（奥数典型题）第四讲 分数的大小比较--2023-2024学年五年级下册数学思维拓展含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司孙悟空喝牛奶孙悟空喝牛奶 唐僧师徒四人走在无边无际的沙漠上，他们又饿又累，猪八戒想：如果有一顿美餐该有多好啊！孙悟空可没有八戒那么贪心，悟空只想喝一杯水就够了。孙悟空想着想着，眼前就出现了一户人家，门口的桌上正好放了一杯牛奶，孙悟空连忙上前，准备把这杯牛奶喝了，可主人家却说：“大圣且慢，如果您想喝这杯奶就必须回答对一道数学题。孙悟空想，不就一道数学题吗，难不倒俺老孙。孙悟空就答应了。那位主人家出题：倒了一杯牛奶，你先喝了21加满水，再喝31，又加满水，最后把这杯饮料全喝下，问你喝的牛奶和水哪个多些？为什么？孙悟空一看，挠挠头，不一会儿功夫就算出来了，并且喝到了这杯牛奶。同学们，你知道答案吗？试试看。（答案）孙悟空很聪明，因为牛奶只有一杯，而每次加的都是水，所以他知道只需要计算所加入水的总量就可以了。而所加水量是213165（杯）。所以应该是喝的牛奶多。比较两个分数的大小，有两种基本方法。第一种是：如果两个分数分母相同，分子大的分数较大；第二种是：如果两个分数分子相同，分母小的分数较大；或者统一分母，或者统一分子，再进行比较。第四讲第四讲 分数大小比较分数大小比较 板块二：知识精讲板块二：知识精讲 板块一：趣味数学板块一：趣味数学 （奥数典型题）第四讲 分数的大小比较-2023-2024学年五年级下册数学思维拓展 学科网（北京）股份有限公司 有时候可另辟蹊径，例如相减比较，如果差大，那么减数就小；相除比较，若上是真分数，则被除数小于除数，若商是假分数，则被除数大于除数；交叉相乘比较分数ba和dc（b、d 都大于 0），如果 ad=bc，那么badc；倒数比较，倒数大的分数小于倒数小的分数；化成小数或循环小数比较等等。在解题中必须认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活动用解题方法，不断开拓解题思路，提高解题能力。【例题【例题 1 1】比较2215，95，1712的大小。【思路导航】【思路导航】要想把它们的分母变成相同的数比较麻烦，从分子看，60 分别是三个分子的倍数。利用分数的基本性质，可以将上面三个分数变成分子都是 60 的分数：2215=422415=8860，95=129125=10860，1712=517512=8560。因为8560886010860，所以1712221595。练习练习一：1.分数125、1912、2310、74、2215中，哪一个最大？2.把分数132、173和154按从大到小的顺序排列。3.a，b 是两个自然数，它们同时满足以下两个条件：（1）51ba41；（2）a+b=17。那么 a=（），b=（）。板块三：典例好题板块三：典例好题 学科网（北京）股份有限公司【例题【例题 2 2】比较666667666665和777778777776的大小。【思路导航】【思路导航】这两个分数的分子和分母都很接近，且都相差 2，先分别求出和为 1 的另一个分数，比较两个分子相同的分数，再比较原来的两个分数。因为666667666665=1-6666672，777778777776=1-7777782，而66666727777782，所以 1-66666721-7777782，即666667666665777778777776 练习练习二：1.比较777777779777777775与888888887888888883的大小。2.比较3433128134331279与5149682251496919的大小。3.比较222222221111111110和888888887444444443的大小。【例题【例题 3 3】若 A=11998-199812+，B=22199719981997-19981+，比较 A 与 B 的大小。【思路导航】【思路导航】由于这两个分数的分子都是 1，只要比较这两个分数分母的大小就可以了，根据乘法分配律把分数 B 的分母化简为：学科网（北京）股份有限公司 19982-19971998+19972=19982+19972-19971998=19982+1997（1997-1998）=19982-1997=19982-1998+1 所以 A=B。练习练习三：1.若 A=12006-200612+，B=22200520062005-20061+，比较 A 与 B 的大小。2.比较443322112233与887766223344的大小。3.1.已知 A=200520042003+200420052002，B=200620042003+200320052002，比较 A 与 B 的大小。【例题【例题 4 4】分数94、3517、203101、73、301151中，哪个数最大？【思路导航】【思路导航】由题目中分数的分母不同，且数值较大，所以通分比较大小较为复杂，通过观察发现这些分数的值与21相接近，由此可通过它们与21的比较结果来得出最大值。因为9421，351721，20310121，7321，30115121，所以301151最大。练习练习四：1.比较3419、2711和3216的大小。学科网（北京）股份有限公司 2.比较6632与7536的大小。3.比较448117与808207的大小。【例题【例题 5 5】把22211、2222111、222222211111+按从小到大的顺序排列。【思路导航】【思路导航】先求出三个分数的倒数，通过比较倒数的大小，倒数大的反而小，即可解决问题。11222=20+112，1112222=20+1112，111112222222+=1222666=21+6152，因为 21+615220+11220+1112，所以222222211111+222112222111。练习五：1.比较11111111111与111111111的大小。2.比较3333333316666666与5555555527777778的大小。3.比较1111222和11122的大小。学科网（北京）股份有限公司 分数的使用 中国是世界上最早使用分数的国家。无论在分数的应用还是计算方面都远远 早于其它国家，我国古代文献中有许多关于分数的记载。比如在左传一书中就有这样的记载：春秋时期，诸 侯的城池，最大不能超过周国的31，中等的不得超过51，小的不得超过91。秦始皇时期，拟定了一年的天数为 36541天。九章算术是我国著名数学专著，成书于 1800 多年前，其中第一章方田里就讲了分数四则算法的计算方法。练习一练习一 1.这五个分数的分子和分母都不相同，如果统一分母，显然计算量大，统一分子，可以看出分子（5，12,10,4,15）的最小公倍数是 60，所以统一分子后比较好算。即：125=14460，1912=9560，2310=13860，74=10560，2215=8860。根据分数的性质，分子相同的分数，分母小的分数大，所以这五个分数中最大的是2215。2.三个分数的分母较大，又是互质数，分母的最小公倍数很大，通分很麻烦。仔细看一下三个分数的分子2、3、4，可以只算出它们的最小公倍数是 12，通分子十分简便。132=7812 173=6812 154=4512 板块五：答案解析板块五：答案解析 板块四：数学故事板块四：数学故事 学科网（北京）股份有限公司 因为451268127812，所以154173132。3.可以把原式51ba41变为5aaba4aa，则根据分子相同，分母小的分数大，得出 4ab5a，且a+b=17，17=1+16=2+15=3+14=4+13经试算，a=3，b=14 符合要求。练习二练习二 1.777777779777777775=1-7777777794 888888887888888883=1-8888888874 因为77777777948888888874，所以 1-77777777941-8888888874，即777777779777777775888888887888888883。2.3433128134331279=1-343312812 5149682251496919=1+5149682297 因为 1-3433128121+5149682297，所以34331281343312795149682251496919。3.根据分数的基本性质可知，222222221111111110=444444442222222220=4444444421-222222221 学科网（北京）股份有限公司=444444442222222221-4444444421=21-4444444421。同理，888888887444444443=1777777774888888886=17777777741-888888887=1777777774888888887-17777777741=21-17777777741。由于444444442117777777741，所以21-444444442121-17777777741，即222222221111111110888888887444444443。练习三练习三 1.由于两个分数的分子都是 1，只要比较这两个分数分母的大小就可以了，分数 B 的分母可化简为：20062-20052006+20052=20062+20052-20052006=20062+2005（2005-2006）=20062-2005=20062-2006+1 所以 A=B 2.把第一个分数的分子和分母同时乘 2，可得443322112233=886644224466，与第二分数比较，分子比第二个分数 学科网（北京）股份有限公司 的分子大，而分母比第二分数的分母小，从中可以判定：443322112233887766223344。3.此题可利用减法的性质比较 A、B 的大小。A-B 可得：（200520042003+200420052002）-（200620042003+200320052002）=（200520042003-200620042003）+（200420052002-200320052002）=-1+1=0 两数的差是 0，所以 A=B。练习四练习四 1.因为341921，271121，3216=21，所以341932162711。2.此题中两个分数都非常接近21，可根据这两个分数与21的差距，来比较这两个分数的大小。21-661=6632，21-1501=7537 因为6611501，所以66327536。3.此题中两个分数都非常接近41，可根据这两个分数与41的差距，来比较两个分数的大小。448117=41+4485，808207=41+8085 因为44858085，学科网（北京）股份有限公司 所以448117808207。练习五练习五 1.11111111111的倒数是：11111111111=10111111 111111111的倒数是：111111111=1011111 因为 101111111011111，所以11111111111111111111。2.3333333316666666的倒数是：1666666633333333=2166666661 5555555527777778的倒数是：2777777855555555=12777777827777777 因为 2166666661，12777777827777777，所以33333333166666665555555527777778。3.1111222的倒数是：2221111=52221 11122的倒数是：22111=5221 因为 522215221，所以111122211122。