入(*)，得20，即ki，i1,2，切线PA，PB的方程为yiy1，i1,2，又切线过P点，则yiy01，i1,2，所以直线AB的方程为y0y1，由PQAB得直线PQ方程为yy0(xx0)，联立直线AB方程y0y1，解得xQx0，yQy0，由xy5得Q点轨迹方程为x25y21，且焦点恰为F1，F2，故|QF1|QF2|2×，当切线PA，PB的斜率有一个不存在时，如PB斜率不存在，则B(2,0)，P(2,1)，A(0,1)，直线AB的方程为yx1，PQ的方程为y12(x2)，可解得Q，Q点也在椭圆x25y21上，若B(2,0)，同理可得综上得|QF1|QF2|，为定值培优点8圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p>0)，点P(1,2)在抛物线上，222p×1，解得p2.故抛物线的方程是y24x，其准线方程是x1.(2)方法一由(1)可知F(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB的方程可设为xty1，联立整理得y24ty40，所以y1y24t，y1y24.又2，即(1x1，y1)2(x21，y2)，可得y12y2，即2，则2，即2，解得t±，故kAB±2.方法二A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，(1x1，y1)，2(2x22,2y2)，2A，B在抛物线上，由联立可得x2，则y2±，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，即kAB±2.2解(1)依题意，得即解得所以E的方程为y21.(2)选择.设直线l的方程为xty，联立方程化简整理，得4(t29)y212ty270，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得得ty1y2(y1y2)，直线AC的方程为y(x3)，直线BD的方程为y(x3)，联立方程，得两式相除，得·3，即3，解得x6，所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x6.选择.联立方程化简整理，得4(t29)y212ty270，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得得ty1y2(y1y2)，于是·，故存在实数，使得k1k2恒成立选择.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C(x1，y1)，联立方程化简整理，得4(t29)y212ty270，由韦达定理，得设直线CD与x轴交于点M(m,0)，由对称性可知kCMkDM0，即0，则y1(x2m)y2(x1m)0，所以y1(x2m)y2(x1m)x1y2x2y1m(y1y2)y2y1m(y1y2)2ty1y2(y1y2)2t··0，即9t(32m)·(t)0，解得m6，所以直线CD恒过定点M(6,0)2(2023·郑州模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线E：1(a>0，b>0)的右焦点为F，离心率为2，且过点P(2,3)(1)求双曲线E的标准方程；(2)设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值