北师大版2023年中考复习：锐角三角函数综合复习.docx

北师大版中考复习：锐角三角函数综合复习【考纲要求】1. 理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特别角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题消灭；2. 命题的热点为依据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的学问解决问题.【学问网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如下图，在RtABC 中，C90°，A 所对的边BC 记为a，叫做A 的对边，也叫做B 的邻边，B 所对的边AC 记为b，叫做B 的对边，也是A 的邻边，直角 C 所对的边AB 记为c，叫做斜边BcaACb锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作sinA，即sinA = ÐA的对边 = a ；斜边c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cosA，即cos A = ÐA的邻边 = b ；斜边c锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作tanA，即tan A =ÐA的对边 = a .ÐA的邻边 b同理sin B = ÐB的对边 =b ； cos B =ÐB的邻边 =a； tan B =ÐB的对边 = b 斜边c斜边cÐB的邻边 a要点诠释：(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成 sin 与A，cos 与A，tan 与A 的乘积书写时习惯上省略A 的角的记号“”，(1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、常写成、当角度在 0°A90°之间变化时，tanA0(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在 (4)由锐角三角函数的定义知：考点二、特别角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出 30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°1(1)互余关系：，；(2)平方关系：；60°要点诠释：道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：假设，则锐角(1) 通过该表可以便利地知道 30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：假设知、的值依次为、，而、的值(2) 认真争论表中数值的规律会觉察：的挨次正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在 0°A90°之间变化时，正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大) 考点三、锐角三角函数之间的关系如下图，在RtABC 中，C=90°(3)倒数关系：或；(4)商数关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便考点四、解直角三角形在直角三角形中，由元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5 个元素，即三条边和两个锐角.设在RtABC 中，C=90°，A、B、C 所对的边分别为a、b、c，则有：三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).锐角之间的关系：A+B=90°.，.边角之间的关系：，h 为斜边上的高.要点诠释：(1) 直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90°)，是的值.(2) 这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法条件解法步骤由求A，两直角边(a，b)B=90°A，RtABC两边由求A，斜边，始终角边(如c，a)B=90°A，一边始终角边和一锐角锐角、邻边(如A，b)B=90°A，一角，B=90°A，锐角、对边(如A，a)，B=90°A，斜边、锐角(如c，A)，要点诠释：1. 在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的挨次进展计算.2. 假设题中无特别说明，“解直角三角形”即要求出全部的未知元素，条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的学问应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，擅长将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1) 弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后依据题意画出几何图形，建立数学模型.(2) 将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3) 依据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形学问解决实际问题时，常常会用到以下概念：坡度(坡比)：坡面的铅直高度 h 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则，如图，坡度通常写成 = 的形式.(1) 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.(2) 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3) 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方向 PA，PB，PC 的方位角分别为是 40°，135°，245°.(4) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东 30°，南偏东 45°，南偏西 80°，北偏西 60°. 特别如：东南方向指的是南偏东 45°，东北方向指的是北偏东 45°，西南方向指的是南偏西 45°，西北方向指的是北偏西 45°.要点诠释：1. 解直角三角形实际是用三角学问，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2. 非直接解直角三角形的问题，要观看图形特点，恰当引关心线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3. 解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而依据条件选择适宜的方法求解.【典型例题】51如图，在 4×4 的正方形网格中，tan =()类型一、 锐角三角函数的概念与性质1(A)1(B)2(C) 2(D) 2【思路点拨】把 放在一个直角三角形中，依据网格的长度计算出 的对边和邻边的长度.【答案】B；【解析】依据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定 的对边为 2，邻边为1，然后利用正切的定义tan a =Ða的对边Ða的邻边， 应选B.【总结升华】此题考察锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边举一反三：【变式】在RtABC 中，C=90°,假设 AC=2BC，则sinA 的值是()1(A)2(B) 2(C)55(D)52【答案】选C.由于C=90°， AB= AC2 +BC2 = 5BC ，所以sin A =BC =ABBC=.5BC552a3，且4na(t45)°3- b 2+0-b =c 21，以a、b、c 为边长组成的三角形面积等于()类型二、 特别角的三角函数值A6B7C8D9ì4 tan 45°- b = 0,ï【思路点拨】依据题意知íï3 +î1 b - c = 0,2求出 b、c 的值，再求三角形面积.【答案】A；ì4 tan 45°- b = 0,ïìb = 4,【解析】依据题意知í1解得 íïî3 +b - c = 0,c = 5.î2所以 a3，b4，c5，即a2 + b2 = c2 ，其构成的三角形为直角三角形，且C90°，所以 S = 1 ab = 6 2【总结升华】3如下图，在ABC 中，BAC120°，AB10，AC5，求sinB·sinC 的值利用非负数之和等于 0 的性质，求出 b、c 的值，再利用勾股定理的逆定理推断三角形是直角三角形，留意tan45°的值不要记错【变式】 计算：.【答案】原式.举一反三：【思路点拨】为求 sin B，sin C，需将B，C 分别置于直角三角形之中，另外A 的邻补角是 60°，假设要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点 B、C 向 CA、BA 的延长线作垂线， 即可顺当求解【答案与解析】解：过点B 作 BDCA 的延长线于点D，过点C 作 CEBA 的延长线于点EBAC120°，BAD60°1ADAB·cos60°10× 2 5；33BDAB·sin60°10× 2 5又CDCA+AD10，BD2 + CD2 BC = 57 ，21BD sin ÐBCD =BC721同理，可求得sin ÐABC = 1421213 sin ÐABCsin ÐBCD =´=71414【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此假设要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中举一反三：【变式】如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个单位，到达B 点后观看到原点O 在它的南偏东 60°的方向上，则原来A 的坐标为.(结果保存根号)【答案】4在ABC 中，A30°，BC3，AB 33 ，求BCA 的度数和AC 的长类型三、 解直角三角形及应用【思路点拨】332由于A 是一个特别角，且AB，故可以作AC 边上的高 BD(如下图)，可求得 BD =由3于此题的条件是“两边一对角”，且角的对边小于邻边，因此需要推断此题的解是否唯一，要考虑332对边 BC 与AC 边上的高BD 的大小，而< BC < 3，所以此题有两解【答案与解析】解：作BDAC 于 D(1) C 点在AD 的延长线上331在ABC1中， BC1= 3 ， BD =2，3 sin C =12C 60°1由勾股定理，可分别求得DC39=， AD =122AC AD+DC 93+= 6 1122(2) C 点在AD 上2由对称性可得，BC DC 60°，21C D = C D = 3 212AC93BC A120°，2=-= 3 222综上所述，当BCA60°时，AC6；当BCA120°时，AC3【总结升华】由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小推断解是否唯一5如下图，某船向正东航行在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°方向，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向，假设船速为每小时20 海里，求A，D 两点间的距离(结果保存根号)【思路点拨】作 CEAD，用CE 可以表示出AE、DE，依据AD 的长，可以得到关于CE 的方程，就可以求得CE 的长【答案与解析】解：作CEAD 于 E，设CEx(海里)，CADCDA45°，CEAEDEx在 RtCEB 中，CBE60°，BEDE-BDx-103xCE x -10 = BE= tan 60°=3 -33解得 x =30= 15 + 53AD2x(30+10)(海里)答：A，D 两点间的距离为(30103) 海里【总结升华】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS 以及SSA 条件，求三角形中的其他元素是常见问题，留意划归为常见的两个根本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如下图)：举一反三：【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元 1112 年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子(1) 小华利用测角仪和皮尺测量塔高以下图为小华测量塔高的示意图她先在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角 35°，在点A 和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角45°，然后用皮尺量出 A，B 两点间的距离为 18.6m，量出自身的高度为 1.6m请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°0.7，结果保存整数)(2) 假设你是活动小组的一员，正预备测量塔高，而此时塔影NP 的长为am(如下图)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?假设能，请答复以下问题：在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：；要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据? .【答案】解：(1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m，则ME(x-1.6)m45°，DEMEx-1.6CEx-1.6+18.6x+17ME CE= tana = tan 35°， x -1.6 = 0.7 ，解得x45x +17太子灵踪塔MN 的高度为 45m(2)测角仪、皮尺；站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)6如下图，海上有一灯塔P，在它四周 3 海里处有暗礁，一艘客轮以9 海里/时的速度由西向东航行，行至 A 点处测得 P 在它的北偏东 60°方向，连续行驶 20 分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东 45°方向，问客轮不转变方向连续前进有无触礁的危急?【思路点拨】要得出有无触礁的危急，需求出轮船在航行过程中离点 P 的最近距离，然后与暗礁区的半径进展比较，假设大于则无触礁的危急，假设小于则有触礁的危急.【答案与解析】解：过P 作 PCAB 于 C 点，依据题意知：2AB9× 6 3，PAB90°-60°30°，PBC90°-45°45°，PCB90°PCBC 在 RtAPC 中，PCPCPCtan 30°=AC = AB + BC = 3 + PC ，3即 3=PC3 + PC 33 PC =+ 323答：客轮不转变方向连续前进无触礁危急【总结升华】此题主要考察解直角三角形的有关学问通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题中考总复习：锐角三角函数综合复习稳固练习根底【稳固练习】一、选择题1. 如下图，在RtABC 中，ACB90°，BC1，AB2，则以下结论正确的选项是 ()A. sin A13332Btan A 2CcosB 2Dtan B第 1 题第 2 题52. 如图，在 RtABC 中，ACB=90°，CDAB，垂足为 D假设 AC=，BC=2，则 sinACD 的值为5A. 3B255C252D 33. 在ABC 中，假设三边BC、CA、AB 满足 BCCAAB=51213，则cosB=5A. 12B125125C 13D 1354. 如下图，在ABC 中，C=90°，AD 是 BC 边上的中线，BD=4，AD=2，则 tanCAD 的值是235A.2B.C.D.第 4 题第 6 题25. 假设ABC 中，sinA=cosB=2，则以下最精准的结论是A. ABC 是直角三角形B. ABC 是等腰三角形C. ABC 是等腰直角三角形D. ABC 是锐角三角形6. 如图，：45°A90°，则以下各式成立的是A. sinA=cosAB.sinAcosAC.sinAtanAD.sinAcosA二、填空题7. 假设 的余角是 30°，则cos 的值是.8. 如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=.第 8 题第 12 题9. 计算 2sin30°sin245°+tan30°的结果是.310. 是锐角，且sin( +15°)=.计算- 4cos a - (p - 3.14)0 + tana + ç÷的值8æ 1 ö-12è 3 ø为.11观看以下各式：sin 59°sin 28°；0cos 1( 是锐角)；tan 30°tan60°tan 90°；tan 44°1其中成立的有.填序号112. 如图，正方体的棱长为3，点M，N 分别在CD，HE 上，CM= 2DM，HN=2NE，HC 与 NM 的延长线交于点P，则tanNPH 的值为三、解答题13. 如下图，我市某广场一灯柱AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40°夹角，且 DB5m，现要在 C点上方 2m 处加固另一条钢缆ED，那么EB 的高为多少米?(结果保存三个有效数字)14. ：如下图，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB 和建筑物CD 的水平距离AC， 他们首先在A 点处测得建筑物CD 的顶部D 点的仰角为 25°，然后爬到建筑物 AB 的顶部B 处测得建筑物CD 的顶部 D 点的俯角为 15°30建筑物 AB 的高度为 30 米，求两建筑物的水平距离 AC(准确到0.1 米)可用计算器查角的三角函数值15. 如下图，“五一”期间在某商贸大厦上从点 A 到点 B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上小明在四楼 D 点测得条幅端点A 的仰角为 30°，测得条幅端点 B 的俯角为 45°；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为 45°，测得条幅端点B 的俯角为 30°假设设楼层高3度CD 为 3 m，请你依据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长(结果准确到个位，参考数据1.732)16. 如下图，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD2.5m，坝高 4 m，背水坡的坡度是 1：1，迎水坡的坡度是 1：1.5，求坝底宽BC.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；BC1【解析】sinABC，tan ABC13，cosB应选D.AB2AC3AB2(5)2 + 222. 【答案】A；AC2 + BC2【解析】在直角ABC 中，依据勾股定理可得：AB=B+BCD=90°，ACD+BCD=90°，B=ACD=35ACAB sinACD=sinB=，3应选 A【解析】依据三角函数性质 cosB=，3. 【答案】C；应选 C 4.【答案】A；【解析】AD 是 BC 边上的中线，BD=4，CD=BD=4，在 RtACD 中，AC=AD2 -CD2 = 2 52 -42 =2 ，tanCAD= =2应选 A 5.【答案】C；2【解析】sinA=cosB= 26. 【答案】B；，A=B=45°，ABC 是等腰直角三角形应选C【解析】45°A90°，依据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小， 当A45°时，sinAcosA，应选B二、填空题17. 【答案】 2 ；18【答案】 ；【解析】 =90°30°=60°，cos =cos60°= 2 【解析】过C 作 CDAB，垂足为D，设小方格的长度为 1，在 RtACD 中，AC=CD5AD2 + CD25=2,sinA=.AC5311【解析】2sin30°sin245°+ tan30°=2× 2 22312+ 2+=1 +32331= 2 +339. 【答案】 2 + 3；10. 【答案】3；【解析】sin60°=322， +15°=60°， =45°，原式=24×1+1+3=32211. 【答案】；【解析】sin 59°sin 28°成立，0cos 1( 是锐角)成立，33tan 30°tan 60° 3tan 90°，tan 44°tan 45°，即 tan 44°1 成立112. 【答案】 3 ；1【解析】正方体的棱长为 3，点M，N 分别在CD，HE 上，CM= 2MC=1，HN=2，DCEH，DM，HN=2NE，PCMC1 PH = NH = 2 ，HC=3，PC=3，PH=6，NH21tanNPH= PH =6 = 3 ，1故答案为： 3 三、解答题13. 【答案与解析】解：在RtBCD 中，BDC40°，DB5 m， tan ÐBDC = BC DBBCDB·tanBDC5×tan40°4.195(米)EBBC+CE4.195+26.20(米)14. 【答案与解析】解：如下图，过D 作 DHAB，垂足为H 设 ACx在 RtACD 中，ACD90°，DAC25°， 所以 CDAC·tanDACx tan 25°在 RtBDH 中，BHD90°，BDH15°30，所以 BHDH·tan 15°30AC·tan 15°30x·tan 15°30 又 CDAH，AH+HBAB，所以 x(tan 25°+tan 15°30)30所以 x =30 40.3 (米)tan 25°+ tan15°30¢答：两建筑物的水平距离AC 约为 40.3 米15. 【答案与解析】解：过D 作 DMAE 于 M，过C 作 CNAE 于 N， 则 MNCD3 m，设AMx，则ANx+3，由题意：ADM30°，ACN45°在 RtADM 中，DMAM·cot30° 3x ， 在 RtANC 中，CNANx+3又 DMCNMB， 3x = x + 3 ，解之得 x = 3 ´ (23ABAM+MBx+x+32× 3 × (2+1)，33+ 1) +3 3+ 6 11(m)16. 【答案与解析】解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.过 A 作 AEBC 于 E，过D 作 DFBC 于 F，1由题意可知tanB1，tan C 1.5 ，AE在 RtABE 中，AE4，tanB BE1，BEAE4，DF1在 RtDFC 中，DFAE4，tanC CF1.5 ，CF15DF1.5×46 又EFAD2.5，BCBEEFFC42.56125 答：坝底宽BC 为 125 m