安徽省蚌埠市2023-2024学年高三下学期第三次教学质量检查数学试题含答案.pdf

书书书蚌埠市 届高三年级第三次教学质量检查考试数学本试卷满分 分，考试时间 分钟注意事项：答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知集合 ，则 ，已知平面向量（，），（，），且 ，则 已知曲线 （），则“（，）”是“曲线 的焦点在 轴上”的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 在 中，角 ，的对边分别为 ，已知 ，槡，则 槡 槡 槡 记数列 的前 项和为，若 是等差数列，则 （）（）的展开式中，的系数为 在一组样本数据中，出现的频率分别为，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是 ，已知抛物线 ，过其焦点 的直线交 于 ，两点，为 中点，过 作准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 槡 槡）页共（页第卷试学数级年三高市埠蚌#QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=#二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。已知函数 （）()（）在区间，()上单调递增，则 的值可以是 科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的 如果物体的初始温度为，空气温度 保持不变，则 分钟后物体的温度 （单位：）满足：（）若空气温度为 ，该物体温度从（）下降到 ，大约所需的时间为，若该物体温度从 ，下降到 ，大约所需的时间分别为，则（参考数据：，）已知正方体 棱长为 ，点 是底面正方形 内及边界上的动点，点是棱 上的动点（包括点 ，），已知 ，为 中点，则下列结论正确的是 无论，在何位置，为异面直线 若 是棱 中点，则点 的轨迹长度为槡，存在唯一的位置，使 平面 与平面 所成角的正弦最大值为三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。函数 （）槡 的定义域为 已知曲线 （）和 ，若 与 恰有一个公共点，则实数；若 与 恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 已知 的角 ，满足 ，其中符号 表示不大于 的最大整数，若 ，则 四、解答题：本题共 个小题，共 分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。（分）已知双曲线 （，）的左顶点是 （，），一条渐近线的方程为 （）求双曲线 的离心率；（）设直线 与双曲线 交于点 ，求线段 的长）页共（页第卷试学数级年三高市埠蚌#QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=#（分）寒假期间小明每天坚持在“跑步 米”和“跳绳 个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为 ，跳绳的概率为 ，在下雪天，他跑步的概率为 ，跳绳的概率为 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 ，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 已知寒假第一天不下雪，跑步 米大约消耗能量 卡路里，跳绳 个大约消耗能量 卡路里 记寒假第 天不下雪的概率为（）求，的值，并证明 是等比数列；（）求小明寒假第 天通过运动锻炼消耗能量的期望 （分）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，侧面 是以 为底的等腰三角形，槡 ，在 上，（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值 第 题图 （分）已知函数 （），（）当 ，()时，证明：（）；（）若，()，()，（），求实数 的取值范围）页共（页第卷试学数级年三高市埠蚌#QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=#（分）对于无穷数列，我们称 （）！（规定 ！）为无穷数列 的指数型母函数 无穷数列 ，的指数型母函数记为 （）！，它具有性质 （）（）（）（）证明：（）（）；（）记 （）（）（）！（）（）！证明：（）（）（）（其中 为虚数单位）；（）以函数（）为指数型母函数生成数列 ，（）！其中 称为伯努利数 证明：且 （，）页共（页第卷试学数级年三高市埠蚌#QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=#蚌埠市 届高三年级第三次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号答案二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。题号 答案 三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。（，）或 ；（槡 ，槡 ）（答对第一空给 分，答对第二空给 分）四、解答题：本题共 个小题，共 分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。（分）解：（）由题意知 ，且 ，分 槡槡 ，所以双曲线的离心率 槡 分（）由（）知双曲线方程为 ，将 即 代入 ，得 ，分因而 ，所以 槡 槡 分 （分）解：（）依题意，（）（）分依题意 （）（）整理得 ()，又 ，）页共（页第案答考参学数级年三高市埠蚌#QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=#所以 是首项为，公比为 的等比数列 分（）由（），寒假第 天不下雪的概率 ()，分从而小明寒假第 天跑步的概率为 （）()，分则他第 天通过运动锻炼消耗能量为 （）（）分 （分）解：（）由题意知 ，则在 中，（槡），（，），从而 ，分 中，则 ，分又 ，所以 平面 ，而 平面 ，平面 平面 分第 题答案图（）由（）知 平面 ，平面 ，槡 ，所以 为等边三角形，分如图，在平面 内作 ，则 平面 ，以 ，分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则（，），（，槡，），（，槡，），（，槡），分从而 （，槡 ，槡），（，）显然平面 的一个法向量为（，）设平面 的法向量为 （，），则 ，即槡 槡 ，）页共（页第案答考参学数级年三高市埠蚌#QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=#取 （，），记二面角 的平面角为 ，则 ，槡 槡即二面角 的余弦值为槡 分 （分）解：（）记 （），则 （），分因为 ，()，所以 （，），所以 （），所以 （）单调递增，从而 （）（），即 分当 时 （）等价于 ，记 （），则 （），（）单调递增，分所以 （）（），即 综上，当 ，()时，（）分（）（）等价于 ，记 （），则 （）（），所以题设等价于当 ，()时，（）即 当 时，（），不合题意 分当 时，（）存在 ，()，因此当 （，），即 （）不成立，不合题意 分当 时，记 （），()，由于 ，所以 ，故 （）（）()()从而 （）在 ，()单调递减，（）（），（）恒成立，符合题意 综上，实数 的取值范围是 ，）分）页共（页第案答考参学数级年三高市埠蚌#QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=#（分）解：（）令 ，则 （）由 （）（）（），令 ，则 （）（）（）因为 （），故 （）（）分（）证明：因为（）（）！（）（）！（）！（）！（）！，（）（）！（）（）！（）！（）！，（）（）！（）（）！（）！（）！（）！，（）（）！（）（）！（）！（）！，（）（）（）！（）！（）（）！（）（）！（），所以 （）（）（）分（）证明：令 （）（），则有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），分因此 （）（）！（）！（）！（）！故 且 （）！，即 （，）分（以上答案仅供参考，其它做法请参考以上评分标准赋分）页共（页第案答考参学数级年三高市埠蚌#QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=#