2024届湖南省长沙市长郡中学高三一模数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司长郡中学长郡中学 2024 届高三模拟考试（一）届高三模拟考试（一）数学数学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线22124xy-=，则该双曲线的渐近线方程为（）A.yx=B.2yx=C.22yx=D.2yx=2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一高二高三三个年级共抽取 100 人进行各项指标测试.已知高三年级有 500 人，高二年级有 700 人，高一年级有 800 人，则高三年级抽取的人数为（）A.30 B.25 C.20 D.153.若3sin 4cos0aa-=，则1 cos2a-=（）A.725 B.1825 C.2725 D.32254.古印度数学家婆什迦罗在莉拉沃蒂一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日 4 德拉玛（古印度货币单位），其后日增 5 德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人 15 天的最后 7 天布施的德拉玛总数为（）A.413 B.427 C.308 D.1335.621(1)xxx+-的展开式中含3x项的系数为（）A.20 B.-20 C.30 D.-306.“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CDAB，则AB的弧长的近似值s的计算公式：更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司2CDsABOA=+.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为 6 米，该圆弧所对的圆心角为60o，则伞的弧长大约为（）31.7A.5.3 米 B.6.3 米 C.8.3 米 D.11.3 米7.函数 32,f xaxaxbx a b=-+R有 3 个零点的充分不必要条件是（）A.0a，且4ab B.0a，且4abC.0a D.0a，且4,0ab b8.已知实数,a b分别满足e1.02,ln10.02ab=+=，且151c=，则（）A.abc B.bacC.bca D.cab二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知i为虚数单位，复数32i 3iz=+，下列说法正确的是（）A.105z=B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限C.3i05z-的部分图象如图所示，则（）更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司A.6Aw j=B.f x的图象过点11 2 3,63C.函数 yf x=的图象关于直线53x=对称D.若函数 yf xf xl=+在区间5,66-上不单调，则实数l的取值范围是1,1-11.小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有110的 10 个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于 5 的小球，则前进 1 步，若每次抽取号码大于 5 的小球，则前进 2 步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n步的概率为np，则下列说法正确的是（）A.214p=B.1211322nnnpppn-=+C.11122nnppn-=-D.小华一共前进 3 步的概率最大三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知集合2Nlog1,2,1,1,2,3,4AxyxB=-=-，则AB的真子集的个数为_.13.已知O为坐标原点，121,0,1,0,0,3FFQ-，向量1,2m=-r，动点P满足PQuuu rmr，写出一个a，使得有且只有一个点P同时满足122(01)PFPFaa-=，则a=_.14.如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为 4，下底面边长为 2，侧棱长为3，则球形灯半径r与正四棱台外接球半径R的比值为_.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）正四棱柱1111ABCDABC D-中，2,ABE H=分别是棱1111,AB AD的中点，1AECD.（1）求正四棱柱1111ABCDABC D-的体积；（2）求平面AEH与平面11CB D所成锐二面角的余弦值.16.（本小题满分 15 分）机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构驱动装置检测装置控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了A型B型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状大小的出口12 3，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心O为机器人的出发点，A型B型两个机器人别从出发点出发沿路线12 3 任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找.A型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的，B型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以X表示A型机器人为了离开房间尝试的次数，以Y表示B型机器人为了离开房间尝试的次数.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司（1）试求离散型随机变量Y的分布列和期望；（2）求XY-为常数）密切相关，请解决下列问题：（1）当12s时，证明：f x有唯一极值点；记 f x的唯一极值点为 g s，讨论 g s的单调性，并证明你的结论.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司长郡中学长郡中学 2024 届高三模拟考试（一）届高三模拟考试（一）数学参考答案数学参考答案一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.ABC 10.BCD 11.BC三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.7 13.55 14.575 57114+四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）连接1BA，因为BC1111,D A BCD A=，所以四边形11BCD A为平行四边形，所以1CD1BA，因为1AECD，所以1AEBA.因为111190,90AABA AEA AEAEA+=+=oo，所以11AABAEA=，所以11BAAAAEVV，所以111AEAAAAAB=，所以2111 22AAAE AB=，更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以12AA=.所以正四棱柱1111ABCDABC D-的体积14 2VABADAA=.（2）以D为坐标原点，分别以1,DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则12,0,0,2,1,2,1,0,2,0,2,0,2,2,2AEHCB，10,0,2D设平面AEH的法向量为,mx y z=r，0,1,2,1,0,2AEAH=-uuu ruuur，则020,020m AEyzm AHxz=+=-+=uuu rruuurr，令1z=，则2,2xy=-，则平面AEH的法向量为2,2,1m=-r.设平面11CB D的法向量为111,nx y z=r，112,0,2,0,2,2CBCD=-uuuruuuu r，则1111110220,0220n CBxzn CDyz=+=-+=uuurruuuu rr，令11y=，则112,1zx=-，则平面11CB D的法向量为1,1,2n=-r.210cos,|102 5m nm nm n-=r rr rrr.所以平面AEH与平面11CB D所成锐二面角的余弦值为1010.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司16.【解析】（1）Y的可能取值为12 3，113P Y=，2112323P Y=，21131323P Y=，所以Y的分布列为Y123P131313 1111232333E Y=+=.（2）113P X=，2122339P X=，则()121323P XYP XP YP XP YP XP Y=+=+=111121833339327=+=.17.【解析】（1）nnab均是周期数列，理由如下：因为1sin1 0sin nnanna+=+=，所以数列 na是周期数列，其周期为 1（或任意正整数）.因为32111nnnnnnnbbbbbbb+=-=-=-，所以63nnnbbb+=-=.所以数列 nb是周期数列，其周期为 6（或 6 的正整数倍）.（2）当m是奇数时，首先证明25km+不存在数列满足条件.假设25km+，即对于125im+，都有iiab=.因为54m tm tabtm+=+，所以24454tttabatm-=+，即1352maaaa+=L，及2461maaaa+=L.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司又5tm=+时，12511221mmmmaabba+=，所以1nnaa+=，与1T的最小值是2m+矛盾.其次证明24km=+存在数列满足条件.取231,21 1212,212ml imikkalmikk+=-=+=N及431,21 1212,21,21,32,4ml imikkmikklbimim+=-+=+=+N对于124im+，都有iiab=.当m是偶数时，首先证明24km+时不存在数列满足条件.假设24km+，即对于124im+，都有iiab=.因为53m tm tabtm+=+，所以24453tttabatm-=+，即1351maaaa+=L，及246maaaa=L.又4tm=+时，2mmmaba+=，所以2nnaa+=，与1T的最小值是2m+矛盾.其次证明23km=+时存在数列满足条件.取221,21 122,2123,2ml imikkmaikklim+=-=+N更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司及(4)21,21 122,21()23,21,32,4ml imikkmikkblimimim+=-=+=+=+N对于123im+，都有iiab=.综上，当m是奇数时，k的最大值为24m+；当m是偶数时，k的最大值为23m+.18.【解析】（1）由题意知1,02P-，设点00,A xy，因为点A是线段PB的中点，所以0012,22Bxy+，又点,A B都在抛物线C上，所以2002002142 22yxyx=+，解得0012,42xy=，所以点A的坐标为12,42或12,42-.（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为 0，设直线AB的方程为11221,0,2yk xkA x yB xy=+，由点A在点B的左侧，则120 xx，得11,0kk-，21212221,4kxxx xk-+=，所以12102xx+-，因为22111,21yxyyxxx-=-在1,+上均单调递减，所以21121yxx=+-在1,+上单调递减，则211121yxxx=+-在1,+上单调递减，所以2111121rttt=+-在1,+上单调递增，所以12121r=-+，所以r的取值范围为21,-+.19.【解析】（1）2212222111111111sxxsxsxsxxxxxsexesxexexsx esfxeee-=-，令 11,12xxsx essj=-，2xxsx ej=-，当12s时，20 xxsx ej=-时，0 xj，即 0fx=令 0 xj=，可得：2xs=-，依题意：20s-当02xs，当2xs-时，0 xj，又因为110ssj-=-所以，存在唯一002,1,0 xssxj-=，当00 xx，当0 xx时，0fx时，f x存在唯一极大值点，任意,2,s t+，且st，依题意：11sxxf xe-=-的极大值点为 sx，记为1x；11txxf xe-=-的极大值点为 tx，记为2x；则1x为 111xxsx esj=-的零点，2x为 211xxtx etj=-的零点，则12111222110110 xxxsx esxtxetjj=-=-=，由知：122,1,2,1xssxtt-更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司由 1111110 xxsx esj=-=得：1111xsesx-=-112111111111111111tsxssttxsxtxtsxsxj-+-=-=-111111111txxsts xsxsx-=-，由于12,1,xssst-.根据的分析可知，2221,0 xxxj+=，即12xx，即 stxx所以 sx在2,+上单调递增.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君