江西省重点中学盟校2024届高三第一次联考数学试卷含答案.pdf
1江西省重点中学盟校 2024 届高三第一次联考数学试卷江西省重点中学盟校 2024 届高三第一次联考数学试卷考试时间：考试时间：120 分钟试卷总分：分钟试卷总分：150 分分命题人：一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）命题人：一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M =y y =lg x,x 1,N =x y =4 x 2，则M N=A.2,0B.2,C.21，D.)0，2.已知i为虚数单位，z为复数z的共轭复数,复数z满足31i zi，则z A.1B.2C.2D.33.某工厂随机抽取40名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如下表，则该组数据的75%分位数是A.8.5B.9C.9.5D.104.已知抛物线22 2yx的准线与双曲线2221(0)xyaa相交于,A B两点，F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则实数a的值为A66B13C19D235.某地区有 10000 名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布292,4N，则数学成绩位于96,100的人数约为参考数据：0.6827,220.9545PXPX，330.9973PXA455B1359C3346D10456.核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，DNA的数量nX与扩增次数n满足0lglg 1lgnXnpX，其中0X为DNA的初始数量，p为扩增效率已知某被测标本DNA扩增 16 次后，数量变为原来的 10000 倍，则扩增效率p约为(参考数据：0.250.25101.778,100.562)件数7891011人数6141082#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#2A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%7.过圆1C：1622 yx上的动点作圆2C：422 yx的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆2C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为A.B.32C.2D.38.已知函数 f x的定义域为R，,x yR，11f xfyf xyf xy，若 00f，则2024fA.4B.2C.2D.4二、多选题（本题共二、多选题（本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得求，全部选对的得 6 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.）9.在512xx的展开式中A二项式系数之和为32B第3项的系数最大C所有项系数之和为1D不含常数项10.已知函数)0(cos3sin)(xxxf的最小正周期为，则A.=2B.点,012是 f x图象的一个对称中心C.f x在5,12上单调递减D.将 f x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，可得到2cos 26yx的图象11.如图，在平面四边形ABCD中，点D为动点，ABD的面积是BCD面积的 3 倍，数列 na满足13a，恒有1133nnnnBDaBAaBC ，设 na的前n项和为nS，则A.na为等比数列B.481a C.3nna为等差数列D.333nnSn三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分）分）12.已知 5 3010,152aa babab ，则a与b夹角为.13.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数2.71828e.小明在设置银行卡的数#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#3字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有个.(用数字作答)14.如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，已知该“四角反棱柱”的棱长为 4，则其外接球的表面积为四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 7777 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PDCDAD2AB，/,ABCD ADCD.（1）设点E为棱PD的中点，证明：/AE平面PBC；（2）求平面PBC与平面PAB的夹角的大小.16.（本小题满分 15 分）某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有 1 道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得10分；若两人都答对或都答错，则两人均得 0 分根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为1 2,2 3，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响（1）求在一局比赛中，甲的得分X的分布列与数学期望；（2）设这次比赛共有 3 局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#417.（本小题满分 15 分）如图，在ABC中，ACB的平分线CM与边AB交于点M，且1AMCM.（1）若6A，求ABC的面积S.（2）求AM MCBM 的最小值.18.（本小题满分 17 分）已知椭圆C的方程为222210 xyabab，由其3个顶点确定的三角形的面积为4，点2,1P在C上，,A B为直线4x 上关于x轴对称的两个动点，直线,AP BP与C的另一个交点分别为,M N.（1）求C的标准方程；（2）证明：直线MN经过定点；（3）O为坐标原点，求MON面积的最大值.19（本小题满分 17 分）已知函数 2xxf xaeex，其中0a.（1）当1a 时，求函数 f x的图象在0 x 处的切线方程；（2）讨论函数 f x的极值点的个数；（3）若对任意的0a，关于x的方程 f xm仅有一个实数根，求实数m的取值范围.#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#江西省重点中学盟校2024届高三第一次联考数学答题卡江西省重点中学盟校2024届高三第一次联考数学答题卡考场/座位号：考场/座位号：姓名：姓名：班级：班级：注意事项 注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚。2选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框。3非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。4请勿折叠，保持卡面清洁。贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂缺考标记一、单选题（共40分）正确填涂缺考标记一、单选题（共40分）1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D二、多选题（共18分）二、多选题（共18分）9A B C D10A B C D11A B C D三、填空题（共15分）三、填空题（共15分）12.13.14.15（13分）16.（15分）#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#17.（15分）18.（17分）19.（17分）#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#1江西省重点中学盟校江西省重点中学盟校 20242024 届高三第一次联考届高三第一次联考数学试数学试题答案及评分参考题答案及评分参考1-8ABCABDAB9.ABD10.AD11.BCD12.5613.3614.328 28.令0 xy，得 11000ffff，即 10f，令0 x，得 110ffyfyfy，得 fyfy，所以函数 f x为偶函数，令1xy，得 2220fff，令1xy，得 202020fffff，所以 2220ff，20ff或 20ff，若 20ff，解得 00f与已知 00f矛盾，所以 20ff，即 2222ff，解得 22,02ff.令1y，得 1211f xff xf x，所以2111f xf xf x，即有11f xf x，所以 2f xf x，从而 4f xf x，所以函数 f x的周期为4，故 202402ff.故选B.另解：令 2cos2f xx，满足题目条件，则20242cos10122f ，选B.11.设,AC BD交于点E，则1sinsin231sinsin2ABDBCDBD AEAEDSAEAEDAESECAEDECBD ECCEB，即3AEEC，故33134444BEBAAEBAACBABCBABABC ，由于,B E D三点共线，故存在实数0，使得BDBE ，即得11133344nnnnBDaBAaBCBABC ，故11134334nnnnaa，整理得11333nnnnaa，即132 3nnnaa，则112333nnnnaa，即112333nnnnaa，而13a，故3nna是首项为113a，公差为23的等差数列，C正确；则25211333nnann，故5233nnna，481a ，B正确；又13 32635252nnnaann常数，故 na不为等比数列，A错误；#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#2运用错位相减法可求得333nnSn，D正确，故选BCD.14.如图，由题意可知旋转角度为2，设上、下正方形的中心分别为12,O O，连接12OO，则12OO的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点，OA即为该几何体的外接球的半径，122 2,2,2 3O AO BAB，过点B作1BCO A于点C，则122 22ACO AO B，228 2BCABAC.易得四边形12CBOO为矩形，即1211218 2,2 22OOBCOOOO，则221182 2OAOOO A，即82 2R，24328 2SR，即该“四角反棱柱”的外接球的表面积为328 2.15.（1）设F为PC的中点，连接,EF FB AE.在PCD中，点E为棱PD的中点，1/,2EFCD EFCD，-2 分因为2,/CDAB ABCD，所以/EFAB，EFAB，所以四边形EFBA为平行四边形，所以/AEBF，-4 分因为BF 平面PBC，AE 平面PBC，所以/AE平面PBC.-6 分（2）以D为坐标原点，,DA DC DP所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设22PDCDADAB，则2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,1,0APCB，2,1,2PB ，0,2,2PC .设平面PBC的一个法向量为,mx y z，则有220220m PBxyzm PCyz ，令2y，则1,2xz，得1,2,2m.-9 分2,0,2,0,1,0PAAB ，设平面PAB的一个法向量为,na b c，则有2200n PAacn ABb ，令1a，则0,1bc，则1,0,1n，-11 分设平面PBC与平面PAB的夹角为，有2coscos,2m nm nm n ，所以平面PBC与平面PAB的夹角大小为4.-13 分#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#316.（1）X取值可能为10,0,10，121101233P X，1212101123232P X，121101236P X，-3 分所以X的分布列为1115100103263E X -6 分（2）由（1）可知在一局比赛中，乙获得 10 分的概率为2111323，乙获得 0 分的概率为121211123232 ，乙获得10分的概率为1211236-9 分在 3 局比赛中，乙获得 30 分的概率为3111327P；在 3 局比赛中，乙获得 20 分的概率为2223111C326P；在 3 局比赛中，乙获得 10 分的概率为2212333111111CC323636P，-13 分所以乙最终获胜的概率为12311115527636108PPPP-15 分17.（1）在AMC中，1,6AMCMA，所以6ACM，又CM是ACB的平分线，所以2,36ACBACMBCM，故2BAACB，-2 分在Rt CBM中，1,6CMBCM，故13,22BMBC，-4 分所以ABC的面积11133 3122228SAB BC；-6 分（2）设A，则,2,3ACMBCMCMBB，所以00203，解得03，-7 分X10010P131216#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#4在CBM中，根据正弦定理，得sinsinBMCMBCMB，得sinsinsinsinsin3sin3BCMBMCMB，-9 分所以cosAM MCBMAM MCCMBBM sincos2sin3sincos2sincos2cos sin2-11 分2sincos2sincos22sincos211cos2cos2cos22cos2cos212cos211122cos2122cos211112222cos2122-14 分当且仅当2cos21122cos21，即12cos2时取等号，所以AM MCBM 的最小值为122.-15 分18.（1）由题意知224411abab，解得2 2,2ab，所以椭圆C的方程为22182xy.-4 分（2）直线MN的斜率必存在，设其方程为ykxn.22182ykxnxy消去y得222148480kxnkxn，由0 得22222841442082nkknnk.设1122,M x yN xy，则2121222428,1414nnkxxx xkk，（*）-6 分直线PM的方程为111122yyxx，令4x，得112112Ayyx，同理222112Byyx，#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#5由1212212102022AByyyyxx，又1122,ykxn ykxn，代入得12122123840kx xnkxxn，-9 分将（*）式代入并整理22618404210nknkknknk.因为直线MN不过2,1P，故210nk 不成立，所以40nk，此时直线MN的方程为4yk x，经过定点4,0.-11 分（3）由2228241nkk，221212228 8132,1414kkxxx xkk，所以2222212121224 2 11 411414kkMNkxxkxxx xk，又点O到直线MN的距离为241kdk，所以22222241 4114 2 11 48 22214141MONkkkkkSMN dkkk，-14 分令214,12tkt ，则22121314 24 22248MONttStt，当134t，即2112k 时取等，所以MON的面积的最大值为2.-17 分19.（1）当1a 时，22,21xxxxf xeex fxee，02f，00f，所以函数 f x的图象在0 x 处的切线方程为020yx，即20 xy.-3分（2）221xxfxaee，令 0,xfxte，得2210att ，则1 8a .-4分当18a 时，0，此时 0fx，故函数 f x在,上单调递增，没有极值点；-6分当108a时，0，令 0fx，则11 84xaea，则1211 811 8ln,ln44aaxxaa，则当1,xx 时，0fx，当12,xx x时，0fx，当2,xx时，0fx，此时函数 f x有两个极值点.综上所述，当18a 时，函数 f x没有极值点；当108a时，函数 f x有两个极值点.-9分#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#6（3）依题意，2xxaeexm，记 2xxg xaeexm，gxfx.（i）由（2）知当18a 时，0gx，则函数 g x在,上单调递增；可知当x 时，g x ，当x 时，g x ，故当18a 时，函数 g x恰有一个零点，方程 f xm仅有一个实数根，此时mR.-11分（ii）当108a时，g x在1,x上单调递增，在12,x x上单调递减，在2,x 单调递增，1122221221210 xxxxgxaeegxaee ，则1212221122xxxxeeaee，所以 1112111122xxxeg xg xaeexmxm 极大值，2222222122xxxeg xg xaeexmxm 极小值，因为当,xg x ，当,xg x ，故只需10g x或20g x，-14分令 122xeh xx，则 12xeh x，故当,ln2x 时，0h x，当ln2,x时，0h x，又1211 822lnln,ln411 811 8axxaaa，又108a，故1 80,1a，120,ln2,ln2,xx，所以12331,ln2,ln222h xh x ，故3ln22m .综上所述，实数m的取值范围为3ln2,2.-17分#QQABZYYQgggIQAIAAQhCEwVKCACQkBGAACoOgBAMMAABSQFABAA=#
