江苏百师联盟2024届高三下学期开年摸底联考数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司2024 届高三开年摸底联考届高三开年摸底联考 数学试题数学试题1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 考试时间为考试时间为 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的1已知集合2110,14Ax xBxx=，则AB=（）A10,2 B10,2C(0,1D0,12复数()32 i2iaza=R在复平面内对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3命题“221,log0 xx”的否定为（）A221,log0 xx C221,log0 xx D221,log0 xx 的实轴长为 2，离心率为3，则双曲线的左焦点F到一条渐近线的距离为（）A2B2 2C1 D2 5已知上底面半径为2，下底面半径为2 2的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（）A14 6 B56 C14 63D5636已知实数,m n满足10mn，设lnlnln,nmnambncn=，则（）Aabc=Babc Ccab Dcab=江苏百师联盟2024届高三下学期开年摸底联考数学试题+答案 学科网（北京）股份有限公司 7在ABC中，D为边BC上一点，2,4,23DACADABBD=，且ADC的面积为4 3，则sin ABD=（）A1538 B1538+C534 D534+8已知等差数列 na的前n项和为nS，若mn，且221122,mnnmaaaamn+=+=，则m nS+=（）A2()mn+B2()mn+C22mn D22nm 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9下列说法正确的是（）A若随机变量()2,0.2XB，则()20.2P X=B若经验回归方程yxba=+中的0b，则变量x与y正相关 C若随机变量()20,N，且12Pp=，则11022Pp的焦点为F，直线l与抛物线C相切于点P（异于坐标原点O），与x轴交于点Q，若2,1PFFQ=，则p=_；向量FP 与PQ 的夹角为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）已知函数()1exf xax=+（1）讨论()fx的单调性；（2）若直线1y=与曲线()yfx=相切，求a的值（15 分）如图，在三棱台111ABCABC中，111224 2ABACABAA=，113A ABA AC=，2BAC=（1）证明：111A ABC；（2）求直线1BB与平面11A ACC所成角的正弦值 17（15 分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从 10 个数字 1，2，3，10 学科网（北京）股份有限公司 中随机抽取的 3 个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若 3 个数的积为 3 的倍数且不为 5 的倍数时，中三等奖；若 3 个数的积为 5 的倍数且不为 3 的倍数时，中二等奖；若 3 个数的积既为 3 的倍数，又为 4 的倍数，且为 7 的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖（1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；（2）假设每张彩票售价为()*a aN元，且三、二、一等奖的奖金分别为 5 元，10 元，50 元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求a的最小值 18（17 分）已知椭圆22:143xyC+=的右焦点为,F A为椭圆上一点，O为坐标原点，直线OA与椭圆交于另一点B，直线AF与椭圆交于另一点D（点BD、不重合）（1）设直线,AD BD的斜率分别为,ADBDkk，证明：34ADBDkk=；（2）点P为直线4x=上一点，记,PA PF PD的斜率分别为123,k k k，若12324kkk+=，求点P的坐标 19（17分）在数列 na中，若存在常数t，使得()*1123nnaa a aat n+=+N恒成立，则称数列 na为“()H t数列”（1）若11ncn=+，试判断数列 nc是否为“()H t数列”，请说明理由；（2）若数列 na为“()H t数列”，且12a=，数列 nb为等比数列，且2121logninniaabt+=+，求数列 nb的通项公式；（3）若正项数列 na为“()H t数列”，且11,0at，证明：ln1nnaa，所以复数z在复平面内对应的点在第三象限故选C 3D 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“221,log0 xx”的否定为“221,log0 xx，所以lnlnmn，又xyn=为减函数，所以lnlnmnnn，即bc=，故选 D 7A 【解析】113sin44 3222ADCSADACDACAC=，解得4AC=，所以ADC为等腰三角形，6ADC=，故56ADBABD=中，由正弦定理得sinsinABBDADBBAD=，即21sin2BDBDBAD=，得1sin4BAD=因为56ADB=，所以BAD为锐角，故15cos4BAD=，故()13153sinsinsincossin6228ABDADCBADBADBADBAD=故选A 学科网（北京）股份有限公司 8B 【解析】由题，()()1212,22mnmnm aan aanSmS+=，所以()2112m ma mdn+=，()2112n na ndm+=，两 式 作 差 得()222212mnmnamndnm+=，化 简 得()112mnadmn+=+，即()()()211()2mnmnamndmn+=+，所以2()m nSmn+=+，故选 B 9BC 【解析】222(2)C(0.2)0.04P X=，A 错误；若经验回归方程ybxa=+中斜率0b，则变量x与y正相关，B 正确；易得正态曲线关于直线0 x=对称，故1(0)2P x=，又1122PPp=，所以11022Pp=，C 正确；掷一枚骰子，设事件:A出现的点数为 1，事件:B出现的点数为 2，则A与B互斥，但A与B不互斥，D 错误故选 BC 10BC 【解析】()()()222sincos2sin sin22xxfxxxfx+=+=，A 错误；令()0fx=，得sin0 x=或cos02x=，当3,22x 时，解得0 x=或x=，故()fx在3,22上有 2 个零点，B 正确；()()222sin cossinsin cos,2coscos12xfxxxxx fxxx=+=+，令()0fx=，得cos1x=或1cos2x=，且当,3x 时，()()0,fxfx单调递增，所以()fx在3x=处取得极小值，C 正确；可知()fx的极大值为3 32,34fkk+=Z，这个极大值即为函数的最大值，()fx的极小值为3 32,34fkk=Z，这个极小值即为函数的最小值，故()()12213 3,2x xfxfxR，D 错误故选 BC 11 ACD 【解析】因为()22fx+为奇函数，所以()()2222fxfx+=+，所以()()22fxfx+=+，学科网（北京）股份有限公司 故()2fx+为 奇 函 数，A正 确；又1322fxfx+=，故()()11fxfx+=，所 以()()()22fxfxfx=+，故()()4fxfx+=，所以()fx是以 4 为周期的周期函数，所以7122ff=，且不能确定1122ff=一定成立，故 B 错误；因为()()11fxfx+=，所以()()11fxfx+=，所 以1322ff=，C 正 确；因 为()()22fxfx+=+，所 以()()22fxfx+=+，故()()4fxfx=+，又()()4fxfx=+，所以()()fxfx=，所以()fx为偶函数，D 正确，故选 ACD 1214 【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，则()()31,44PAP BBA=，又()()31,44APP A=，所以()()()P BP A P B A=+()()P A P B A=1131144444+=1354 【解析】()22sin 2cossinP=+，其中cos1tansin22sin=，所以()sin+的最大值为 1，设2242sin 2cos4cos5cost=+=+，当25cos8=时，t取得最大值54，所以P的最大值为54 141；56 【解析】由题得0,2pF，设2,2tP tp，由22xpy=得22xyp=，求导得xyp=，所以直线l的 斜 率tkp=，则 直 线l的 方 程 为()22ttyxtpp=，易 得,02tQ，所 以2222,12244tptpPFFQp=+=+=，解得1,3pt=当3t=时，()333,1,22FPPQ=，则3cos,2FP PQFP PQFP PQ=,0,FP PQ ，故向量FP 与 学科网（北京）股份有限公司 PQ 的夹角为56，当3t=时，同理可得夹角为56（第一空 2 分，第二空 3 分）15解：（1）()fx的定义域为()1,exfxa=R，当0a 时，()()0,fxfx时，令()0fx=，得lnxa=，当(),lnxa 时，()()0,fxfx单调递增 综上，当0a 时，()fx在R上单调递减；当0a 时，()fx在(),lna 上单调递减；在()ln,a+上单调递增（2）由题，()1exfxa=，设切点为()()00,xfx，则()0010exfxa=，易知0a，故0lnxa=又()01fx=，即0011exax+=，将0lnxa=代入，得ln10aa a=设()ln1(0)h xxx xx=，则()lnhxx=当()0,1x时()()0,hxh x单调递增；当()1,x+时()()0,hxh x=，因为*aN，故a的最小值为 8 18（1）证明：设()()0011,D xyA x y，则()11,Bxy，则2201010122010101ADBDyyyyyykkxxxxxx+=+又222211001,14343xyxy+=+=，两式作差得：22220101043xxyy+=，即2201220134yyxx=，所以34ADBDkk=，得证 学科网（北京）股份有限公司（2）解：由题，A不与长轴两端点重合，设()4,0Pmm，直线:1AF xty=+，与椭圆方程联立，并消去x得()2234690tyty+=设()()1122,A x yD xy，则12122269,3434tyyy ytt+=+，所以20413mmk=，()()()()()()211212131212444444xmyxmymymykkxxxx+=+=又11221,1xtyxty=+=+，代入上式化简得()()()()22212121322221212223618663222234341899333393434tmttmmtmyyty ymtmmttkkttt yyt y yttt+=+，所以1234243mkkk+=故3m=，所以点P的坐标为()4,3 19（1）解：数列 nc不是“()H t数列”理由如下：因为111nncnn+=+=，所以121nncn+=+又1 223411123nnc ccnn+=+，所以()11 221111nnncc ccnnnn+=+=+，因为11nn+不是常数，所以数列 nc不是“()H t数列”（2）解：因为数列 na为“()H t数列”，由2121logninniaabt+=+，得21221logninniaa aab=+，学科网（北京）股份有限公司 所以12121211logninnniaa aa ab+=+，两式作差得：()21111221lognnnnnbaaa aab+=+又数列 na为“()H t数列”，故112nnata aa+=设数列 nb的公比为q，所以()()211121lognnnaaatq+=+，即()()121log0ntatq+=对*n N成立，则210,log0,ttq+=+=得1,2tq=又21112 12,logaaab=+，得14b=，所以11422nnnb+=，所以数列 nb的通项公式为12nnb+=（3）证明：设函数()ln1fxxx=+，则()111xfxxx=，当()1,x+时，()0fx，则()fx在()1,+上单调递减，且()()10fxf，则2111aata=+，故312121aa ata a=+，以此类推，可得对*,1nna N，所以()()10nf af=，即ln10nnaa+，所以ln1nnaa得证