2024届华大新高考联盟高三3月联考数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 华大新高考联盟华大新高考联盟 2024 届高三届高三 3 月教学质量测评月教学质量测评 数学数学 命题：命题：本试题卷共本试题卷共 4 页，共页，共 19 题。全卷满分题。全卷满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟。分钟。祝考试顺利祝考试顺利 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2选择题的作答：选出答案后，用选择题的作答：选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1若2023(2i)3 iz+=，则 z 的虚部为 A1 B75 C15 D1 2已知集合|2Ax xtt=+，2|2790Bxxx=，则图中阴影部分表示的集合为 A9|12xx B|12xx D9|2x x 3对 A，B 两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A 地员工的上班迟到时间为 X（单位：min），XN（2，4），对应的曲线为1C，B 地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），YN（3，19），对应的曲线为2C，则下列图象正确的是 学科网（北京）股份有限公司 A B C D 4已知(3,6)=m，(3,)=n，若120+=mn,n，则 A3 B2 3 C3 D32 5若cos()512sin22=，则44sincos+=A11512 B5512+C5516+D11516 6已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 P，过点 F 的直线 l与 C 交于 M，N两点，若25OMFONFSS=，且49|5MN=，则PMNS=A28 105 B28 1010 C28 55 D56 55 7已知实数 a，b 满足22|0abab+=，则|3|ab+的最小值与最大值之和为 A4 B5 C6 D7 8已知正方体1111ABCDABC D的边长为 4，其中点 E 为线段1BC的中点，点 F，G 分别在线段11C D，1BD上运动，若|GEGF+恒成立，则实数 的取值范围为 A10 2(,3 B5 2(,3 C(,5 2 D5 2(,2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 学科网（北京）股份有限公司 目要求。全部选对的得目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9已知正数 m，n 满足32112mn+=，则 A12mn B222mn+C32mn+D2,(0,),()2mnm nmnmn+10六氟化硫，化学式为6SF，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6 个氟原子分别位于正八面体的 6 个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为 m，则 A该正八面体结构的表面积为22 3m B该正八面体结构的体积为32m C该正八面体结构的外接球表面积为22m D该正八面体结构的内切球表面积为223m 11若关于 x 的不等式22e2lnxxaxxx+在（0，）上恒成立，则实数 a 的值可以是 A1e B12 Ce3 D2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12若函数3()sinlog(92)xf xxmx=+的图象关于原点对称，则 m_ 13已知平面凸四边形 ABCD 的对角线分别为 AC，BD，其中13DCAB=，sintansinsinBADABDABDADB=，则ADB_；若|2DC=，则四边形 ABCD 的面积的最大值为_ 14已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左、右焦点分别为1F，2F，点 P 在双曲线 C 上，且290OPF=，2F PPQ=，若点 Q 也在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。学科网（北京）股份有限公司 15（13 分）小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动若参与 A 游戏，则每次胜利可以获得该商场 150元的代金券；若参与 B 游戏，则每次胜利可以获得该商场 200 元的代金券；若参与 C 游戏，则每次胜利可以获得该商场 300 元的代金券已知每参与一次游戏需要成本 100 元，且小甲每次游戏胜利与否相互独立（1）若小甲参加 4 次 A 游戏，每次获胜的概率为(01)pp，记其最终获得 450 元代金券的概率为 F（p），求函数 F（p）的极大值点0p；（2）在（1）的条件下，记小甲参加 A，B，C 游戏获胜的概率分别为023p，047p，012p若小甲只玩一次游戏，试通过计算说明，玩哪种游戏小甲获利的期望最大 16（15 分）已知三棱台111ABCABC如图所示，其中11114 52445ACBCBCAB=，111A AB BC C=（1）若直线11lABB A 平面，且lAB，求证：直线 l平面 ABC；（2）若平面 ABC 与平面111ABC之间的距离为 3，求平面11AB B与平面11AC B所成角的余弦值 17（15 分）已知椭圆22:12xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，左、右顶点分别为1A，2A，点 P，Q在椭圆 C 上，P，Q 异于1A，2A（1）若直线1PA与直线2 2x=交于点(2 2,)DDy，直线2PA与直线2 2x=交于点(2 2,)EEy，求DEy y的值；（2）若 P，Q，2F三点共线，且1PQF的内切圆面积为316，求直线 PQ 的方程 学科网（北京）股份有限公司 18（17 分）已知函数()ln(1)3mf xxx=+（1）若3m=，求证：()0f x；（2）讨论关于 x 的方程2()sin032xf x+=在（1，2）上的根的情况 19（17 分）定义：,max,a aba bb ab=,min,b aba ba ab=已知数列 na满足1212min,max,nnnnnaaaaa+=（1）若22a=，33a=，求1a，4a的值；（2）若*n N，*k N，使得nkaa恒成立探究：是否存在正整数 p，使得0pa=，若存在，求出 p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；（3）若数列 na为正项数列，证明：不存在实数 A，使得*,nnaA N 学科网（北京）股份有限公司 华华大新高考联盟大新高考联盟 2024 届高三届高三 3 月教学质量测评月教学质量测评 数学参考答案和评分标准数学参考答案和评分标准 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B A D A C A AD ACD AB 1【答案】C【命题意图】本题考查复数的概念、复数的四则运算，考查数学运算、逻辑推理的核心素养【解析】依题意，20233i(3i)(2i)63i2i 171i2i(2i)(2i)555z+=+，则 z 的虚部为15，故选 C 2【答案】D【命题意图】本题考查不等式的解法、集合的运算、韦恩图，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】依题意，|2Ax x=，9|(29)(1)0|12Bxxxxx=+=，故阴影部分表示的集合为9|2x x，故选 D 3【答案】B【命题意图】本题考查正态分布的图象与性质，考查逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】由23XY=，故曲线2C比曲线1C瘦高，曲线1C比曲线2C矮胖，排除 A，故选 B 4【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的数量积、平面向量的概念，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】依题意，(0,6)+=+mn，2261cos,2|6|9+=+mn n，则60，故22(6)12(6)99+=+，解得3=，故选 A 5【答案】D【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式、三角函数恒等变换，考查数学运算、逻辑推理的核心素养【解析】cos()sin1512sin22sincos2cos2=，得51cos4+=，则235cos8+=，2255sin1 cos8=，故 学科网（北京）股份有限公司 44222225535115sincos(sincos)2sincos1 28816+=+=，故选 D 6【答案】A【命题意图】本题考查抛物线的方程、焦点弦的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】记直线 l的倾斜角为，不妨设090，则|2|5OMFONFSMFSNF=，即1 cos21 cos5=+，得3cos7=，则22 10sin1 cos7=，则2249|sin5pMN=，解得4p=，故21628 10222sin52 107PMNOMNpSS=，故选 A 7【答案】C【命题意图】本题考查点到直线的距离、圆的方程，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】易知点（a，b）在曲线22:|0C xyxy+=，曲线 C 关于原点中心对称；而|3|2abd+=表示曲线 C 上的点（a，b）到直线:30l xy+=的距离，可知临界状态为直线 l 与曲线 C 分别在第一、三象限相切，则 d 的最小值为22，最大值为5 22，故|3|ab+的最小值与最大值之和为1 56+=，故选 C 8【答案】A【命题意图】本题考查抛物线的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】作点 E 关于线段1D B的对称点1E，过点1E作11DC，AB 的垂线，垂足分别为1F，H，则111GEGFEGGFE F+=+，设1E BA=，则 学科网（北京）股份有限公司 11122111sinsin()33333ABDC BD=，故112 2sin3E HBE=，112 210 24 233E F=，故实数 的取值范围为10 2(,3，故选 A 二、选择题二、选择题 9【答案】AD【命题意图】本题考查基本不等式，考查数学运算、逻辑推理的核心素养【解析】32111 122mnm n+=，则12mn，当且仅当22mn=时等号成立，故 A 正确；2221mnmn+，当且仅当22mn=时等号成立，故 B 错误；若22mn=，则322mn+=，故 C 错误；222111141()()4()422mnmnmnmnmnmnmnmnmnmn+，而1122mnmnmnmn+=，当且仅当1mn=时等号成立，故 D 正确；故选 AD 10【答案】ACD【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】该正八面体结构的表面积22382 34Smm=，故 A 正确；该正八面体结构的体积231232322Vmmm=，故 B 错误；该正八面体结构的外接球表面积22(2)2Smm=，故C 正确；该正八面体结构的内切球半径323222 32 3VmmrSm=，故内切球的表面积22224()32 3mmS=，故 D 正确；故选 ACD 11【答案】AB【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】依题意，2e1 2ln0 xaxxx+在（0，）上恒成立，当12a时，222 lnee1 2ln1lne1lnxxxxaxxxxxxxx+=+，令()e1th tt=，()e1th t=，故当t(,0)时，()0h t，故()(0)0h th=，故2 lne1ln0 xxxx+，则 学科网（北京）股份有限公司 不等式成立；当12a 时，令()2lnu xxx=，因为(1)10u=，故 u（x）在（1，4）内必有零点，设为0 x，则002lnxx=，则020exx=，故020000e1 2ln(1 2)0 xaxxa xx+=，不合题意，舍去；综上所述，12a，故选 AB 三、填空题 12【答案】12【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查数学运算、逻辑推理的核心素养【解析】易知 f（x）为奇函数，则332()log(92)log(3)3xxxmg xmx=+=+为偶函数，即()()gxg x=，33log(323)log(323)xxxxmm+=+，则21m=，则12m=13【答案】90（2 分），12（3 分）【命题立意】本题考查正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查数学运算、逻辑推理的核心素养【解析】依题意，sinsinsinsincosABDBADABDADBABD=，得sincossinBADABDADB=；在ABD中，由正、余弦定理可知，2222BDABBDADABAB BD+=，整理得222ADBDAB+=，故90ADB=；因为13DCAB=，故13BCDABDSS=；又|2DC=，则|6AB=，而2236ADBD+=，故22422123332ABCDABDBCDABDADBDSSSSAD BD+=+=，当且仅当3 2ADBD=时等号成立 14【答案】13【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】依题意，2OPPF，而 O 为线段12FF的中点，且2F PPQ=，则12QFQF，令2|PFm=，则1|2PFma=+，2|2QFm=，1|22QFma=，在12RtQFF和1RtQFP中，由勾股定理可得，222222222(22)44,(22)(2),mamcmammacab+=+=+=+解得13ca=，则13cea=学科网（北京）股份有限公司 四、解答题 15【命题意图】本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的期望，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养【解析】（1）依题意，小甲获胜 3 次且失利 1 次，则33434()C(1)44,01F pppppp=+，当3(,1)4p时，()0Fp，则 F（p）在3(0,)4上单调递增，在3(,1)4上单调递减，故034p=；（2）由（1）可知，小甲参加 A，B，C 游戏获胜的概率分别为12，37，38；记 Z代金券金额100，若小甲参加 A 游戏，则111()50(100)2522E Z=+=；若小甲参加 B 游戏，则234100()100(100)777E Z=+=；若小甲参加 C 游戏，则33525()200(100)882E Z=+=；因为123()()()E ZE ZE Z成立，故12222myym+=+，12212y ym=+，由椭圆定义得1PQF的周长为44 2a=；而1PQF的内切圆半径为34，则1PQF的面积1364 2242S=；又由1221121|2SFFyyyy=，得216|2yy=；从而得221123()42yyy y+=，即222243()222mmm+=+，整理得423440mm=，解得22m=，故2m=，故直线 PQ 的方程为210 xy=18【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养【解析】（1）依题意，()ln(1),(1,)f xxx x=+，故1()11fxx=+，令()0fx=，解得0 x=，故当(1,0)x 时，()0fx，当(0,)x+时，()0fx，故 f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，）上单调递减，故()(0)0f xf=；（2）依题意，22()sin03ln(1)sin0322xxf xxmx+=+=，令2()3ln(1)sin2xg xxmx=+，3()cos12xg xmx=+，23()sin(1)22xgxx=+，学科网（北京）股份有限公司 当(1,0)x 时，2333(1)1x=+，sin(,0)222x，则()0gx，当(0,2)x时，230(1)x+，sin022x，则()0gx，故 g（x）在（1，2）上单调递减 当0m时，(1,2)x 时，()(2)0g xgm=，所以 g（x）单调递增 又因为(0)0g=，所以 g（x）仅有 1 个零点；当40m，(2)0gm=，故 g（x）存在唯一的零点0 x，且002x，所以 g（x）单调递增；当0(,2)xx时，()0g x=，所以若(2)3ln320gm=+，即3ln342m 时，g（x）在0,2)x上有唯一的零点，g（x）在（1，2）上有 2 个零点；若3ln302m，所以 g（x）单调递增；当(0,2)x时，()0g x，所以 g（x）单调递减，故()(0)0g xg=，当且仅当0 x=时取等号，故此时 g（x）仅有 1 个零点 0；当4m +，因此23()102111mgmmmm+=+，且2101mm+又(0)40gm=+，故 g（x）存在唯一的零点0 x，010 x，所以 g（x）单调递增；当0(,2)xx时，()0g x，所以 g（x）单调递减 因为(0)0g=，故 g（x）在0(,2)x上有唯一的零点 0，注意到()3ln(1)1g xxm+，故1133(e1)3lne10mmgm+=，且131e0m=，因此 g（x）在0(1,x上有唯一的零点，故此时 g（x）有两个零点；综上所述，当3ln32m，12nnaa+；设*1|,nnSn aan+=N，若S=，则12aa，*1(2,)iiaaii+，取112Ana=+（x表示不超过 x 的最大整数），当1nn时，11232223121()()()(1)nnnnnnnaaaaaaaaaaaana=+=+11111(1)(1)nAAnaaaAaa=+=；若S ，）若 S 为有限集，设*1max|,nnmn aan+=N，*1()m im iaai+，取211mAnma+=+（x表示不超过 x 的最大整数），当2nn时，112211231()()()nnnnnmmmnnmmaaaaaaaaaaaa+=+=+1211111()()(1)mmmmmmAAnm anm aaaAaa+=+=；学科网（北京）股份有限公司）若 S 为无限集，设*11min|,nnpn aan+=N，*11min|,()innipn aanpi+=N，若11iipp+=，则12iiipppaaa+，又12max,iiipppaaa+，12iippaa+；因为123iiipppaaa+=，所以111(2)13211iiiiiiiipppppppimaaaaaaam+=；当13iipp+时，1iippaa+，112iiipppaaa+因为11111iiipppaaa+=，故111111112iiiiiipppppimaaaaam+=；因为11121iiipppaaa+=，故11111211121iiiiiippppippaaaamamam+=+，故对任意0A，取31 1Anm=+，当3kn时，112211122222222121()()()(1)kkkkkpppppppppaaaaaaaakmakm+=+1111(1)AAmmAmm+=；综上所述，不存在实数 A，使得*,nnaA N 综上所述，不存在实数 A，使得对任意的正整数 n，都有naA