专题3-3 解三角形压轴综合小题（15题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf

更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 3-3 解三角形压轴综合小题解三角形压轴综合小题 目录题型 01 边角互化求角.1题型 02 判断三角型形状.2题型 03 三角形几解判断.3题型 04 正余弦应用：求面积.4题型 05 正余弦应用：求长度.5题型 06 正余弦应用：比值型求值.6题型 07 最值型：角与对边互化面积型.6题型 08 最值型：周长、边长范围.7题型 09 最值型：比值范围.8题型 10 最值型：余弦定理齐次式.8题型 11 最值型：正切.9题型 12 三角形角平分线型.10题型 13 三角形中线型.11题型 14 三角形重心型.12题型 15 三角形外接圆.13高考练场.14题型题型 01 边角互化求角边角互化求角 【解题攻略】【解题攻略】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sinsinsinabcrABC=（r为ABCV外接圆半径）得2 sinarA=，2 sinbrB=，2 sincrC=；（2）角化边：利用正弦定理：sin2aAr=，sin2bBr=，sin2cCr=利用余弦定理：222cos2bcaAbc+-=辅助角公式辅助角公式专题3-3 解三角形压轴综合小题（15题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君22222222222222222222a-+=1+sin+sc)in()csin+cos+sin+cos sosc(1+sinossinco,sin.+(2)+ss+ininos(+babababbabaabababbababbaa =正弦形式：cos其中：=余弦（形式：cosco；，s（）2222.)sin,cos+ababab=，其中：=【典例 1-1】（2022 下黑龙江哈尔滨高三校联考）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sinsinsinabCcbAB-=-+，则 A（）A6B3C23D3或23【典例【典例 1-2】（2021 下内蒙古赤峰高三校考阶段练习）在锐角ABCV中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若2 sinbaB=，则角A等于（）A30oB45oC60oD30o或150o【变式【变式 1-1】（2023 上河南焦作高三石家庄市第九中学校考）在ABCV中，,ABC的对边分别为 a，b，c，若()()cos2cosbABcaB+-=，则B=（）A6B3C2D23【变式【变式 1-2】（2023湖南校联考模拟预测）在ABCV中，3BC=，10sinsinsin3BCA+=，且ABCV的面积为1sin2A，则A=（）A6B4C3D23【变式【变式 1-3】（2023 上黑龙江佳木斯高三佳木斯一中校考阶段练习）在ABCV中，,a b c分别为角,A B C的对边，已知cos33,cos2BbCac=-，则cosB等于（）A12B32C12-D32-题型题型 02 判断三角型形状判断三角型形状 【解题攻略】【解题攻略】判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君sinA=sinBA=BABC 为等腰三角形 sinA=cosB2AB+=或2AB-=ABC 直角三角形或钝角三角形sin2A=sin2BA=B 或2AB+=ABC 为等腰三角形或钝角三角形cos2A=cos2BA=BABC 为等腰三角形222abc+=cos0C=ABC 为直角三角形2220abc+-cos0C 或2220acb+-cos0B ABC 为钝角三角形或2220bca+-cos0A2220abc+-cos0C 且2220acb+-cos0B ABC 为锐角三角形且2220bca+-cos0A【典例【典例 1-1】在ABCV中，,a b c是三角形的三条边，若方程2222 sinsinsin0 xxCAB-+=有两个相等的实数根，则ABCV是（）A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D以上都有可能【典例【典例 1-2】在ABCV中，已知sin()coscos()sin1ABBABB-+-，则ABCV是（）A直角三角形；B锐角三角形；C钝角三角形；D等边三角形【变式【变式 1-1】在ABCV中，1 cosbcAc+=，则三角形的形状为（）A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C正三角形D等腰三角形【变式【变式 1-2】记ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2abcbcabc+-=，那么ABCV是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定【变式【变式 1-3】在ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，若22202cabab-，则ABCV一定是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形 题型题型 03 三角形几解判断三角形几解判断 【解题攻略】【解题攻略】判断三角形解的个数有 2 种：画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。若无交点，则无解；若有一个交点，则有一个解；若有两个交点，则有两个解；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。公式法：运用正弦定理进行求解。absinA，0，则一个解；absinA，0，则两个解；absinA，0，则无解。【典例【典例 1-1】在ABCV中，20,10,32abB=，则此三角形的解的情况是（）A有两解B有一解C有无数个解D无解【典例【典例 1-2】在ABCV中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，若2,1,29abB=，则此三角形解的情况是（）A无解B有一解C有两解D有无数解【变式【变式 1-1】在VABC 中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是（）A一解B两解C一解或两解D无解【变式【变式 1-2】在ABCV中，已知4 5b=，3 5c=，30C=o，则此三角形的解的情况是（）A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定【变式【变式 1-3】在ABCV中，已知18a=，20b=，150A=，这个三角形解的情况是A一解B两解C无解D不确定 题型题型 04 正余弦应用：求面积正余弦应用：求面积 【解题攻略】【解题攻略】三角形面积：SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R SABC12(abc)r(r 是切圆的半径)【典例【典例 1-1】记ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sinsinaBbC=，则ABCV的面积为（）A2sin22aCB2sin22bAC2sin22cBD222312abc+【典例【典例 1-2】已知ABCV的内角,A B C所对的边分别为4,2 17,5 2,cos5a b c abA=，则ABCV的面积为（）A36 2B18 3C27D36【变式【变式 1-1】（2022 春河南许昌高三统考期末）如图，在平面四边形 ABCD 中，2CD=，ADC45，ACD105，B60，ABBC4，则三角形 ABC 的面积为（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A3B32C7 34D7 32【变式【变式 1-2】（2023 春辽宁沈阳高三沈阳二中校考）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，“三斜求积”公式表示为222222142acbSa c+-=-.在ABC 中，若2sin6sinaCA=，2216acb+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为 .【变式【变式 1-3】（2019陕西宝鸡统考二模）已知三角形的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2a=，226bc-=，则角A最大时，三角形ABC的面积等于 .题型题型 05 正余弦应用：求长度正余弦应用：求长度 【解题攻略】【解题攻略】.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.【典例【典例1-1】（2023 下江西萍乡高三统考）已知a，b，c 分别为ABCV三个内角A，B，C 的对边，若42 2bc=+-，3cos4B=，tan7C=-，则=a 【典例【典例 1-2】（2023 下江苏盐城高三校联考）ABCV中，23A=，D在BC上，ADAC，2AD=，则12ACAB+=【变式【变式 1-1】（2023 下广西钦州高三统考）在ABCV中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且coscos1bCcB+=，则=a .若2cos24B=，2c=，则b=.【变式【变式1-2】（2022 下高三校考单元测试）在ABCV中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，又2a=.6c=.3C=，则b=.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式【变式 1-3】（2023 上山东日照高三统考开学考试）在ABCV中，2AB=，D为AB中点，2CD=，2BACBCD=，则边AC的长为 .题型题型 06 正余弦应用：比值型求值正余弦应用：比值型求值 【解题攻略】【解题攻略】最值范围：分式比值型化边为角型1.通过正余弦定理，把边转化为角。2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式3.对单变量（单角）求最值。【典例【典例 1-1】（2022 上四川成都高三成都七中校考阶段练习）在Rt ABCV中，斜边为AB，点D在边BC上，若2tan4BAD=，1sinsin3ADCB=，则22ABADAB AD+=.【典例【典例1-2】（2023 下福建泉州高三校联考阶段练习）记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，4cos5A=，若ABCV的面积为 3，则当ABCV的周长取到最小值时，ab=【变式【变式 1-1】（2022 上江苏南通高三统考）在ABCV中(角 A 为最大内角，a，b，c 为A、B、C所对的边)和111ABC中，若1sincosAA=，1sincosBB=，1sincosCC=，则2224 5ABCSabc=-.【变式【变式 1-2】（2020四川成都高三双流中学校考阶段练习）在ABCV中，22sin3sin2AA=，tan3tanBC=，则ACAB=.【变式【变式 1-3】已知ABCV中，设角A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，ABCV的面积为S，若223sin2sinsinsin2sinsinBCAABC+=+，则2Sb的值为（）A14B12C1D2 题型题型 07 最值型：角与对边互化面积型最值型：角与对边互化面积型 【解题攻略】【解题攻略】注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边,a b c的齐次式或关于角的正弦sin,sin,sinABC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论【典例【典例 1-1】（2023全国高三专题练习）在ABCV中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知60B=o，4b=，则ABCV面积的最大值为（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A3 3B4 3C5 3D6【典例【典例 1-2】（2022 秋黑龙江高三哈尔滨三中校考）在ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，若sinsin2ACabA+=，1b=，则ABCV面积的最大值为（）A32B34C36D12【变式【变式 1-1】（2023 秋辽宁铁岭高三校考开学考试）在ABCV中，内角,A B C的对边分别为,a b c，若22()cabab=-+，且3c=，则ABCV面积的最大值为 .【变式【变式 1-2】（2023 秋广东珠海高三校考开学考试）已知a，b，c分别为ABCV的三个内角A，B，C的对边，4a=，且4sinsinsinbABcbC+-=-，则ABCV面积的最大值为 .【变式【变式 1-3】（2023 秋四川成都高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3A=，2a=，则ABCV面积的最大值为 题型题型 08 最值型：周长、边长范围最值型：周长、边长范围 【解题攻略】【解题攻略】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值【典例【典例 1-1】（2021 上河南濮阳高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习）锐角ABCV中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且满足()(sinsin)()sinabABcbC-+=-，若3a=，则bc+的取值范围是（）A(3,4B(3,2 3C(3,3 3D(3,6【典例【典例 1-2】（2023 上四川南充高三四川省南充高级中学校考阶段练习）设锐角ABCV的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若,33Aa=，则2b2cbc+的取值范围为（）A(1，9B(3，9C(5，9D(7，9【变式【变式 1-1】（2023 下高三单元测试）在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscossinsin()sinBCAACbcC+=，3B=，则ac+的取值范围是（）A3,32B3,32C3,32D3,32【变式【变式 1-2】（2021河北唐山统考三模）ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的内角平分线交BC于点D，若1a=，112bc+=，则AD的取值范围是 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式【变式 1-3】（2023 上四川宜宾高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）ABCD中，若03,60bB=，则ABCD周长最大值为 题型题型 9 最值型：比值范围最值型：比值范围 【典例【典例 1-1】（2022 上广西桂林高三校考阶段练习）在ABCV中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，设ABCV的面积为S，则24Sabc+的最大值为（）A216B312C316D218【典例【典例 1-2】（2023 上江苏无锡高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习）在锐角ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，S为ABCV的面积，且222()aSbc=+-，则222sinsinsin sinBCBC+的取值范围为（）A43 59,15 15B432 2,15C592 2,15D2 2,+【变式【变式 1-1】（2023 上贵州黔东南高三统考）在锐角ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，且ABCV的面积1 cosSbcA=-，则2abc的取值范围为（）A4,5+B4 16,5 15C4 32,5 35D32 16,35 15【变式【变式 1-2】（2022全国高三专题练习）已知ABCD的内角、ABC的对边分别为abc、，若2AB=，则2cbba+的取值范围为 【变式【变式 1-3】（2022 下重庆高三重庆市彭水第一中学校校考）在锐角ABCV中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若22abbc=+，则ab的取值范围是 题型题型 10 最值型：余弦定理齐次式最值型：余弦定理齐次式 【典例【典例 1-1】（2022全国高三课时练习）锐角ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若2225abc+=，则cosC的取值范围是（）A(1623，）B(112，）C4653，)D45，1)【典例【典例 1-2】（2020全国高三课时练习）锐角ABCV中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若2224abc+=，则cosC的取值范围为（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A1 3 3,25B3 3 3,45C115,25D315,45【变式【变式 1-1】（2022四川成都二模（理）已知ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c.若222221,4cos4sin33caBbAb=+=-，则tanA的最大值为（）A74B73C3 77D4 77【变式【变式 1-2】（2022全国高三专题练习）已知ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c若2222224cos4sin33aBbAbc+=-，则cos A的最小值为（）A23B73C74D34【变式【变式 1-3】（2020河南校联考二模）在ABCV中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 BC 边上的高为24a，则cbbc+的最大值是题型题型 11 最值型：正切最值型：正切 【解题攻略】【解题攻略】正切：1tantantan1tantan=；2.在三角形中，tantantantantantanABCABC+=【典例【典例 1-1】（2023 上辽宁丹东高三校联考阶段练习）在锐角三角形ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足cos22acaB+=，则tantan2tantanBAAB-的取值范围是（）A13,23B3 1,42C10,2D2 31,3【典例【典例 1-2】（2023 下云南保山高三校考）已知ABCV的三个内角分别为A，B，C，若222sin2sin3sinCAB=-，则tan B的最大值为（）A52B53C3 52D2 53【变式【变式 1-1】（2022黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考二模）在锐角ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABCV的面积为 S，若222sin()SACba+=-，则1tan3tan()ABA+-的取值范围为（）A2 3,3+B2 3 4,33C2 3 4,33D2 3 4,33专题3-3 解三角形压轴综合小题（15题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式【变式 1-2】（2023 上全国高三专题练习）在锐角ABCV中，22abbc-=，则角B的范围是 ，556sintantanABA-+的取值范围为 .【变式【变式 1-3】（2023全国高三专题练习）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2224abc+=，则tan B的最大值为 题型题型 12 三角形角平分线型三角形角平分线型 【解题攻略】【解题攻略】角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：ABACBDCD=三角形角平分线的处理方法：ABCACDABDSSS=+【典例【典例 1-1】（2022贵州贵阳高三开学考试（理）已知ABCV的内角,A B C对应的边分别是,a b c，内角A的角平分线交边BC于D点，且 4=AD若(2)coscos0bcAaC+=，则ABCV面积的最小值是（）A16B16 3C64D64 3【典例【典例 1-2】（2023全国高三专题练习）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，120ABC=，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则4ac+的最小值为（）A8B9C10D7【变式【变式 1-1】（2022安徽巢湖市第一中学模拟预测（理）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，()(sinsin)(sinsin)abABcCB+-=+，若角 A 的内角平分线 AD 的长为 2，则4bc+的最小值为（）A10B12C16D18【变式【变式 1-2】（2021全国高三专题练习）已知ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，60A=，3bc=，角 A 的平分线交 BC 于点 D，且7BD=，则cosADB的值为（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A217-B217C2 77D217【变式【变式 1-3】（2022陕西西安三模（理）在ABCV中，120B=o，2AB=，A的角平分线AD的长为3，则AC=（）A2B3C6D2 3题型题型 13 三角形中线型三角形中线型 【解题攻略】【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：1()2ADABAC=+222124AMABAB ACAC=+2.双余弦定理法（补角法）：如图设BDDC=，在ABDV中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB=+-，在ACD中，由余弦定理得2222cosACADDCADDCADC=+-，因为AMBAMC+=，所以coscos0ADBADC+=所以+式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等【典例【典例 1-1】在ABCV中，内角,A B C的对边分别为,3 sincos2,1a b c baAbA a-=，且AC边上的中线32BM=，则c=（）A3B7C1 或 2D2 或 3辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部 2021-2022 学年高三下学期考试数学试题更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-2】.在ABCV中，,E F分别是,AC AB的中点，且32ABAC=，若BEtCF恒成立，则t的最小值为（）A34B78C1D54 变式变式 1-1】在ABCV中，角ABC，的对边分别为abc，已知2 2c=，点P是AB的中点，若PCab=-，则ABCV面积的最大值为（）A3B3C2 3D12【变式【变式 1-2】在ABCD中，若3sin=2sin,点E,分别是AC,AB的中点，则的取值范围为A（14，78）B（13，78）C（14，67）D（13，67)【变式【变式 1-3】（2022河南郑州四中高三阶段练习（理）在等腰ABCV中，ABAC，若 AC 边上的中线 BD的长为 3，则ABCV的面积的最大值是（）A6B12C18D24题型题型 14 三角形重心型三角形重心型 【解题攻略】【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：1()2ADABAC=+222124AMABAB ACAC=+2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-1】.在钝角ABCV中，,a b c分别是ABCV的内角,A B C所对的边，点G是ABCV的重心，若AGBG，则cosC的取值范围是（）A60,3B46,53C6,13D4,15【典例【典例 1-2】（2024 秋福建福州高三福建省福清第一中学校考阶段练习）已知点 G 为三角形 ABC 的重心，且GAGBGAGB+=-，当C取最大值时，cosC=（）A45B35C25D15【变式【变式 1-1】（2023全国高三专题练习）在锐角ABCV中，a、b、c分别是ABCV的内角A、B、C所对的边，点G是ABCV的重心，若AGBG，则cosC的取值范围是（）A6,13B40,5C46,53D4,15【变式【变式 1-2】（2020 春天津高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知ABCD中，3,2,4,ABBCACG=为ABCD的重心，则AG GC=v vA6718B6718-C269D269-【变式【变式 1-3】（2023全国高三专题练习）锐角ABCV中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G为ABCV的重心，若AGBG，则cosC的取值范围为（）A32，53B45，6)3C65，)+D56，53题型题型 15 三角形外接圆三角形外接圆【解题攻略】【解题攻略】三角形所在的外接圆的处理方法：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：asin Absin Bcsin C2R，其中R为 外接圆半径【典例【典例 1-1】（2023 秋辽宁沈阳高三沈阳市第一二中学校考开学考试）在ABCV中，1AB=，2AC=，60BAC=，P是ABCV的外接圆上的一点，若APmABnAC=+，则mn+的最大值是（）A1B32C12D3【典例【典例 1-2】（2023全国高三专题练习）已知锐角ABCV满足2 3AB=，60C=且 O 为ABCV的外接圆圆心，若OCOAOBlm=+，则2lm-的取值范围为（）A(2,1)-B(1,2)-C 2,2)-D(2,2)-【变式【变式 1-1】（2022 春上海闵行高三上海市七宝中学校考）若O是ABCV外接圆圆心，A B C、是ABCV的更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君内角，若coscos2sinsinBCABACmAOCB+=，则实数m的值为（）A1Bsin ACcos ADtan A【变式【变式 1-2】（2023全国高三专题练习）设P为锐角ABCV的外心（三角形外接圆圆心），APk ABACk=+R 若2cos5=BAC，则k=（）A514B214C57D37【变式【变式 1-3】（2022 春北京高三校考期末）已知三角形ABC外接圆O的半径为 1(O为圆心)，且20OAABAC+=，2OAAB=，则CA BC 等于（）A154-B152-C154D152 高考练场高考练场1.（2021安徽安庆统考二模）在ABCV中，abc，分别是A，B，C的对边.若2bac=，且223abccac+=+，则A的大小是（）A6B3C23D562.在ABCV中，coscosbAaB=，则三角形的形状为（）A直角三角形B等边三角形C锐角三角形D等腰三角形陕西省西安市长安区 2022-2023 学年高三上学期数学试题3.在ABCV中，8,4,31abB=o，则此三角形的解的情况是（）A有两解B有一解C无解D有无数个解 4.（2023 春广东东莞高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且22234Sbca=+-，若4b=，3c=，则ABC 的外接圆直径为（）A2 13B393C26 33D2 3935.（2023 春云南高三云南师大附中校考阶段练习）在ABC 中，2AB=，且3coscoscos2ABAB+-+=，则三角形 ABC 的面积为 .6.（2023四川成都校联考二模）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为,a b csintantan2tantanABCBC+=，2a=，则bc=.7.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2sinsincos2sinABCC=，则222abc+=（）A5B4C3D2 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 3-3 解三角形压轴综合小题解三角形压轴综合小题 目录题型 01 边角互化求角.1题型 02 判断三角型形状.3题型 03 三角形几解判断.5题型 04 正余弦应用：求面积.6题型 05 正余弦应用：求长度.8题型 06 正余弦应用：比值型求值.11题型 07 最值型：角与对边互化面积型.13题型 08 最值型：周长边长范围.15题型 09 最值型：比值范围.18题型 10 最值型：余弦定理齐次式.20题型 11 最值型：正切.23题型 12 三角形角平分线型.25题型 13 三角形中线型.28题型 14 三角形重心型.32题型 15 三角形外接圆.36高考练场.39 题型题型 01 边角互化求角边角互化求角 【解题攻略】【解题攻略】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sinsinsinabcrABC=（r为ABCV外接圆半径）得2 sinarA=，2 sinbrB=，2 sincrC=；（2）角化边：利用正弦定理：sin2aAr=，sin2bBr=，sin2cCr=利用余弦定理：222cos2bcaAbc+-=辅助角公式辅助角公式更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君22222222222222222222a-+=1+sin+sc)in()csin+cos+sin+cos sosc(1+sinossinco,sin.+(2)+ss+ininos(+babababbabaabababbababbaa =正弦形式：cos其中：=余弦（形式：cosco；，s（）2222.)sin,cos+ababab=，其中：=【典例 1-1】（2022 下黑龙江哈尔滨高三校联考）在ABCV中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sinsinsinabCcbAB-=-+，则 A（）A6B3C23D3或23【答案】B【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.【详解】因为sinsinsinabCcbAB-=-+，由正弦定理得abccbab-=-+，整理得222bcabc+-=，由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc+-=，又因为0,A，所以3A=故选：B【典例【典例 1-2】（2021 下内蒙古赤峰高三校考阶段练习）在锐角ABCV中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若2 sinbaB=，则角A等于（）A30oB45oC60oD30o或150o【答案】A【详解】由正弦定理sinsinsinabcABC=和2 sinbaB=可得sin2sinsinBAB=.因为0,2B所以sin0B，所以1sin2A=，因为0,2A，所以A为30o.故选：A【变式【变式 1-1】（2023 上河南焦作高三石家庄市第九中学校考）在ABCV中，,ABC的对边分别为 a，b，c，若()()cos2cosbABcaB+-=，则B=（）A6B3C2D23【答案】B【分析】由正弦定理和正弦展开式再结合边化角计算得出.【详解】由题意可得()()()coscos cos2cosbABbCbCcaB+=-=-=-，所以2 cos=coscosaB cBbC+，由正弦定理可得2sin cossin cossin cosABCBBC=+，即2sin cossinsinABBCA=+=，因为 A 为三角形内角，sin0A，所以可得2cos1B，即1cos2B=，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君又0,B，所以3B=故选：B【变式【变式 1-2】（2023湖南校联考模拟预测）在ABCV中，3BC=，10sinsinsin3BCA+=，且ABCV的面积为1sin2A，则A=（）A6B4C3D23【答案】D【分析】先利用正弦定理角化边可得10bc+=，再由三角形面积公式可得1bc=，最后根据余弦定理求解即可.【详解】设ABC中角,A B C所对的边分别为,a b c，因为10sinsinsin3BCA+=，所以由正弦定理可得10103bca+=，又11sinsin22ABCSbcAA=V解得1bc=，所以由余弦定理可得22222210291cos2222bcbcabcaAbcbc+-+-=-，因为0,A，所以23A=，故选：D【变式【变式 1-3】（2023 上黑龙江佳木斯高三佳木斯一中校考阶段练习）在ABCV中，,a b c分别为角,A B C的对边，已知cos33,cos2BbCac=-，则cosB等于（）A12B32C12-D32-【答案】A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到2sincossincossincosABCBBC-=，再根据两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由cos3cos2BCac=-且3b=，可得(2)coscosacBbC-=，根据正弦定理得2sincossincossincosABCBBC-=，即2sincossincossincossin()sinABBCCBBCA=+=+=，因为(0,)A，可得sin0A，所以1cos2B=.故选：A.题型题型 02 判断三角型形状判断三角型形状 【解题攻略】【解题攻略】判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点sinA=sinBA=BABC 为等腰三角形 sinA=cosB2AB+=或2AB-=ABC 直角三角形或钝角三角形sin2A=sin2BA=B 或2AB+=ABC 为等腰三角形或钝角三角形cos2A=cos2BA=BABC 为等腰三角形更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君222abc+=cos0C=ABC 为直角三角形2220abc+-cos0C 或2220acb+-cos0B ABC 为钝角三角形或2220bca+-cos0A2220abc+-cos0C 且2220acb+-cos0B ABC 为锐角三角形且2220bca+-cos0A【典例【典例 1-1】在ABCV中，,a b c是三角形的三条边，若方程2222 sinsinsin0 xxCAB-+=有两个相等的实数根，则ABCV是（）A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D以上都有可能【答案】B【分析】方程有两个相等的实数根，则有0=，再利用正弦定理边角互化的应用可得222cab=+，从而可得三角形的形状.【详解】由题可知,方程2222 sinsinsin0 xxCAB-+=有两个相等的实数根，2224sin4 sinsin0CABD=-+=，222sinsinsinCAB=+，再由正弦定理可得222cab=+，ABCV是直角三角形.故选：B.【典例【典例 1-2】在ABCV中，已知sin()coscos()sin1ABBABB-+-，则ABCV是（）A直角三角形；B锐角三角形；C钝角三角形；D等边三角形【答案】A【分析】由两角和的正弦公式化简已知式后确定A角大小，判断三角形形状【详解】解：由已知sin()coscos()sinsin1ABBABBA-+-=，所以sin1A=，因为(0,)A，所以2A=，即三角形为直角三角形故选：A【变式【变式 1-1】在ABCV中，1 cosbcAc+=，则三角形的形状为（）A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C正三角形D等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到222cba=+，进而得到ABCV的形状为直角三角形.【详解】ABCV中，1 cosbcAc+=，则22212bcabcbcc+-+=，整理得222cba=+，则=90Co，则ABCV的形状为直角三角形，故选：A.【变式【变式 1-2】记ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2abcbcabc+-=，那么ABCV是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定【答案】B【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.【详解】在ABCV中，2222222abcbcabcabcabcbc+-=+-=+-+=，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君2220bca+-=，即222bca+=，则ABCV为直角三角形，故选：B.【变式【变式 1-3】在ABCV中，角,A B C的对边分别为,a b c，若22202cabab-，则ABCV一定是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形【答案】C【分析】利用余弦定理求解.【详解】解：因为22202cabab-，所以222cos02abcCab+-=,则,2C，所以ABCV一定是钝角三角形，故选：C题型题型 03 三角形几解判断三角形几解判断 【解题攻略】【解题攻略】判断三角形解的个数有 2 种：画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。若无交点，则无解；若有一个交点，则有一个解；若有两个交点，则有两个解；若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。公式法：运用正弦定理进行求解。absinA，0，则一个解；absinA，0，则两个解；absinA，0，则无解。【典例【典例 1-1】在ABCV中，20,10,32abB=，则此三角形的解的情况是（）A有两解B有一解C有无数个解D无解【答案】D【分析】作出示意图，先确定边 a 和角 B，然后算出 C 到 AB 的距离即可解得.【详解】如图