山东实验中学2024届高三下学期2月调研考试数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 山东省实验中学山东省实验中学 2024 届高三调研考试届高三调研考试 数学试题数学试题 2024.2 说明：本试卷满分说明：本试卷满分 150 分分.试题答案请用试题答案请用 2B 铅笔和铅笔和 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效写在试题上的答案无效.考试时间考试时间 120 分钟分钟.一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1.设21,4,2,1,AxBx=，若BA，则x=（）A.0 B.0 或 2 C.0 或-2 D.2 或-2 2.若22nxx+展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则n=（）A.9 B.10 C.11 D.12 3.已知向量()()1,3,2,2ab=，则cos,ab ab+=（）A.117 B.1717 C.55 D.2 55 4.等差数列 na的首项为 1，公差不为 0.若236,a a a成等比数列，则 na前 6 项的和为（）A.-24 B.-3 C.3 D.8 5.要得到函数cos2yx=的图象，只需将函数sin 23yx=+的图象（）A.向右平移6个单位 B.向左平移6个单位 C.向右平移12个单位 D.向左平移12个单位 6.在三棱锥PABC中，线段PC上的点M满足13PMPC=，线段PB上的点N满足23PNPB=，则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为（）A.19 B.13 C.29 D.49 7.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：2dm）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了 4 组数据，用模型e(0)kxycc=去拟合x与y的关系，设ln,zy x=与z的数据如表格所示：得到x与z的线性回归方程21.zxa=+，则c=（）学科网（北京）股份有限公司 x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 A.-2 B.-1 C.2e D.1e 8.双曲线2222:1(0,0)xyMabab=的左右顶点分别为,A B，曲线M上的一点C关于x轴的对称点为D，若直线AC的斜率为m，直线BD的斜率为n，则当9mnmn+取到最小值时，双曲线离心率为（）A.3 B.4 C.3 D.2 二二多选题多选题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知复数z满足210zz+=，则（）A.13i22z=+B.1z=C.2zz=D.2320240zzzz+=10.过线段()4 04xyx+=上一点P作圆22:4O xy+=的两条切线，切点分别为,A B，直线AB与,x y轴分别交于点,M N，则（）A.点O恒在以线段AB为直径的圆上 B.四边形PAOB面积的最小值为 4 C.AB的最小值为2 2 D.OMON+的最小值为 4 11.已知函数()()2ln11f xxx=+，则（）A.()f x在其定义域上是单调递减函数 B.()yf x=的图象关于()0,1对称 C.()f x的值域是()0,+D.当0 x 时，()()f xfxmx恒成立，则m的最大值为-1 学科网（北京）股份有限公司 三三填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知随机变量(),XB n p.若()()30,20E XD X=，则p=_.13.已知抛物线22(0)ypx p=的焦点F为椭圆22143xy+=的右焦点，直线l过点F交抛物线于,A B两点，且8AB=.直线12,l l分别过点,A B且均与x轴平行，在直线12,l l上分别取点,M N（,M N均在点,A B的右侧），ABN和BAM的角平分线相交于点P，则PAB的面积为_.14.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2 3,M N为1BD的三等分点，动点P在1ACB内，且PMN的面积为2 63，则点P的轨迹长度为_.四四解答题解答题：本题共：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（13 分）如图所示，圆O的半径为 2，直线AM与圆O相切于点,4A AM=，圆O上的点P从点A处逆时针转动到最高点B处，记(,0,AOP=.（1）当23=时，求APM的面积；（2）试确定的值，使得APM的面积等于AOP的面积的 2 倍.16.（15 分）如图，直三棱柱111ABCABC中，,D E分别是1,AB BB的中点，122AAACCBAB=.（1）证明：1BC平面1ACD；学科网（北京）股份有限公司（2）求二面角1DACE的正弦值.17.（15 分）盒中有大小颜色相同的 6 个乒乓球，其中 4 个未使用过（称之为新球），2 个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取 2 个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有 3 个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X，求X的分布列及数学期望.18.（17 分）已知函数()()21ln,2f xxa x afx=R是()f x的导函数，()exg xx=.（1）求()f x的单调区间；（2）若()f x有唯一零点.求实数a的取值范围；当0a 时，证明：()()4g xfx+.19.（17 分）已知有穷数列()12:,3nA a aan中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1 m n 的整数m，令集合(),1,2,kA mk am kn=.记集合()A m中元素的个数为()s m（约定空集的元素个数为 0）.（1）若:6,3,2,5,3,7,5,5A，求()5A及()5s；（2）若()()()12111nns as as a+=，求证：12,na aa互不相同；（3）已知12,aa ab=，若对任意的正整数(),i j ij ij n+都有()iijA a+或()jijA a+，求12naaa+的值.学科网（北京）股份有限公司 山东省实验中学山东省实验中学 2024 届高三调研考试届高三调研考试 数学参考答案数学参考答案 2024.2 一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A D C C D 二二多选题多选题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 三三填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12.13 13.8 2 14.2 63 四四解答题解答题：共：共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）过点P作PQAM交AM于点Q，如图：因为圆O的半径为 2，由题意222cos22cos33PQ=，所以APM的面积为14 362 =（2）连接AP，设AOP的面积为1,SAPM的面积为2S，学科网（北京）股份有限公司 又112 2 sin2sin2S=，()()2114 21 cos4 1 cos22SAM PQ=，由题意212SS=，所以()4 1 cos4sin=，即sincos1+=，所以2sin42+=，因为()0,，所以 5,444+，所以344+=，所以2=，所以当2=时，使得APM的面积等于AOP的面积的 2 倍.16.【解析】（1）证明：连接1AC，交点1AC于点F，则F为1AC的中点.又D是AB的中点.连接DF，则1BCDF.因为DF 平面1,ACD BC 平面1ACD.所以1BC平面1ACD.（2）解：由22ACCBAB=，得ACBC.以C为坐标原点，1,CA CB CC 的方向分别为x轴y轴z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz 不妨设2CA=，则()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2DEA.所以()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2CDCECA=.设()111,nx y z=是平面1ACD的法向量.学科网（北京）股份有限公司 则100n CDn CA=，即11110220 xyxz+=+=，取()1,1,1n=.同理，设()222,mxyz=是平面1ACE的法向量，则100m CEm CA=，即222220220yzxz+=+=，取()2,1,2m=.从而3cos,3n mn mn m=，故6sin,3n m=.所以二面角1DACE的正弦值为63.17.【解析】解答：（1）112426815C CPC=（2）X的可能取值为0,1,2,3,4.()2242226660225CCP XCC=，()22111134424222226666721225CCC CC CP XCCCC=+=，()11221122334442242222226666661142225C CCCC CCCP XCCCCCC=+=，()22111132424222226666323225CCC CC CP XCCCC=+=，()2222226614225CCP XCC=，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 6225 72225 114225 32225 1225()67211432116012342252252252252259E X=+=.18.【解析】学科网（北京）股份有限公司 解：（1）()f x的定义域为()()20,axafxxxx+=，当0a时，()0fx恒成立，故()f x的单调递增区间是()0,+，无单调递减区间；当0a 时，令()0fx得xa；令()0fx得0 xa；所以()f x单调递减区间为()0,a；单调递增区间为(),a+（2）法一；当0a=时，()f x没有零点，不符合题意；当0a 时，函数()f x在()0,+单调递增，因为()()2211ln122f xxa xxa x=，则()0f m，故存在唯一()0,1xm，使得()00f x=，符合题意；（此处用极限说明也可以）当0a 时，由（1）可知，()f x有唯一零点只需()0fa=，即ln022aaa=，解得ea=；综上，a的取值范围为(),0e.法二：当0a=时，()f x没有零点，不符合题意；所以()21ln02xf xax=，令()2lnxxx=，则()31 2lnxxx=，当()0,ex时，()()0,xx单调递增；当()e,x+时，()()0,xx单调递减；又lim()0 xx+=.所以102a或()11e22ea=，即0a ()()1 e2exh xx=+，()()2 e0 xhxx=+，所以()h x单调递增，又()10h=，故当()0,1x时，()()0,h xh x单调递增；故()()10h xh=，故()1e2e2xg xxx=要证()()4g xfx+，只需证明()1e2e442xfxxx+=+，即证()()22e 1e4e0 xx+，由2222959512e 167e12ee16ee 12e16e2222=+=+=+95e 122.7167.2022+成立.故不等式得证.19.【解析】解：（1）因为4785aaa=，所以()54,7,8A=，则()53s=.（2）依题意()1,1,2,is ain=，则有()11is a，因此()()()12111nns as as a+，又因为()()()12111nns as as a+=，所以()1is a=，所以12,na aa互不相同.（3）依题意12,aa ab=.由()iijA a+或()jijA a+，知ijiaa+=或ijjaa+=.学科网（北京）股份有限公司 令1j=，可得1iiaa+=或11iaa+=，对于2,3,1in=成立，故32aa=或31aa=.当ab=时，34naaaa=，所以12naaana+=当ab时，3aa=或3ab=.当3aa=时，由43aa=或41aa=，有4aa=，同理56naaaa=，所以()121naaanab+=+当3ab=时，此时有23aab=，令1,3ij=，可得()4A a或()4A b，即4aa=或4ab=.令1,4ij=，可得()5A a或()5A b.令2,3ij=，可得()5A b.所以5ab=.若4aa=，则令1,4ij=，可得5aa=，与5ab=矛盾.所以有4ab=.不妨设()235,kaaab k=令(),12,3,1it jkt tk=+=，可得()1kA b+，因此1kab+=.令1,ijk=，则1kaa+=或1kab+=.故1kab+=.所以()121naaanba+=+综上，ab=时，12naaana+=.3aab=时，()121naaanab+=+.3aba=时，()121naaanba+=+.