专题2-5 函数与导数压轴小题归类（15题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf

更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 2-5 函数导数压轴小题归类函数导数压轴小题归类目录题型 01 整数解型.1题型 02 函数零点构造型.2题型 03 同构:方程零点型同构.3题型 04 同构:不等式型同构求参.4题型 05 恒成立求参：移项讨论型.5题型 06 恒成立求参：虚设零点型.5题型 07“倍缩”型函数求参数.6题型 08 恒成立求参：“等式”型.7题型 09 双变量型不等式范围最值.8题型 10 双变量型：凸凹反转型.9题型 11 多参型：代换型.10题型 12 多参型：二次构造放缩型.10题型 13 多参型：韦达定理求参型.11题型 14 多参型：单峰函数绝对值型.12题型 15 导数与三角函数.12高考练场.13题型题型 01 整数解型整数解型 【解题攻略】【解题攻略】整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.【典例【典例 1-1】（2021湖南怀化二模（理）已知函数()(N)kf xkx+=，ln1()1xg xx+=-，若对任意的1c，存在实数,a b满足0abc，使得()()()g af bg c=，则k的最大值是A3B2C4D5【典例【典例 1-2】.（2020黑龙江实验中学三模（理）已知函数()1xf xeax=-在区间(1,1)-内存在极值点，且()0f x（其中e=2.71828L为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于 2 的整数，则实数a的取值范围为（）A4161,5e2eB291,4e2eC42164,5e3eD2294,4e3e【变式【变式 1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学 2021-2022 学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题）已知偶函数 f x满足33fxfx+=-，且当0,3x时，2xf xxe-=，若关于 x 的不等式 20fxtf x-在150,150-上有且只有 150 个整数解，则实数 t 的取值范围是（）A120,e-B1322,3ee-C3123,2ee-D112,2ee-【变式【变式 1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数1 ln()xf xx+=，若关于x的不等式2()()0fxaf x+恰有两个整数解，则实数a的取值范围是A1 ln21 ln3(,23+-B1ln3 1ln2,)32+C1 ln21 ln3(,)23+-D1ln3(1,3+-题型题型 02 函数零点构造型函数零点构造型【解题攻略】【解题攻略】函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：与对称有关的常用结论：若点11,A x y，22,B xy关于直线xa=对称，则122xxa+=；若()f x的图象关于直线xa=对称，则()(2)f xfax=-；若()()f axf bx+=-，则()f x的图象关于直线2abx+=对称；若(2)()2faxf xb-+=，则()f x的图象关于点(,)a b对称数形结合法解决零点问题：零点个数：几个零点几个零点的和几个零点的积.【典例【典例 1-1】（2020黑龙江实验中学高三阶段练习（理）已知函数 ln,02ln,xxef xx xe，若实数0abc互不相等，且 f af bf c=，则bca+-的取值范围为_【典例【典例 1-2】.（2020吉林吉林三模）已知函数2ln,1()13,122x xf xxx+=+，则12lntx x的取值范围是_.【变式【变式 1-2】（2022浙江高三专题练习）设函数,0,0,xa xf xlnx x-=已知12xx，且 12f xf x=，若21xx-的最小值为1e，则 a 的值为_【变式【变式 1-3】.（2021全国模拟预测）已知函数1()|1|1f xx=-，2()2g xxxa=-，若方程()()f xg x=有 4 个不同的实根1x，2x，3x，41234xxxxx=；lnln1lnlnlnlnxxxxxxeexx exxx ex exxellllllllll；ln1ln11ln1ln1xaxeaxxxexaxx+=+lneeln1xxxxxx+=+；lnlnee1xxxxxx+=-【典例【典例 1-1】（2024全国模拟预测）已知 m 是方程e2e(e 1)ln2xxx-+-=的一个根，则2e 1e(e 1)lnmm-+-=（）A1B2C3D5【典例【典例 1-2】（2023全国模拟预测）若方程222 ln(0)exaxaax=-且更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君22e2ln12,abba+=+则一定有（）Aeab BlnbaDln1ab+=【变式【变式 1-3】（2023 上山东日照高三统考开学考试）已知正实数x，y满足nlnelxyxyy=+，则ln1lnxyx+-的最大值为（）A0B1C2D3题型题型 04 同构同构:不等式型同构求参不等式型同构求参【解题攻略】【解题攻略】（1）乘积模型：）乘积模型：lnln()lnlnln()lnlnlnln(ln)()lnabxaaaaeb ef xxeaebbeebbf xxxaabbf xxx=+=+（2）商式模型：）商式模型：ln()lnlnln()lnlnlnlnln(ln)()lnaaaabxebxf xebxebeeef xababxaabbf xxx=-=-（3）和差模型：）和差模型：lnlnln()lnlnlnln()lnaaaaabxeebbf xxxeabbeeebf xex=【典例【典例 1-1】（2023全国安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于 x 的不等式1lne1xmm xxx-+在31,e上恒成立，则正数 m 的最大值为（）A1eB0CeD1【典例【典例 1-2】（2020 上北京高三统考阶段练习）已知不等式1lneaxxaxx+对1x+，恒成立，则实数a 的最小值为（）Ae-Be2-Ce-D2e-【变式【变式 1-1】（2022 下河南高三校联考阶段练习）若关于x的不等式eln1exaxaxx-+-在1,+上恒成立，则实数a的取值范围为（）A1,e-B,3-C,2-D,e-【变式【变式 1-2】（2022 上浙江绍兴高三统考期末）已知关于x的不等式eln2 lnxaxaxx+恒成立，其中e为自然对数的底数，aR+，则（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君Aa既有最小值，也有最大值Ba有最小值，没有最大值Ca有最大值，没有最小值Da既没有最小值，也没有最大值【变式【变式 1-3】（2022 上安徽亳州高三统考期末）已知a时，elnelnxxaaxx-恒成立，则a的最小值为（）A1-B2-Ce-D2e-题型题型 05 恒成立求参：移项讨论型恒成立求参：移项讨论型 【解题攻略】【解题攻略】一般地，已知函数(),=yf x xa b，(),yg x xc d=（1）若1,xa b，2,xc d，有12()()f xg x成立，故max12min()()f xg x；（2）若1,xa b，2,xc d$，有12()()f xg x成立，故1 max2max()()f xg x；（3）若1,xa b$，2,xc d$，有12()()f xg x成立，故1 min2max()()f xg x；（4）若1,xa b$，2,xc d，有12()()f xg x成立，故1 min2min()()f xg x；【典例【典例 1-1】（2022全国高三专题练习）已知函数 2ln 1lnf xxxax=-+-有唯一零点，则=a（）A0B12-C1D2【典例【典例 1-2】.（2022全国高三专题练习）若对任意0,x+，不等式22lnln0 xeaaax-恒成立，则实数 a 的最大值为（）AeBeC2eD2e【变式【变式 1-1】（2020福建省福州第一中学高三阶段练习（理）已知21a-时，不等式2e2ln1xxmxx+有解，则实数 m的范围为（）A1,+B1,e-+C2,e+D2,+题型题型 06 恒成立求参：虚设零点型恒成立求参：虚设零点型 【解题攻略】【解题攻略】虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围【典例【典例 1-1】（】（四川省内江市威远中学校 2022-2023 学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等式1eln23xxxxm+-+对0,x+恒成立，则m取值范围为（）A12m -B12m -C2m -D2m -【典例【典例 1-2】（】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校 2022-2023 学年高三上学期 10 月月考数学试题）若关于x的不等式lnx aexa-+对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A1,e-B,e-C,1-D,2-【变式【变式 1-1】设实数0l，若对任意0,x+，不等式ln0 xexll-恒成立，则l的取值范围是（）A10elB01el-C0elD20el【变式【变式 1-2】已知函数 2ln 1lnf xxxax=-+-有唯一零点，则=a（）A0B12-C1D2【变式【变式 1-3】若对任意0,x+，不等式22lnln0 xeaaax-恒成立，则实数 a 的最大值为（）AeBeC2eD2e题型题型 07“倍缩倍缩”型函数求参数型函数求参数 【解题攻略】【解题攻略】如果函数()f x在定义域的某个区间,m n（mn），则称函数()f x为,m n上的 k 倍域函数，,m n称为函数()f x的一个 k 倍域区间把函数()h x存在区间,m n，使得函数()h x为,m n上的k倍域函数，结合函数的单调性，转化为()()h mkmh nkn=是解答的关键.【典例【典例 1-1】（陕西省汉中中学 2019 届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为 D，若满足条件：存在,a bD，使 f x在,a b上的值域为,2 2a b，则称 f x为“倍缩函数”.若函数=xf xet+为“倍缩函数”，则实数 t 的取值范围是更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A1ln2,2+-B1 ln2,2+-C1ln2,2+D1 ln2,2+【典例【典例 1-2】（】（浙江省杭州学军中学西溪校区 2020-2021 学年高三 3 月数学试题）设函数()f x的定义域为D，若函数()f x满足条件：存在,a bD，使()f x在,a b上的值域是,2 2a b，则()f x称为“倍缩函数”，若函数2()log2xf xt=+为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是_.【变式【变式 1-1】（】（2020 年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二）设函数 h x的定义域为 D，若满足条件：存在,a bD，使 h x在,a b上的值域为2,2ab，则称 h x为“倍胀函数”.若函数 lnf xxt=+为“倍胀函数”，则实数 t 的取值范围是_.【变式【变式 1-2】（】（河北省邢台一中 2021-2022 学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数 f x的定义域为I，若存在,a bI，使得 f x在区间,a b上的值域为*,ka kbkN，则称 f x为“k倍函数”.已知函数 3log3xf xm=-为“3 倍函数”，则实数m的取值范围为（）A2 30,9B2 3,09-C2 3,9+D2 3,9-【变式【变式 1-3】（2022 吉林吉林高三阶段练习（理）设函数 f x的定义域为D，若满足条件：存在,m nD，使 f x在mn，上的值域为kmkn，（kR且0k），则称 f x为“k倍函数”，若函数()xf xa=1a 为“3 倍函数”，则实数a的取值范围是（）A31,eeB31,eC2,eeeD3,e e题型题型 08 恒成立求参：恒成立求参：“等式等式”型型 【解题攻略】【解题攻略】一般地，已知函数(),=yf x xa b，(),yg x xc d=若1,xa b，2,xc d$，有12()()f xg x=，则()f x的值域是()g x值域的子集【典例【典例 1-1】（2021四川绵阳中学模拟预测（文）已知函数()xf xx e-=，21()ln2g xxxa=-+，若12,1,2x x$，使得 12f xg x=，则实数a的取值范围是A2211ln22,2ee+-B2211ln22,2ee+-C211 2,ln222e e-+D211 2,ln222e e-+【典例【典例 1-2】（2022福建泉州市城东中学高三）已知1x，2x是函数 222lnf xxaxx=-+的两个极值点，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君且12xx成立，则实数 a 的取值范围是（）Aln2,2-Bln2,2-C1,e-Dln2,e2-【变式【变式 1-3】（】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学 2020-2021 学年高三数学试题）已知函数()(2)ee1xf xx=-+，()lnag xxxx=+，对任意的1,3em，总存在1,3en使得()()g mf n成立，则 a的范围为_题型题型 09 双变量型不等式范围最值双变量型不等式范围最值【解题攻略】【解题攻略】一般地，已知函数,yf xxa b=，,yg xxc d=不等关系(1)若1,xa b，2,xc d，总有 12f xg x成立，故 maxminf xg x；(2)若1,xa b，2,xc d$，有 12f xg x成立，故 maxmaxf xg x；(3)若1,xa b$，2,xc d，有 12f xg x成立，故 minminf xg x；(4)若1,xa b$，2,xc d$，有 12f xg x成立，故 minmaxf xg x，则下列说法不正确的是（）Aea+C121x x D f x有极小值点【典例【典例 1-2】（2023 下福建福州高三福建省福州第一中学校考）已知函数 2 exf xx=-，若 12f xf x=，且12xx，120 xx，则（）A112x B232x D122xx+C1221lnln0 xxxx+题型题型 10 双变量型：凸凹反转型双变量型：凸凹反转型【解题攻略】【解题攻略】凸凹翻转型常见思路，如下图凸凹翻转型常见思路，如下图 转化为两个函数的最值问题是关键。【典例【典例 1-1】（2023全国高三专题练习）设大于 1 的两个实数 a，b 满足22lnanbbea，则正整数 n 的最大值为（）A7B9C11D12【典例【典例 1-2】（2023 上江苏苏州高三统考阶段练习）已知正数,a b满足2e12ln182abab+，则eab+=（）A94B32C1D34【变式【变式 1-1】.已知实数x，y满足2ln 436326x yxyexy+-+-+-，则xy+的值为A2B1C0D1-【变式【变式 1-2】（】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校 2021-2022 学年高三上学期 10 月联考数学试题）已知函数()(|ln|)xf xexmx=-有两个零点，则m的取值范围为（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A(,)e-+B1(,)e-+C(1,)-+D(0,)+题型题型 11 多参型：代换型多参型：代换型 【解题攻略】【解题攻略】不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：12121212lnln2xxxxx xxx-+，0b，关于x的不等式ln1abxxa-B0ab C280bac+D0ac【典例【典例 1-2】（2023 上江苏苏州高三苏州中学校考开学考试）若函数 231ln02xf xaxaxx-=+-既有极大值也有极小值，则a（）A90,4B(0,3)C90,9,4+UD()()0 39+U,【变式【变式1-1】（2023山东烟台统考二模）若函数21()ln2f xxxax=+有两个极值点12,x x，且125fxfx+-，则（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A4 2a B2 2a C2 2a -D4 2a -【变式【变式1-2】（2021浙江模拟预测）已知 21lnf xxax=-+在1,4+上恰有两个极值点1x，2x，且12xx，则12f xx的取值范围为（）A13,ln22-B1ln2,12-C1,ln22-D13ln2,ln224-【变式【变式 1-3】（2023河南开封高三统考）已知函数 21ln2f xxaxax=-+的两个极值点分别是12,x x，则下列结论正确的是（）AaB221216xx+C存在实数 a，使得 120f xf x+D221212164f xf xxx+，2ln1f xxax=+-，22ln2g xx xa=-+-，对任意11x+，总存在唯一的22x+，使得 12f xg x=成立，则实数 a 的取值范围_【变式【变式 1-3】（】（浙江省温州市 2021-2022 学年高三适应性测试一模数学试题）设函数3()|3f xxxa=-+.若()f x在 1,1-上的最大值为 2，则实数 a 所有可能的取值组成的集合是_.题型题型 15 导数与三角函数导数与三角函数【典例【典例 1-1】函数 sin24cosf xxx=-的最大值为（）A96 3+B3 2C106 2+D63+【典例【典例 1-2】已知函数()sin2sin()4f xxxxp=+，若对于任意的1212,0,),()2x xxxp，均有1212|()()|xxf xf xa ee-成立，则实数 a 的最小值为A23B1C32D3更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式 1-1】函数5sin(1510)55yxx=+-的图象与函数25(1)22xyxx+=+图象的所有交点的横坐标之和为_.【变式 1-2】已知0 xy，且e sine sinyxxy=，其中 e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）Acocos0sxy+CcossinxyDsinsinxy【变式 1-3】已知函数31()sin2cos()3f xaxxxx a=-R，若 f(x)在 R 上单调，则 a 的取值范围是（）A11,22-+B22,pp-+UC(,11,)-+UD,22pp-+U高考练场1.（黑龙江省实验校 2020 届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数()1xf xeax=-在区间(1,1)-内存在极值点，且()0f x，若存在正实数x，使得不等式127log30kxxk-成立，则k的最大值为（）A1ln3eBln3eCln3eDln325.（2021 下四川眉山高三练习）若0,1x，lnmxxxm-恒成立，则实数m的取值范围为（）A1,+B1,2+C2,+D,1-6.（江苏省扬州市高邮市 2022-2023 学年高三上学期 10 月学情调研测试数学试题）当0 x 时，不等式2e2ln1xxmxx+有解，则实数 m 的范围为（）A1,+B1,e-+C2,e+D2,+更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君7.（陕西省汉中中学 2022 高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为 D，若满足条件：存在,a bD，使 f x在,a b上的值域为,2 2a b，则称 f x为“倍缩函数”.若函数=xf xet+为“倍缩函数”，则实数 t 的取值范围是A1ln2,2+-B1 ln2,2+-C1ln2,2+D1 ln2,2+8.（湖 北 省 十 堰 市 东 风 高 级 中 学 2021-2022 学 年 高 三 数 学 试 题）已 知 21xf xxeee=+，21ln1g xxax=-+，若存在1xR，21,x -+，使得12f xg x成立，则实数a的取值范围是_.9.（2021新疆乌鲁木齐统考三模）若12lnxex=，令21txx=-，则t的最小值属于（）A31,2B3,22C52,2D5,3210.（2022安徽合肥高三合肥一中校考阶段练习）已知函数 ln,11,12x xf xxx=-，若 1F xff xm=+有两个零点12,x x，则12xx+的取值范围是（）A42ln2,-+B1,e+C42ln2,1e-+D,1e-+11.（四川省泸县第五中学 2021-2022 学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数 x，y 使等式22lnln0 xm yexyx+-=成立，（其中2.71828.e=）则实数 m 的取值范围是_.12.（2023江苏统考模拟预测）已知 f xmxn=+，lng xx=，对于0,x+，f xg x恒成立，则2mn+的最小值为（）Aln2-B1Cln4-D213.（2022 下福建泉州高三泉州市城东中学校考）已知1x，2x是函数 222lnf xxaxx=-+的两个极值点，且12xx=-+-+若关于 x 的不等式 0f x 的解集为1,-+，则实数 a 的取值范围为_更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 2-5 函数与导数压轴小题归类函数与导数压轴小题归类目录题型 01 整数解型.1题型 02 函数零点构造型.4题型 03 同构:方程零点型同构.8题型 04 同构:不等式型同构求参.10题型 05 恒成立求参：移项讨论型.13题型 06 恒成立求参：虚设零点型.17题型 07“倍缩”型函数求参数.20题型 08 恒成立求参：“等式”型.23题型 09 双变量型不等式范围最值.25题型 10 双变量型：凸凹反转型.29题型 11 多参型：代换型.31题型 12 多参型：二次构造放缩型.35题型 13 多参型：韦达定理求参型.38题型 14 多参型：单峰函数绝对值型.41题型 15 导数与三角函数.45高考练场.49 题型题型 01 整数解型整数解型 【解题攻略】【解题攻略】整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.【典例【典例 1-1】（2021湖南怀化二模（理）已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是A3B2C4D5【答案】A【解析】根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.【详解】，对任意的，存在实数满足，使得，易得，即恒成立，对于恒成立,设，则，令，在恒成立，()(N)kf xkx+=ln1()1xg xx+=-1c,a b0abc-1x ln1()1xh xxx+=-()h xk()(N)kf xkx+=Qln1()1xg xx+=-1c,a b0abcln11ckcc+-ln11xkxx+-1x ln1()1xh xxx+=-22ln()(1)xxh xx-=-()2lnq xxx=-1()10q xx=-1x 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君，故存在，使得，即，当时，单调递减；当时，单调递增.,将代入得：，且，故选：A【典例【典例 1-2】.（2020黑龙江实验中学三模（理）已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】求导，由得可求出的范围，再考查与零的大小比较，在时，结合题意得出，以及当时，解出实数的范围可得出答案【详解】，则，由于函数在区间上存在极值点，令，得，所以，解得，由于，且不等式恰有一整数解当时，即当时，当时，；当时，此时，函数在处取得最小值，则，不合乎题意；当时，即当时，当时，；当时，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为由题意可得，解得，此时，；当时，即当时，当时，；当时，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为由题意可得，解得，此时，因此，实数的取值范围是，故选 D【变式【变式 1-1】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于 2 的整数，则实数的取值范围为（的整数，则实数的取值范围为（）ABCD(3)32ln30(4)42ln40qq=-Q，0(3,4)x 00q x=002lnxx-=0(1,)xx()0q x()h x000min00ln()()1xxxh xh xx+=-002lnxx-=000min000(2)()()1x xxh xh xxx-+=-Nk+Qmin0()kh xx=3k()1xf xeax=-(1,1)-()0f x 221,e2ee-22211,11,22eeee-1,ee-2211,1,2eeeeee-U 0fx=ln1,1xa=-alnaln1,0a-1020ff-ln0,1a 1020ffa 1xf xeax=-Q xfxea=-yf x=1,1-0 xfxea=-=lnxa=1ln1a-1aee 00f=0f x ln0a=1a=1xfxe=-0 x 0fx 0fx yf x=0 x=00f xf=1ln0a-11aelnxa 0fx 0fx yf x=,lna-ln,a+212210110feafea-=+-=+-22112eeaee-22112eeaee-0ln1a1aelnxa 0fx 0fx yf x=,lna-ln,a+22210110feafea=-=-2112eea-1eae-e=2.71828La4161,5e2e291,4e2e42164,5e3e2294,4e3e更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【答案】【答案】D【分析】将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由，化简得：，设，则原不等式即为.若，则当时，原不等式的解集中有无数个大于 2 的整数，.，.当，即时，设，则.设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，当时，在上为减函数，即，当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于 2 的整数.要使原不等式的解集中有且仅有两个大于 2 的整数，则(3)(3)(4)(4)(5)(5)，即e2 2e34e2 3e49e2 4e5，解得.则实数的取值范围为.故选：D【变式【变式 1-2】（】（黑龙江省佳木斯市第一中学 2021-2022 学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题）已知偶函数满足，且当时，若关于）已知偶函数满足，且当时，若关于x的不等式在上有且只有的不等式在上有且只有 150 个整数解，则实数个整数解，则实数 t 的取值范围是（的取值范围是（）ABCD【答案】【答案】B【分析】根据偶函数满足，得到函数是以 6 为周期的周期函数，由时，用导数法结合偶函数，作出数在上的图象，将不等式在上有且只有 150 个整数解，转化为在一个周期上有 3 个整数解分别为-2，2，3 求解.【详解】因为偶函数满足，所以，即，所以函数是以 6 为周期的周期函数，当时，所以，当时，函数递增；当时，函数递减；当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：22e21 exxa x-aa2222ee4ee4e0 xxxaxa-+22e21 exxa x-22e2f xx=-1 exg xa x=-f xg x0a 2x 0f x 0g x 20f=22e0ga=22fg 33fg12ea 4h xf xg xx=-22e2e2e2e22exxxh xxaxx=-2e2e242exxxxxj=-21 e2e2exxxj+=-3,+21 e2e302exxxjj+=-=2e2e22exxxxj=-4,+242e2e0 xjj=-4x 0h x h x4,+2423e44e3 ee402h xha=-4x f xg x22944e3ea150,150-120,e-1322,3ee-3123,2ee-112,2ee-f x33fxfx+=-f x0,3x 2xf xxe-=f x(3,3-20fxtf x-150,150-(3,3-f xt f x33fxfx+=-6fxf xfx-=-6+fxf x=f x0,3x 2xf xxe-=22xxfxe-=（1-）02x f x23x 0fx0 时,f2(x)+af(x)0f(x)0,此时不等式 f2(x)+af(x)0 有无数个整数解，不符合题意；当 a=0 时,f2(x)+af(x)0f(x)0,此时不等式 f2(x)+af(x)0 有无数个整数解，不符合题意；当 a0f(x)a,要使不等式 f2(x)+af(x)0 恰有两个整数解，必须满足f(3)a150,150-20fxtf x-(3,3-0f x=f xt(3,3-1322133,fefe-=3311ffe=13ff(3,3-13fft 32123tee-a1 ln21 ln3(,23+-1ln3 1ln2,)32+1 ln21 ln3(,)23+-1ln3(1,3+-2211 lnxlnxfxxx-+=-a1213,23lnln+-11,A x y22,B xyxa=122xxa+=()f xxa=()(2)f xfax=-()()f axf bx+=-()f x2abx+=(2)()2faxf xb-+=()f x(,)a b更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君数形结合法解决零点问题：零点个数：几个零点几个零点的和几个零点的积.【典例【典例 1-1】（2020黑龙江实验中学高三阶段练习（理）已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为_【答案】【分析】画出的图象，结合图象得的取值范围，再由，用表示，结合函数导数可求出的取值范围.【详解】解：令，解得，当时，所以函数的图象如图，当时，或，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，设，所以，解得或（舍去），当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，由，所以取值范围为，故答案为:.【典例【典例 1-2】.（2020吉林吉林三模）已知函数，若实数满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】画出的图像如图所示，可知为 R 上的单调递增函数，又，可得，故，结合，可得，有，构造，利用导数研究单调性，可得，即得解 ln,02ln,xxef xx xe0abc f af bf c=bca+-2221,ee-f x,a b clnlnab-=ln2lnbc=-b,a cbca+-2ln0 x-=2xe=xe=ln12lnee=-1f x=1=xee f af bf c=11ae1be2ecelnlnab-=1ba=ln2lnbc=-2bce=2211eebcabbbbb-+-=+-=+21,1ef xxxex-=+222221110exefxxx-+=-=21xe=-21e-211xe-0fx f x21exe-f x21xe=-222min211211ef xeee-=-+=-22211efef ee-=f x2221,ee-2221,ee-2ln,1()13,122x xf xxx+=+12,x x12xx12()()4f xf x+=12xx+32ln2,-+()f x()f x(1)2f=121xx min()(2)32ln2g xg=-更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】画出的图像如图所示，可知为 R 上的单调递增函数，由于，不妨设，可知故 不妨设故在单调递减，在单调递增，故可得的最小值为故答案为：【变式【变式 1-1】（2022云南省玉溪第一中学高三）已知函数，若，其中，则的取值范围是_.【答案】【分析】转化条件得，则，令，利用导数求得的取值范围即可得解.【详解】由题意，则，作函数的草图如下，由图可知，当时，有唯一解，故，且，设，则，令，解得，易得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，即的取值范围是.故答案为：.()f x()f x(1)2f=12xx121xx 22()1,1xg xxxx-=-=()g x(1,2)(2,)+min()(2)32ln2g xg=-12xx+32ln2-32ln2,-+xf xxe=lng xxx=12f xg xt=0t 12lntx x1,e-12lnxx=12lnlnttx xt=ln0th ttt=h t11xx et=22lnxxt=2ln2lnxext=12ln12lnxxe xex=()xf xxe=0t()f xt=12lnxx=1 0 x1222lnlnlnlntttx xxxt=ln()th tt=0t 21 ln()th tt-=()0h t=te=(0,)te()0h t()h t(,)te+()0h t12xx 12f xf x=21xx-1e 12f xf xt=(,ta-()g t=21etxxta-=-()ta-12f xf xt=(,ta-12xx0a 0a 1a=1()|1|1f xx=-2()2g xxxa=-()()f xg x=1x2x3x41234xxxxx143a xxx+-(0,1)()f x()g x142xx+=312x33f xg x=2333122xxax=-2333122axxx=-3214333332441a xxxaxxxx+-=-=-+-+32()441(12)h xxxxx=-+-+143a xxx+-()f x()g x更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君由，的图象都关于直线对称可得，由得，所以设，则，所以在上单调递增，的取值范围是故答案为：题型题型 03 同构同构:方程零点型同构方程零点型同构【解题攻略】【解题攻略】对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破口。如变形得到，从而构造进行求解.常见同构：；【典例【典例 1-1】（2024全国模拟预测）已知 m 是方程的一个根，则（）A1B2C3D5【答案】B【分析】设，同构得到，结合函数单调性得到，结合 m是方程的一个根，故，解得，从而求出答案.()f x()g x1x=142xx+=312x33f xg x=2333122xxax=-2333122axxx=-3214333332441a xxxaxxxx+-=-=-+-+32()441(12)h xxxxx=-+-+()h x(1,2)143a xxx+-(0,1)(0,1)exln xe2e(e 1)ln2xxx-+-=eln2lneeln2 elnx xxx xx+-+-=+()etf tt=+1lnlnlnlnloglnlnlnlnlnlnxxaxaxeaxaxexa exxx exaxaea=lnln1lnlnlnlnxxxxxxeexx exxx ex exxellllllllllln1ln11ln1ln1xaxeaxxxexaxx+=+lneeln1xxxxxx+=+lnlnee1xxxxxx+=-e2e(e 1)ln2xxx-+-=2e 1e(e 1)lnmm-+-=()etf tt=+(eln2)(ln)fxxfx+-=(e 1)ln2xx-=-(e 1)ln2mm-=-2e 1emm-=更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】，设，则恒