专题2-6 导数大题证明不等式归类（16题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）含答案.pdf

更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 2-6 导数大题证明不等式归类导数大题证明不等式归类 目录题型 01 不等式证明方法.1题型 02 单变量构造：利用第一问结论.2题型 03 单变量构造：数列型.3题型 04 数列不等式：无限和裂项型.4题型 05 数列不等式：累积相消型.5题型 06 数列不等式：取对数型.6题型 07 虚设根型证不等式.6题型 08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式.7题型 09 同构型不等式证明.8题型 10 双变量型构造.9题型 11 极值点偏移型：和型证明.10题型 12 极值点偏移型：积型证明.11题型 13 极值点偏移型：平方型证明.12题型 14 三角函数型不等式证明.12题型 15 韦达定理代换型.13题型 16 切线放缩型证明.14高考练场.14题型题型 01 不等式证明方法不等式证明方法【解题攻略】【解题攻略】利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x（或 0f xg x-），进而构造辅助函数 h xf xg x=-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数 h x；(3)利用导数研究 h x的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题【典例【典例 1-1】（】（陕西省澄城县 20121-2022 学年高三试数学（理）试题）设函数()ln1f xxx=-+(1)讨论()f x的单调性；(2)证明：当(1,)x+时，11lnxx-时，()34f xx-.【变式【变式 1-1】（】（湖南省三湘名校教育联盟 2021-2022 学年高三数学试题）已知函数 exf xaxb=+，曲线 yf x=在点 0,0f处的切线方程为yab=-(1)求 a，b 的值；(2)证明：0f x【变式【变式 1-2】（】（湖北省华中师范大学潜江附属中学 2021-2022 学年高三 4 月数学试题）已知函数 f（x）ax33lnx.(1)若 a1，证明：f（x）1；(2)讨论 f（x）的单调性.【变式【变式 1-3】（2022云南昆明统考模拟预测）已知函数()sinf xxx=-，,()0 x+(1)求曲线()yf x=在点(,()22f处的切线方程；(2)证明：2e()cose1xxf xx+题型题型 02 单变量构造：利用第一问结论单变量构造：利用第一问结论 【解题攻略】【解题攻略】一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）【典例【典例 1-1】（2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数21()1ln2f xxx=-.(1)求 f x的最小值；(2)证明：47ln332.【典例【典例 1-2】（2021 下北京丰台高三统考）已知函数()e1xf xabx=+在0 x=处有极值 2（）求a，b的值；（）证明：()ef xxx-【变式【变式 1-1】（2021四川四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数 222lnxfxxx eaexex=-+-，其中e为自然对数的底数，曲线 yf x=在 22f,处切线的倾斜角的正切值为2322ee+（1）求a的值；（2）证明：0f x【变式【变式 1-2】（2022 下山东聊城高三练习）已知函数()lnf xxx=.(1)讨论()yf x=的单调性并求极值；(2)证明：当1x 时，2ln(1)lnln(2)xxx+.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【变式【变式 1-3】（20122 安徽马鞍山统考模拟）已知函数 e,Rxaf xax-=.(1)若 f x在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；(2)求证：当1,0ax0时，1f x 恒成立.题型题型 03 单变量构造：数列型单变量构造：数列型 【解题攻略】【解题攻略】数列型不等式证明1.对于nN型数列不等式证明，可以转化为定义域为X1,在实数范围内证明不等式。2.一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意对应换元的取值范围3.数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明【典例【典例 1-1】（2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 11(0)xf xxx=+(1)证明：ef x；(2)讨论 f x的单调性，并证明：当*nN时，21 ln1ln1 ln2nnnnnn+-都成立【变式【变式 1-1】2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设函数 1ln1f xaxxbx=-+-，其中a和b是实数，曲线 yf x=恒与x轴相切于坐标原点 1求常数b的值；2当01x时，关于x的不等式 0f x 恒成立，求实数a的取值范围；3求证：10000.41000.5100011001100001000e.【变式【变式 1-3】（2017 下黑龙江大庆高三大庆中学校已知函数1()lnxf xxax-=+；(1)若函数()f x在1,)+上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)当1a=时，求函数()f x在1,22上的最值；(3)当1a=时，对大于 1 的任意正整数n，试比较ln1nn-与1n的大小关系更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 04 数列不等式：无限和裂项型数列不等式：无限和裂项型【解题攻略】【解题攻略】证明不等式 12fff ng n+L，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即 112232110g ng ng ng ng ng ng ngggg=-+-+-+-+-L这样一来，设 1nbg ng n=-*nN，则只需证 1212nfff nbbb+LL，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出 nf nb+L【典例【典例 1-2】（2023全国高三专题练习）已知函数2()2 lnf xaxxa=-+，Ra(1)讨论函数 f x的单调性；(2)证明:*11112ln1(2341)nnn+NL【变式【变式 1-1】（2023 上浙江高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数 ln,(R)f xaxxx a=-）.(1)讨论 f x的单调性；(2)若1x 时，1f x -，求实数a的取值范围；(3)对任意*Nn，证明：123ln12341nnnn+L.【变式【变式 1-2】（2023 上福建厦门高三厦门市湖滨中学校考期中）已知函数 ln,xf xkx g xx=.(1)若不等式 f xg x在区间0,+内恒成立，求实数k的取值范围；(2)求证：444ln2ln3ln1.232enn+，lnlng xxmfx=+，求证：0g x；(3)证明：*111ln515nnnn+NL更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 05 数列不等式：累积相消型数列不等式：累积相消型 【解题攻略】【解题攻略】累加列项相消证明法证明不等式 12fff ng nL为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型 121121g ng ngg ngg ng ng-=-L这样一来，设 1ng nbg n=-*nN，则只需证 1212nfff nbbb+LL，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出 nf nb恒成立，则原不等式也就成立.【典例【典例 1-1】（2022 贵州铜仁高三贵州省铜仁第一中学阶段练习）已知函数 f(x)aln xax3(aR)(1)若 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为 45，对于任意的 t1,2，函数 g(x)x3x2()mfxn+()fx是 f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求 m 的取值范围；(3)求证：ln2ln3ln4234lnnn1n(n2，nN*)【典例【典例 1-2】（2023全国高三专题练习）已知函数 ln1f xaxx=+-(1)若 0f x，求a的值；(2)证明：当n+N且2n 时，2222ln2ln3ln4ln1234nnn+2,nn+N.【变式【变式 1-2】（2023全国高三专题练习）设整数1p，*Nn，1x -且0 x，函数 11pf xxpx=+-(1)求证：0f x；(2)求证：111111112113521nn+-【变式【变式 1-3】（2022全国高三专题练习）已知函数 lnf xxx=，22a xxg x-=.(1)若 f xg x在1,+上恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：22212111e111nnnn+L.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 06 数列不等式：取对数型数列不等式：取对数型 【解题攻略】【解题攻略】取对数型证明不等式 12tfff n L为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型 ln12lntln1ln2ln3ln2lntfff nffffLL（）（）+（）+（）+（）【典例【典例 1-1】（2023全国高三专题练习）已知函数 ln 1f xx=+(1)求证：当0,x+时，1xf xxx+；(2)已知 e 为自然对数的底数，求证：*Nn，22212e111ennnn+【典例【典例 1-2】（2023全国高三专题练习）已知函数()sincos(0)f xxxx x=-(1)求函数()f x的图象在,12处的切线方程；(2)若任意,()0 x+，不等式3()f xax恒成立，求实数a的取值范围；(3)设23()()g xf xx=，证明：2111111e333nggg+【变式【变式 1-1】（2023 上江苏淮安高三金湖中学校联考）已知函数 lnf xaxax=-(1)求曲线 yf x=在点 1,1f处的切线方程；(2)证明：当1a=时，0f x；(3)设m为整数，若对于21*231222,11113333nnnm-+NL成立，求m的最小值【变式【变式 1-2】（2023全国高三专题练习）已知关于x的函数 ln1ln2.f xaxx=-+（1）讨论 f x的单调性；（2）证明：当*nN时，2ln 1 2 3ln2.nnn ，2()2xf xxx+e【典例【典例 1-2】（20122浙江模拟预测）已知函数2()(2)ln()f xxaxax aR=-(1)求函数()yf x=的单调区间；(2)当1a=时，证明：对任意的0 x，2()2xf xxx+e【变式【变式 1-1】（2023 上福建福州高三校联考）设函数2()elnxf xax=-(1)求ea=时，()f x的单调区间；(2)求证：当0a 时，2()2lnf xaaa+【变式【变式 1-2】（2024 上陕西安康高三校联考阶段练习）已知函数 ln4,f xxa xa=-R.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)当1a=时，令 2 exF xxf x=-，若0 xx=为 F x的极大值点，证明：001F x.【变式【变式 1-3】（2023 上重庆沙坪坝高三重庆一中校考阶段练习）已知函数 lnf xaxx x=+,Ra.(1)判断 f x的单调性;(2)若1,01ax=xf，若可将不等式左端)(xf拆成)()(xhxg，且)()(maxminxhxg的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取)(xg为上凸型函数，)(xh为下凹型函数来完成证明.【典例【典例 1-1】（2023 上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第十三中学校校考）已知函数 ln,Rmf xx mx=+.(1)讨论 f x的单调性；xyy=h(x)y=g(x)O更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2)证明：当0m 时，21mf xm-.【典例【典例 1-2】已知函数()()xf xexm mR=-（1）当0 x 时，()0f x 恒成立，求m的取值范围；（2）当1m=-时，证明：21()()1xxlnxf xee-【变式【变式 1-1】（2021 上全国高三校联考阶段练习）已知()lnf xxax=+，aR（）讨论()f x的单调性；（）若1a -，证明：()1f x-【变式【变式 1-3】已知函数 f（x）ax2xlnx（I）若 f（x）在区间（0，+）内单调递增，求 a 的取值范围；（）若 ae（e 为自然对数的底数），证明：当 x0 时，f（x）xex+题型题型 09 同构型不等式证明同构型不等式证明【解题攻略】【解题攻略】常见同构技巧：lnxlnx+xlnxllnnx-xx2.xeeeexe3.eee4.xlnxlnelnx=ln xeex lnx lnelnxlnx1.xlne=exxxxxxxxx=+=+=-指（“无中生有”公式，原理公对变形同构（）5式）.-=更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君1111lnx111lnx1lnxlnxxlnxelnxxx113.lnxxlnxelnx4.xlnxelnxx5.xexee1xe.xee6xxxxxxx-=-=-=-=-=-常见指对同构函数式子：21、（同构函数基（础）.（）【典例【典例 1-1】（2023全国高三专题练习）已知 12exf xx+=-，lnaxxg xx+=，Ra(1)当1,x+时，求函数 g x的极值；(2)当0a=时，求证：f xg x【典例【典例 1-2】（2023 上安徽马鞍山高三马鞍山二中校考阶段练习）已知函数3e()1xf xx=-，e2.71828=L为自然对数的底数.(1)试判断函数()f x的零点个数并说明理由；(2)证明：()f x 3lnxx-.【变式【变式 1-1】（2023四川遂宁统考模拟预测）设3()exf xax=-，2()3lnh xxxx=-，(1)试讨论()f x的单调性；(2)当1a 时，证明()()f xh x恒成立.【变式【变式 1-2】已知 12exf xx+=-，lnaxxg xx+=，Ra(1)当1,x+时，求函数 g x的极值；(2)当0a=时，求证：f xg x题型题型 10 双变量型构造双变量型构造 【典例【典例 1-1】（2022 贵州黔东南统考一模）已知函数ln()(0)xf xmmx=.(1)试讨论函数()f x的单调性；(2)对,e,a b+，且ab.【典例【典例 1-2】（2023 上四川内江高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 Rln11xaf xxax-=-+(1)求函数 f x的单调区间；(2)已知 m，n 是正整数，且1mn+【变式【变式 1-1】（2022全国高三专题练习）已知函数 1 ln1xg xx+=-（1）求 g x的单调区间；（2）当11emn时，试证明1ln1lnnnmm+，求证：lnln2mnmnmn-+【变式【变式 1-3】（2022全国高三专题练习）已知函数 1ln1a xf xxx-=-+.（1）若函数 f x在0,+上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设,Rm n，且mn，求证lnln2mnmnmn-+-.题型题型 11 极值点偏移型：和型证明极值点偏移型：和型证明【解题攻略】【解题攻略】极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：1.零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。2.零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。3.将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理【典例【典例 1-1】（2023四川成都成都七中校考模拟预测）已知函数 22ee=-+xf xaxx有两个极值点1x，212xxx(1)求实数 a 的取值范围；(2)证明：122ln2xxa+.【变式【变式 1-1】（2023江西统考模拟预测）已知函数()exmf xx=+(1)讨论()f x的单调性；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2)若12xx，且122f xf x=，证明：0em，且122xx+题型题型 12 极值点偏移型：积型证明极值点偏移型：积型证明 【解题攻略】【解题攻略】处理极值点偏移问题中的类似于1212x xa f xf x=的问题的基本步骤如下：求导确定 f x的单调性，得到12,x x的范围；构造函数 aF xf xfx=-，求导可得 F x恒正或恒负；得到 1f x与1afx的大小关系后，将 1f x置换为2f x；根据2x与1ax的范围，结合 f x的单调性，可得2x与1ax的大小关系，由此证得结论.【典例【典例 1-1】（2023 上河南高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数21()(21)2ln(R)2f xaxaxx a=-+.(1)若()f x有唯一极值，求a的取值范围；(2)当0a 时，若12()()f xf x=，12xx，求证：124x x.【典例【典例 1-2】（2023 上陕西汉中高三西乡县第一中学校联考）已知函数 exf xx=，lng xxx=-.(1)求函数 g x的极值；(2)若 h xf xg x=-，求函数 h x的最小值；(3)若 h xa=有两个零点1x，2x，证明：121x x，证明：1228ex x【变式【变式 1-2】（2023 上江苏连云港高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数 21ln12f xxaxax a=+-+R.(1)当1a=时，求函数 yf x=的零点个数.(2)若关于x的方程 212f xax=有两个不同实根12,x x，求实数a的取值范围并证明212xxe.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 13 极值点偏移型：平方型证明极值点偏移型：平方型证明 【典例【典例 1-1】（2023 下辽宁高三统考）已知函数 ln1xf xax+=.(1)讨论 f x的单调性；(2)若2112eexxxx=（e 是自然对数的底数），且1 0 x，20 x，12xx，证明：22122xx+.【典例【典例 1-2】（2023广东广州广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数 2lnf xxax=-.(1)讨论函数 f x的单调性：(2)若12,x x是方程 0f x=的两不等实根，求证：22122exx+；【变式【变式 1-1】（2023山西校联考模拟预测）已知函数 ln xf xaxx=-.(1)若 1fx -，求实数a的取值范围；(2)若 f x有 2 个不同的零点12,x x（12xx.【变式【变式 1-2】（2023 上云南高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数 1lnxf xax+=，0a(1)若 1f x，求a的取值范围；(2)证明：若存在1x，2x，使得 12f xf x=，则22122xx+题型题型 14 三角函数型不等式证明三角函数型不等式证明【解题攻略】【解题攻略】1.利用导数证明三角函数型不等式2.正余弦的有界性3.三角函数与函数的重要放缩公式：sin0 xx x.【典例【典例 1-1】（2023全国高三专题练习）已知函数 e1xf xx=-.(1)证明：0f x；(2)当1m 时，证明不等式ecos20 xmxx-+-，在0,x+上恒成立.【典例【典例 1-2】（2023四川资阳统考模拟预测）已知函数 31f xxax=-+(1)当1a=时，过点1,0作曲线 yf x=的切线 l，求 l 的方程；(2)当0a 时，对于任意0 x，证明：cosf xx【变式【变式 1-1】（2022新疆统考三模）已知函数()sincosf xxaxx=-，aR更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(1)若()f x在0 x=处的切线为yx=，求实数 a 的值；(2)当13a，0,)x+时，求证：2.f xax【变式【变式 1-2】设函数()e cosxf xx=，2cos()exaxg x=，0,3x.(1)求 f x的最小值，并证明：12e2；(2)若不等式：3()2exg x-成立，求实数 a 的取值范围.题型题型 15 韦达定理代换型韦达定理代换型【解题攻略】【解题攻略】利用韦达定理证明不等式1.题干条件大多数是与函数额极值 x1，x2 有关。2.利用韦达定理代换：可以消去参数【典例 1-1】已知函数 2lnf xxxax aR=+-.（1）求函数 f x的单调区间；（2）设 f x存在两个极值点12,x x，且12xx，若1102x-.【典例 1-2】已知函数 f（x）ln xax2x.（1）若 a1，求函数 f（x）的极值；（2）设 f（x）为 f（x）的导函数，若 x1，x2是函数 f（x）的两个不相等的零点，求证：f（x1）f（x2）x1x25【变式 1-1】已知函数 1n)l(f xxax ax=-R，（1）求曲线 yf x=在点1(,)ee-处的切线与坐标轴围成三角形的面积（2）fx是 f x的导函数，若函数 22lng xxfxaxx=-+有两个极值点12,x x，且120 xxe，求证：212214g xg xee+更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 16 切线放缩型证明切线放缩型证明 【解题攻略】【解题攻略】常用的切线放缩有：（1）1xex+；（2）xeex；（3）11ln1xxx-；（4）lnxxe.【典例【典例 1-1】(2023青岛模拟改编)已知 x1ln x1x2ln x2a，且 x1x2，求证：x2x12a1e2.求证：|ab|且1x 时，证明：曲线()yf x=的图象恒在切线1ybx=+的上方；（3）证明：不等式：13432ln0 xxexxx-.【变式【变式 1-1】已知函数 f(x)4ex1ax2，曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 ybx1.(1)求实数 a，b 的值；(2)x0 且 x1 时，证明：曲线 yf(x)的图象恒在切线 ybx1 的上方；(3)证明不等式：4xex1x33x2ln x0.【变式【变式 1-2】（2013新课标 II 卷）已知函数 lnxf xexm=-+（1）设0 x=是 f x的极值点，求 m 并讨论 f x的单调性；（2）当2m 时，证明：0f x 高考练场高考练场1.2021福建莆田统考二模）设函数()2cos,xf xeax a=+R更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（1）若()f x在0,2上存在零点，求实数a的取值范围；（2）证明：当1,2,0,2ax时，()23f xx+2.2024河南模拟预测）已知函数2()(1)lnf xxaxax=+.(1)讨论()f x的单调性；(2)证明：当a-.4.（2023全国高三专题练习）设函数 2ln,0,f xxa xa xaafx=-+R是函数 f x的导函数.(1)讨论 f x的单调性；(2)若0a，且 110ff+=，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？(3)利用（2）中的不等式证明：*222231.ln112nnnn+N.5.（2022全国高三专题练习）已知函数 1ln1a xf xxaRx-=-+(1)若函数 f x在定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；(2)求证：481245ln2ln3ln4ln(1)nn nn+时，证明：0f x 恒成立；(2)当0a=时，证明：*111111eN1 22 31nn n+L7.（2020四川绵阳统考模拟预测）已知函数()ln()xf xeax aR=+（1）当1a=时，求曲线()yf x=在(1,(1)f处的切线方程；（2）设0 x是()f x的导函数()fx的零点，若ea-.8.（天津市红桥区 2021-2022 学年高三数学试题）已知 lnf xxx=，23g xxax=-+-.（1）求函数 f x的单调区间；（2）对一切0,x+，2 fxg x恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）证明：对一切0,x+，都有12lnxxeex-成立.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君9.（辽宁省五校（辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连 24 中）2021-2022 学年高三考试数学试题）材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数 0 xf xxx=，我 们 可 以 作 变 形：lnlneeelnxxxxxtf xxtxx=，所 以 f x可 看 作 是 由 函 数 etf t=和 lng xxx=复合而成的，即 0 xf xxx=为初等函数，根据以上材料：（1）直接写出初等函数 0 xf xxx=极值点（2）对于初等函数 20 xh xxx=，有且仅有两个不相等实数1212,0 x xxx满足：12ekh xh x=.（i）求k的取值范围.（ii）求证：2e2e2e21exx-（注：题中e为自然对数的底数，即e2.71828=L）10.（2023 上天津和平高三天津一中校考阶段练习）已知函数 232ln xf xxa=-，a 为实数(1)当23a=时，求函数在1x=处的切线方程；(2)求函数 f x的单调区间；(3)若函数 f x在ex=处取得极值，fx是函数 f x的导函数，且 12fxfx=，12xx，证明：122exx+有 0f x 恒成立，求a的取值范围；(3)当0a 时，若 12f xf x=，求证：121x x(1)已知 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为1yx=-，求实数 a 的值；(2)已知 f（x）在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围.(3)已知 ag xf xx=+有两个零点1x，2x，求实数 a 的取值范围并证明212ex x.13.（2021福建高三统考阶段练习）已知函数 1ln xf xax+=(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若2112eexxxx=，且121200 xxxx，证明:22122xx+.14.（广西桂林市国龙外国语学校 2021-2022 学年高三考试数学试题）已知函数 ecos.xf xax a-=+R(1)若函数 f x在02-，上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)当1a=-时，0 x为 f x在0,上的零点，求证：000012esincosxxxx（或 f xg x（或 0f xg x-），进而构造辅助函数 h xf xg x=-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数 h x；(3)利用导数研究 h x的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题【典例【典例 1-1】（】（陕西省澄城县 20121-2022 学年高三试数学（理）试题）设函数()ln1f xxx=-+(1)讨论()f x的单调性；(2)证明：当(1,)x+时，11lnxx-【答案】(1)f(x)的增区间为0,1，减区间为1,+.(2)证明见解析更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【分析】（1）求出导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）运用（1）的单调性，当1,x+时，可得 10f xf，可得01x；0fx，即有 f(x)的增区间为0,1，减区间为1,+.（2）当1,x+时，由（1）可得()ln1f xxx=-+在1,+递减，可得 10f xf=，即有0ln1xx-.故有：11lnxx-时，()34f xx-.【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1，),单调减区间为(0，1)；(2)见解析.【分析】()明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；()作差构造新函数，研究函数的最值即可.【详解】(1)依题意知函数的定义域为x|x0，f(x)2x-2=2(1)(1)xxx+-，由 f(x)0，得 x1;由 f(x)0，得 0 x2 时，g(x)0，g(x)在(2，)上为增函数，g(x)g(2)4-2ln2-6+40，当 x2 时，x2-2lnx3x-4,即当 x2 时()34f xx-.【变式【变式 1-1】（】（湖南省三湘名校教育联盟 2021-2022 学年高三数学试题）已知函数 exf xaxb=+，曲线 yf x=在点 0,0f处的切线方程为yab=-(1)求 a，b 的值；(2)证明：0f x【答案】(1)1a=-，1b=-；(2)证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义，结合 0f 0=，0fab=-，解方程组即可；（2）根据（1）中所求 f x，利用导数判断函数单调性，求得最小值，即可证明.(1)exf xaxb=+，exfxa=+，曲线 yf x=在点 0,0f处的切线方程为yab=-，01001fafbab=+=+=-，解得1a=-，1b=-(2)由（1）知 e1xf xx=-，e1xfx=-，当0 x 时，0fx时，0fx，f x为增函数，f x的最小值为 00f=，0f x，即证.【变式【变式 1-2】（】（湖北省华中师范大学潜江附属中学 2021-2022 学年高三 4 月数学试题）已知函数 f（x）ax33lnx.(1)若 a1，证明：f（x）1；(2)讨论 f（x）的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）对 f（x）求导，利用导数求出 f（x）的最小值，即可得证；（2）对 f（x）求导，对 a 分类讨论，由导数与单调性的关系即可解出.(1)更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君若 a1，则 f（x）x33lnx，x0，3233(1)()3xfxxxx-=-=，令 f（x）0，可得 x1，当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，所以 f（x）在 x1 处取得极小值，也是最小值，最小值为 f（1）1，故 f（x）1.(2)f（x）ax33lnx，x0，32333()3axfxaxxx-=-=（x0），当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，令 f（x）0，得 x31a，令 f（x）0，得 0 x31a，所以 f（x）在（0，31a）上单调递减，在（31a，+）上单调递增.综上，当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，f（x）在（0，31a）上单调递减，在（31a，+）上单调递增.【变式【变式 1-3】（2022云南昆明统考模拟预测）已知函数()sinf xxx=-，,()0 x+(1)求曲线()yf x=在点(,()22f处的切线方程；(2)证明：2e()cose1xxf xx+【答案】(1)10 xy-=(2)证明见解析【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）构造函数()(22sincos)exg xxxx=-+，利用导数判断 g x的单调性，从而证得不等式成立.【详解】（1）()1 cosfxx=-，()12f=，()122f=-，故曲线()yf x=在点(,()22f处的切线方程为122yx-=-.即10 xy-=（2）设()(22sincos)exg xxxx=-+，则()(22sincos)e(22cossin)exxg xxxxxx=-+-2(sin)22sin()e4xxxx=-+-+由（1）知sinxx，又22sin()04x-+，所以()0g x，所以()g x在(0,)+上单调递增，故()(0)1g xg=，所以，(0,)+x，2e()cose1xxf xx+题型题型 02 单变量构造：利用第一问结论单变量构造：利用第一问结论 【解题攻略】【解题攻略】一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【典例【典例 1-1】（2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数21()1ln2f xxx=-.(1)求 f x的最小值；(2)证明：47ln332.【答案】(1)0(2)证明过程见解析【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可；（2）利用（1）的结果，取特殊值代入进行证明即可.【详解】（1）显然该函数的定义域为全体正实数，由 21111()1ln2xxf xxxfxxxx+-=-=-=，当1x 时，()0fx，所以函数 f x单调递增，当01x时，0fx-，即211ln102xxx-，当34x=时，211347ln1ln3243324-.【典例【典例 1-2】（2021 下北京丰台高三统考）已知函数()e1xf xabx=+在0 x=处有极值 2（）求a，b的值；（）证明：()ef xxx-【答案】（）1,1ab=-；（）证明见解析.【分析】（）求出导函数()fx，由(0)0f=且(0)2f=求得,a b，并检验 0 是极值点；（）不等式化为1e0exx-+，引入函数()ee1xg xx=-+，由导数求得()g x的最小值，最小值大于 0，从而证得不等式成立【详解】（）解：由已知，()exfxab=+，则00(0)e0,(0)e0 12.fabfab=+=+=解得，1,1.ab=-经检验，1,1ab=-符合题意.（）证明：由（）可知，()e1xf xx=-+要证()ef xxx-，只需证e1exxxx-+-即1e0exx-+令()ee1xg xx=-+，则e()exg x=-令()0g x=，解得1x=()g x，()g x的变化情况如下表所示x(,1)-1(1,)+()g x0+()g x单调递减1单调递增所以，1x=时，()g x有最小值1(1)ee 1 110g=-+=故()ef xxx-成立【变式【变式 1-1】（2021四川四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数 222lnxfxxx eaexex=-+-，其中e为自然对数的底数，曲线 yf x=在 22f,处切线的倾斜角的正切值为2322ee+（1）求a的值；（2）证明：0f x【答案】（1）2a=；（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证 2222ln0 xf xxx eexex=-+-，即12ln2xxxeex-+，构造函数 222xg xxee-=-+，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 ln xh xx=，利用导数说明其单调性与最值，即可得到 g xh x，从而得证；【详解】解：（1）因为 222lnxfxxx eaexex=-+-，所以 222xefxxeaex=-+-，22332222eefaee=+=+，解得2a=（2）由（1）可得 2222lnxf xxx eexex=-+-即证 2212ln22ln02xxxfxxx eexexxeex-=-+-+令 222xg xxee-=-+，21xg xxe-=-，于是 g x在0,1上是减函数，在1,+上是增函数，所以 11g xge=（1x=取等号）又令 ln xh xx=，则 21 ln xh xx-=，于是 h x在0,e上是增函数，在,e+上是减函数，所以 1h xh ee=（xe=时取等号）所以 g xh x，即 0f x【变式【变式 1-2】（2022 下山东聊城高三练习）已知函数()lnf xxx=.(1)讨论()yf x=的单调性并求极值；(2)证明：当1x 时，2ln(1)lnln(2)xxx+.【答案】(1)yf x=在10,e单调递减，1,e+单调递增.极小值为1e-,无极大值；(2)见解析【分析】(1)求出 ln1fxx=+，明确单调性，从而得到函数的极值；(2)要证当1x 时，2ln1lnln2xx