【初中数学 】第1课时勾股定理的逆定理及应用课件 2023-—2024学年人教版数学八年级下册.pptx
第十七章勾股定理17.2第1课时勾股定理的逆定理及应用一、复习回顾一、复习回顾 勾股定理勾股定理定理的含义定理的含义:直角三角形的两条直角边直角三角形的两条直角边a、b的的 平方和等于斜边平方和等于斜边c的平方的平方.数学表达式数学表达式:a2+b2=c2.2.勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围(前提条件前提条件)：1.勾股定理：勾股定理：勾股定理只适用于直角三角形勾股定理只适用于直角三角形.【问题问题】怎样判定一个三角形是直角三角形怎样判定一个三角形是直角三角形?事先已知三角形事先已知三角形 是直角三角形是直角三角形二、新知探索二、新知探索直角三角形的判定直角三角形的判定【操作操作】用用13个等距的结个等距的结,把一根绳把一根绳 子分成等长的子分成等长的12段段,然后以然后以3个结、个结、4个结、个结、5个结的长度为边长个结的长度为边长,用木用木 桩钉成的三角形是桩钉成的三角形是 三角形三角形.直角直角【思考思考】(1)这组数是否满足这组数是否满足a2+b2=c2呢呢?(2)这个三角形是直角三角形吗？这个三角形是直角三角形吗？【归纳归纳】三边满足三边满足“a2+b2=c2”的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形,这个规律叫做勾股定理的逆定理这个规律叫做勾股定理的逆定理.如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足:a2+b2=c2那么那么,这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.1.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如几组常见的勾股数如几组常见的勾股数:5,12,13;7,24,25;8,15,17.2.勾股数勾股数:满足勾股定理的逆定理的一组满足勾股定理的逆定理的一组整数整数叫做叫做勾股数勾股数.事先不知道三角形事先不知道三角形是否为直角三角形是否为直角三角形已知直角三角形已知直角三角形勾股定理勾股定理a2+b2=c2;已知已知a2+b2=c2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理直角三角形直角三角形.C=900AB2=a2+b2a2+b2=c2AB2=c2AB=c(AB 0,c 0)在在ABC和和ABC中中BC=a=BCCA=b=CAAB=c=ABabBCA已知已知:在在ABC中中,AB=c,BC=a,CA=b,且且a2+b2=c2.求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形.证明证明:画一个画一个ABC,使使C=900,BC=a,CA=b3.勾股定理逆定理的证明勾股定理逆定理的证明cabBCAABCABC(SSS)C=C=900 ABC是直角三角形是直角三角形(1)判断一件事情的句子叫做命题判断一件事情的句子叫做命题(注意注意:命题有假之分命题有假之分);真命题是题设和结论都正确的命题真命题是题设和结论都正确的命题;假命题是题设和结论相矛盾的命题假命题是题设和结论相矛盾的命题.(2)条件和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题条件和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题,其中其中 的一个叫做原命题的一个叫做原命题,则另一个叫做它的逆命题则另一个叫做它的逆命题.【思考思考】一个命题一定有逆命题吗一个命题一定有逆命题吗?一个定理有是逆定理吗一个定理有是逆定理吗?(2)互逆定理互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命如果一个定理的逆命题经过证明是真命 题题,那么它也是一个定理那么它也是一个定理,这两个定理称这两个定理称 为互逆定理为互逆定理,其中一个定理称为另一个其中一个定理称为另一个 定理的逆定理定理的逆定理.5.定理与互逆定理定理与互逆定理4.命题命题:(1)定理定理:用推理的方法得到的真命题叫做用推理的方法得到的真命题叫做“定理定理”;【注意注意】一个命题一定有逆命题一个命题一定有逆命题,但一个定理不一定有逆定理但一个定理不一定有逆定理.(1)两条直线平行两条直线平行,内错角相等内错角相等.(2)如果两个实数相等如果两个实数相等,那么它们的平方也相等那么它们的平方也相等.(3)如果两个实数相等如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等那么它们的绝对值相等.(4)全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等.1.说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗这些命题的逆命题成立吗?逆命题逆命题:内错角相等，两条直线平行内错角相等，两条直线平行.成立成立逆命题逆命题:如果两个实数的平方相等如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等那么这两个实数相等.不成立不成立逆命题逆命题:如果两个实数的绝对值相等如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等那么这两个实数相等.不成立不成立逆命题逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形对应角相等的两个三角形是全等三角形.不成立不成立三、新知巩固练习三、新知巩固练习它们是互逆定理它们是互逆定理(2)a=1,b=2,c=.,.2.下面以下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？为边长的三角形是不是直角三角形？如果是如果是,请指出哪一个角是直角请指出哪一个角是直角.(1)a=25,b=20,c=15.,;(3)a:b:c=3:4:5.,.是是是是是是 A=900 B=900 C=900注意注意:(1)和和(2)中的数据都满足勾股定理的逆定理中的数据都满足勾股定理的逆定理,只有只有(1)中的数据是勾股数中的数据是勾股数,因为勾股数都是整数因为勾股数都是整数,但但(2)中的数据不是勾股数中的数据不是勾股数,因为因为3个数不都是整数个数不都是整数.例例1.判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=15,c=14;(3)a:b:c=3:4:5.解解:(1)152+82=225+64=289=172 即即a2+b2=c2 这个三角形这个三角形是是直角三角形直角三角形.(2)132+142=169+196=365152 即即a2+b2 c2 这个三角形这个三角形不是不是直角三角形直角三角形.(3)设设a=3x,则则b=4x,c=5x (3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2 即即a2+b2=c2 这个三角形这个三角形是是直角三角形直角三角形.四、新知应用举例四、新知应用举例【分析分析】先由含先由含m,n的代数式判断出的代数式判断出a,b,c中最长的边中最长的边 是是c,再利用勾股定理的逆定理作出判定再利用勾股定理的逆定理作出判定.例例2.已知已知ABC的三边分别是的三边分别是a,b,c,且且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n都是正整数都是正整数).ABC是什么三是什么三 角形？请说明理由角形？请说明理由.解解:ABC是直角三角形是直角三角形.理由是理由是:(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =(m2+n2)2 即即a2+b2=c2 ABC是直角三角形是直角三角形.解解:连结连结AC,B=900,AB=3,BC=4 在在RtABC中中由勾股定理由勾股定理得得 在在ACD中中 AC2+CD2=52+122=169=132 即即AC2+CD2=AD2 由由勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理得得ACD是直角三角形是直角三角形例例3.已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD中中,B=900,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.求四边形求四边形ABCD的面积的面积?互逆定理的典型应用互逆定理的典型应用DCBA1213341.一个零件的形状如下图所示一个零件的形状如下图所示,按规定这个零件中按规定这个零件中A和和DBC 都应为直角都应为直角.请根据工人师傅量出的这个零件各边的尺寸请根据工人师傅量出的这个零件各边的尺寸,判判 断这个零件符合要求断这个零件符合要求.思考：这个四边形思考：这个四边形ABCD的面积是多少的面积是多少?五、能力提升五、能力提升1312543DCBA解解:在在ABC中中,AB=3,AD=4,BD=5 则则32+42=52,即即AB2+AD2=BD2 由由勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理得：得：ABD是直角三角形是直角三角形,且且A=900;在在ABC中中,BD=5,BC=12,CD=13 则则52+122=132,即即AB2+AD2=BD2 由由勾股定理逆定理勾股定理逆定理得：得：BCD是直角三角形是直角三角形,且且DBC=900 这个零件符合要求这个零件符合要求.2.已知已知a,b,c为为ABC的三边的三边,且满足且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断试判断ABC的形状的形状.解解:ABC是直角三角形是直角三角形.理由是理由是:a2+b2+c2+338=10a+24b+26c a2+b2+c2+338-10a-24b-26c=0 则则 a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 (a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0 a-5=0,b-12=0,c-13=0 a=5,b=12=,c=13 52+122=25+144=169=132 即即 a2+b2=c2 由由勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理得得ABC是直角三角形是直角三角形.3.以以ABC三三边边a,b,c为边为边分分别别向外作正三角形向外作正三角形,正方形正方形;以三以三边为边为直径作半直径作半圆圆,若若S1+S2=S3成立成立.则则ABC是直角是直角 三角形三角形吗吗?为为什么？什么？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3ABCabcS1S2S31.什么是勾股定理的逆定理？它与勾股定理什么是勾股定理的逆定理？它与勾股定理 有哪些区别？有哪些区别？2.什么叫做互逆命题、原命题与逆命题什么叫做互逆命题、原命题与逆命题;3.什么称为互为逆定理什么称为互为逆定理.本课小结本课小结
