江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（解析版）.docx

南京市金陵汇文学校2021-2022学年第一学期九年级（上）期末试卷数学一、选择题（本大题共6小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1. 若a是的一个根，则的值是（ ）A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023【答案】C【解析】【分析】把代入方程求出，把它代入计算即可求出值【详解】解：把代入方程得：，即，则原式，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值2. 一元二次方程的根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根【答案】D【解析】【分析】整理后得出，求出，再根据根的判别式的内容得出答案即可【详解】解：，整理，得，方程有两个相等的实数根，故选：D【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容3. 平面内，O的半径为3，若点P在O外，则OP的长可能为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系得出OP3即可【详解】解：O的半径为3，点P在O外，OP3，故选：A【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设平面内的点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外dr，点在圆上d=r，点在圆内dr4. 下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）A. 正方体集装箱的体积，棱长xmB. 小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykmC. 妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D. 高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm【答案】D【解析】【分析】根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数【详解】A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意故选：D【点睛】本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键5. 如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，若的周长为6，则的周长等于（ ）A. 24B. 18C. 12D. 9【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可得，利用其性质，相似三角形的周长比等于相似比即可得出【详解】解：，故选：B【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键6. 平面直角坐标系内，已知点，当时，若最大，则t的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，利用圆周角定理和三角形外角性质可证得ACB最大，过M作MNAB于N，根据垂径定理证得AN=BN=AB，可证明四边形MNOC为矩形，则有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答【详解】解：过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，如图，则ADB=ACB，ADB是ADC1的外角，ADBAC1B，ACBAC1B，即ACB就是所求的最大角，过M作MNAB于N，连接MC、MA，则MA=MC，AN=BN=AB，MCy轴，四边形MNOC为矩形， MC=ON，OC=MN，t0，AB=4，OC=t，OA=1，AN=AB=2，MC=ON=OA+AN=3，在RtAMN中，MA=MC =3，由勾股定理得：，OC=MN=，即t=，故选：C【点睛】本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时ACB最大是解答的关键二、填空题（本大题共10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 若，则_【答案】【解析】【分析】由，设 则 再代入求值即可.【详解】解： ，设 则 故答案为：【点睛】本题考查的是比例的性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解本题的关键.8. 点C是线段AB的黄金分割点，若，则_cm【答案】#【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可【详解】解：点是线段的黄金分割点，而，故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中9. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为_【答案】4.86（1+x）2=6【解析】【分析】根据等量关系：增产前产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6，故答案为：4.86（1+x）2=6【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键10. 已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是_【答案】3【解析】【详解】圆锥的底面圆半径是1，圆锥的底面圆的周长=2，则圆锥的侧面积=×2×3=3，故答案为311. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的新图象函数的表达式为_【答案】【解析】【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可【详解】解：将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的新图像函数的表达式为，故答案为：【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键12. 有3个样本如下图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：样本1与样本3的离散程度相同；样本2的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本1正确的序号为_【答案】#【解析】【分析】根据离散程度的定义一一判断即可【详解】解：样本2的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本1故正确，样本1的离散程度比样本3的离散程度大，故错误，故答案为：【点睛】本题考查了样本的离散程度，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题13. 如图，AB是O的直径，弦于点E，若，则OA长为_【答案】3.4【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理可得，然后设，则OE=BE-OB=5-r，在中，利用勾股定理求解即可得利用垂径定理，勾股定理解决问题即可【详解】解：连接OC，设，则OE=BE-OB=5-r，在中，解得：r=3.4，故答案为：3.4【点睛】题目主要考查垂径定理及勾股定理的应用，学会利用参数构建方程解决问题是解题关键14. 分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其阴影面积三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积，求出即可【详解】解：过作于，是等边三角形，的面积为，阴影部分的面积，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，解题的关键是能根据图形得出阴影部分的面积三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积15. 如图，在中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若，则BC的长为_【答案】【解析】【分析】取BC的中点F，连接DF、EF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得DF=EF=BC，根据等腰三角形的判定与性质和三角形的内角和定理可证得AEF为等腰直角三角形，利用勾股定理求解DF即可【详解】解：取BC的中点F，连接DF、EF，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BDC=CEB=90°，DF=EF=BC， ACB=CDF，ABC=BEF，DFC=180°2ACB，BFE=180°2ABC，又BAC=45°，DFC+BFE=360°2（ACB+ABC）=360°2（180°BAC）=90°，DFE=90°，在RtDEF中，DF=EF，DE=2，由勾股定理得：DF2+EF2=DE2，即2DF2=2，DF= ，BC=2DF=，故答案为：【点睛】本题考查三角形的高、直角三角形的斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键16. 中，点I是的内心，点O是的外心，则_【答案】14.3【解析】【分析】如图，过点A作交于点D，由等腰三角形得点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，根据勾股定理求出，则，由勾股定理求出R的值，证明由相似三角形的性质得，求出r的值，即可计算【详解】如图，过点A作交于点D，是等腰三角形，点I是的内心，点O是的外心，点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，在中，在中，解得：，即， 解得：，故答案为：14.3【点睛】本题考查内切圆与外接圆，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握内切圆的圆心为三角形三条角平分线的交点，外接圆圆心为三角形三条垂直平分线的交点是解题的关键三、解答题（本大题共11小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列一元二次方程：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用直接开方法求解【小问1详解】解：，解得：；【小问2详解】解：，解得：【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握常见的解法：如公式法、因式分解法、配方法18. 已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x0123y00（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是_【答案】（1）二次函数的表达式为： ； （2）【解析】【分析】（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定；（2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式小问1详解】解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，把代入得，-3=a(0-1)2-4，即 ；【小问2详解】解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同， 设二次函数的表达式为，在y轴上且在函数图象上，将其代入函数表达式为：，解得：，关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为，故答案为：【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键19. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度【答案】【解析】【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度【详解】解：，即，解得，即窗户的高度为：【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题20. 近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人）：时间周一周二周三周四周五周六周日人数65055071042065023203100（1）该周到馆人数的平均数为_人，众数为_人，中位数为_人；（2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？（3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按30天计）【答案】（1）1200，650，650； （2）不合适，理由见解析； （3）36000人【解析】【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的求法解答即可；（2）根据表格中的数据解答即可；（3）可利用平均数求解即可【小问1详解】解：平均数为（650+550+710+420+650+2320+3100）÷7=1200（人），众数为650人，将七个数据从小到大顺序排列：420，550，650，650，710，2320，3100，则中位数为650人，故答案为：1200，650，650；【小问2详解】解：周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数不合适，因为该图书馆周六、周日到馆人数明显高于其他五天的人数，所以去掉周六、周天到馆人数对平均数影响较大，故用这前五天的数据估算该周的平均数不合适；【小问3详解】解：用该周到馆人数的平均数1200人估算该校一个月的到馆人数，则该校一个月的到馆人数为1200×30=36000人【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、用样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的特点，并会求解是解答的关键21. “三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划（假定生男生女的概率相同）：（1）甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩概率是_；（2）乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解【小问1详解】解：第三个孩子是男孩的概率；故答案为；【小问2详解】解：画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中至少有两个孩子是女孩的结果数为4，所以至少有一个孩子是女孩的概率【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率22. 已知关于x的一元二次方程ax2bxc0（a、b、c是常数，a0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1x2，x1·x2【答案】见解析【解析】【分析】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可得证【详解】证明：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a0）的两个实数根分别为x1，x2，当b2-4ac0时，则【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根是x1，x2，则有，23. 图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（1）求拱桥所在抛物线的函数表达式；（2）因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得【小问1详解】解：设抛物线的解析式为，将点、代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为；【小问2详解】当时，即，解得：，则水面的宽为【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式24. 定义：我们把三边之比为的三角形叫做奇妙三角形（1）初步运用：如图是的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图、图中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；所画三角形中最大内角度数为_°（2）再思探究：如图，点A为坐标原点，点C坐标，点D坐标，在坐标平面上取一点，使得AB平分，直接写出m的值并说明理由【答案】（1）见解析， （2），理由见解析【解析】【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角；（2），利用网格结合勾股定理求出和各边的长证明，直接利用相似三角形的性质即可得出结论【小问1详解】解：解：（1）如图所示：由网格可得：，的三边比为，的三边比为，故答案为：135；【小问2详解】解：，理由：连接、，由网格可得：，的三边比为，由网格可得：，的三边比为，平分【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了应用设计与作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确借助网格分析25. 如图，AB是O的弦，AC是O的切线，BC交O于点D，E是的中点（1）求证：；（2）判断四边形ACDE的形状，并说明理由【答案】（1）见解析； （2）四边形ACDE是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证得结论；（2）根据切线性质和圆周角定理、等角的余角相等证得F=C=CAD，再根据三角形的外角性质和等弧所对的圆周角相等证得C=BDE，根据平行线的判定证明ACDE，AECD，进而可证明四边形ACDE是平行四边形【小问1详解】证明：AB=AC，C=B，B=E，C=E；【小问2详解】解：四边形ACDE是平行四边形，理由：如图，连接AO并延长，交O于F，连接AD、DF，则ADF=90°，即F+DAF=90°，AC是O的切线，CAF=90°，即CAD+DAF=90°，F=CAD，F=E，C=E，F=C，C=CAD，ADB=C+CAD=2C，E是的中点，ADE=BDE，ADB=2BDE，C=BDE，ACDE，C=E，C=BDE，E=BDE，AECD，四边形ACDE是平行四边形【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线性质、等角的余角相等、三角形的外角性质、平行线的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键26. 某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？（1）分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；调价后的每件利润调价后的销售量甲种礼品乙种礼品（2）解答： 【答案】（1）， （2）每天获得的最大利润为元.【解析】【分析】（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.【小问1详解】解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，乙种礼品调价后的销售量为：件，乙种礼品调价后的利润为：元，填表如下：调价后的每件利润调价后的销售量甲种礼品 乙种礼品 【小问2详解】解：设每天的销售利润为元，则 当时，（元）所以每天获得的最大利润为元.【点睛】本题考查的是列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.27. 问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点（1）问题可转化为：二次函数的图像与一次函数_的图像的公共点（2）问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像（3）请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数（4）问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为_【答案】（1） （2）见解析 （3）或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个； （4）【解析】【分析】（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可小问1详解】解：令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，故答案为：；【小问2详解】解：先在坐标轴上描出点，再连线即可，如下图：【小问3详解】解：如图：当时，与有一个交点，当时，与有两个交点，当时，与有一个交点，综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；【小问4详解】解：如下图：当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；当时，（其中，m为常数）与没有公共点；要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足且，解得：且，故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解第26页/共26页学科网（北京）股份有限公司