2024年高考数学一模好题分类汇编--平面向量、概率、统计、计数原理含答案.pdf

1平面向量、概率、统计、计数原理题型01 平面向量题型02 概率题型03 统计题型04 计数原理题型01 平面向量题型02 概率题型03 统计题型04 计数原理题型01平面向量题型01平面向量1.(2024辽宁沈阳统考一模)(2024辽宁沈阳统考一模)已知单位向量a,b满足a a-2b，则 a,b=()A.23B.3C.4D.62.(2024重庆统考一模)(2024重庆统考一模)已知向量a,b满足 a=2,b=3,a-2b=5，则ab=3.(2024福建厦门统考一模)(2024福建厦门统考一模)已知a，b为单位向量，若|a+b|=|a-b|，则a+b与a-b的夹角为()A.3B.2C.23D.344.(2024云南曲靖统考一模)(2024云南曲靖统考一模)若向量a=4,0，b=1,3，则向量a在向量b上的投影向量坐标为5.(2024山东济南山东省实验中学校考一模)(2024山东济南山东省实验中学校考一模)若 a+b=a-b,a=1,2,b=m,3，则实数m=()A.6B.-6C.3D.-36.(2024新疆乌鲁木齐统考一模)(2024新疆乌鲁木齐统考一模)已知向量a=(1，2)，b=(1，-3)，则()A.a(a+b)B.a(a-b)C.a(a-b)D.a(a+b)7.(2024广西南宁南宁三中校联考一模)(2024广西南宁南宁三中校联考一模)已知向量a=1,m,b=3,-1若 2a-b a+2b，则实数m的值为8.(2024山西晋城统考一模)(2024山西晋城统考一模)已知两个单位向量a，b的夹角为70，则-a与a+b的夹角为9.(2024河北校联考一模)(2024河北校联考一模)已知单位向量a,b满足 2a+b=3，则 a-b=.10.(2024广东深圳校考一模)(2024广东深圳校考一模)已知向量a=1,m，b=3,-2，且(a+b)b，则m=A.-8B.-6C.6D.811.(2024浙江校联考一模)(2024浙江校联考一模)已知平面向量a,b满足：b=2 a=2,a与b的夹角为120，若 a+ba-bR R，则=()A.0B.1C.32D.5212.(2024江西吉安吉安一中校考一模)(2024江西吉安吉安一中校考一模)已知向量a,b满足 a=1,b=t,2-t,a-b与a垂直，则 a-b的最小值为()A.2B.22C.1D.32024年高考数学一模好题分类汇编-平面向量、概率、统计、计数原理2题型题型0202 概率 概率13.(20242024 广东深圳广东深圳 校考一模校考一模)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x，则这6个点数的中位数为4的概率为()A.16B.13C.12D.2314.(20242024 辽宁沈阳辽宁沈阳 统考一模统考一模)下图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中3a=5b,2b=3c，则()A.a=0.5B.E X=2.3C.D X=0.61D.D 2X=1.2215.(20242024 重庆重庆 统考一模统考一模)已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且XN 5.5,2，P(x6)=0.2现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为()A.0.642B.0.648C.0.722D.0.74816.(20242024 河北河北 校联考一模校联考一模)在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲乙丙丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为()A.19B.49C.13D.82717.(20242024 湖南长沙湖南长沙 雅礼中学校考一模雅礼中学校考一模)甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是()A.A1，A2互斥B.P B A1=57C.P A2B=17D.P B=132118.(20242024 河南郑州河南郑州 郑州市宇华实验学校校考一模郑州市宇华实验学校校考一模)已知某人每次投篮的命中率为p 0p1=p，则P-10=12-pD.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.21.(20242024 江西吉安江西吉安 吉安一中校考一模吉安一中校考一模)为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲 乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35.(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；(2)若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.22.(20242024 广东深圳广东深圳 校考一模校考一模)某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望423.(20242024 辽宁沈阳辽宁沈阳 统考一模统考一模)某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.24.(20242024 云南曲靖云南曲靖 统考一模统考一模)2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动比赛采用2n-1局n胜制 nN*的比赛规则，即先赢下n局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1-p，比赛结束时，甲最终获胜的概率Pn(1)若p=12,n=2，结束比赛时，比赛的局数为X，求X的分布列与数学期望；(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即P3P2，求p的取值范围525.(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一模)一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有12的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有34的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有14的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.(1)求第4次闪光为红光的概率；(2)求第n次闪光为红光的概率.26.(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一模)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙不相互独立D.丙与丁不相互独立27.(20242024 新疆乌鲁木齐新疆乌鲁木齐 统考一模统考一模)在工业生产中轴承的直径服从N 3.0,0.0025，购买者要求直径为3.0，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则至少为；(若XN,2，则P X-2=0.9545)28.(20242024 江西吉安江西吉安 吉安一中校考一模吉安一中校考一模)高一(1)班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为()A.1384B.34C.38D.11629.(20242024 广西南宁广西南宁 南宁三中校联考一模南宁三中校联考一模)某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为12，没有思路的题目只好任意猜一个答案若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为()A.14B.732C.316D.532630.(20242024 山西晋城山西晋城 统考一模统考一模)某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，统计了这200个果实的果籽数量，得到下列频数分布表：果籽数量1234水果数100504010(1)求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数(2)已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如下表所示：果籽数量1234价格/元201286以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为X元，求X的分布列与数学期望31.(20242024 山西晋城山西晋城 统考一模统考一模)某羽毛球超市销售4种品牌(品牌A，B，C，D)的羽毛球，该超市品牌A，B，C，D的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3，品牌A，B，C，D的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为(填入A，B，C，D中的1个)732.(20242024 河北河北 校联考一模校联考一模)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p(0p1)现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次记X为试验结束时所进行的试验次数，X的数学期望为E X(1)证明：E X0)元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由33.(20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考一模)某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为1591.(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.834.(20242024 吉林延边吉林延边 统考一模统考一模)“斯诺克(Snooker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍 障碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲 乙两人进行比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球)，没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为13，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为12，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.(1)求甲以31赢得比赛的概率；(2)设比赛的总局数为，写出随机变量的分布列并求其数学期望E().35.(20242024 湖南长沙湖南长沙 雅礼中学校考一模雅礼中学校考一模)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4.求P1,P2,P3,P4；(3)对于事件A,B,C，当P AB0时，写出P A,P BA,P CAB,P ABC的等量关系式，并加以证明.936.(20242024 福建厦门福建厦门 统考一模统考一模)已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者a,b,c,d将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队(1)求a,b,c三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为n1，n2，设随机变量X=n1-n2，求E(X)题型题型0303 统计 统计37.(20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考一模)在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：10,7,6,9,8,9,5，这组数据的中位数和众数分别是()A.7,9B.9,9C.9,8D.8,938.(20242024 江西吉安江西吉安 吉安一中校考一模吉安一中校考一模)某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：858788898990919192939393949698则这组数据的40%分位数为()A.90B.91C.90.5D.9239.(20242024 河北河北 校联考一模校联考一模)现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为()A.3.5B.4C.4.5D.540.(20242024 湖南长沙湖南长沙 雅礼中学校考一模雅礼中学校考一模)已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是()A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变1041.(20242024 重庆重庆 统考一模统考一模)2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则()A.x=88,y=90B.x=83,y=90C.x=83,y=85D.x=88,y=8542.(20242024 福建厦门福建厦门 统考一模统考一模)已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则()A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同43.(20242024 广东深圳广东深圳 校考一模校考一模)某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y与x线性相关，其线性回归方程为y=bx+7.1，则下列说法正确的是()A.线性回归方程必过 3,140B.b=44.3C.相关系数r6)=0.2现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为5()A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得P(x5.5)=0.5，则P(5.5x6)=0.5-0.2=0.3，则P(5x6)=0.32=0.6，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为C230.620.4+C330.63=0.648,故选：B.16.(20242024 河北河北 校联考一模校联考一模)在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲乙丙丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为()A.19B.49C.13D.827【答案】B【分析】分别求出“甲乙丙丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.【详解】甲乙丙丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34=81种；每个地区至少安排1名专家的安排方法有：C24A33=36种；由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：3681=49.故选：B.17.(20242024 湖南长沙湖南长沙 雅礼中学校考一模雅礼中学校考一模)甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是()A.A1，A2互斥B.P B A1=57C.P A2B=17D.P B=1321【答案】C【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为每次只取一球，故A1，A2是互斥的事件，故A正确；由题意得P A1=13，P A2=23，P B A1=57，P B A2=47，P B=P A1B+P A2B=1357+2347=1321，故B，D均正确；因为P A2B=2347=821，故C错误.故选：C.18.(20242024 河南郑州河南郑州 郑州市宇华实验学校校考一模郑州市宇华实验学校校考一模)已知某人每次投篮的命中率为p 0p1，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则4D X-32E X的最大值为【答案】2-2 3/-2 3+2【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得E X=p，0p1=p，则P-10=12-pD.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得 p=13，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确.【详解】对于A，XB n,p，E X=np=30D X=np 1-p=20，1-p=23，解得：p=13，A错误；对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，1045%=4.5，45%分位数为第5个数，即78，B正确；对于C，N 0,1，P-10=121-P 1-P 1=12-p，C正确；对于D，抽样比为20400=120，高二应抽取360120=18人，则高三应抽取57-20-18=19人，D正确.故选：BCD.21.(20242024 江西吉安江西吉安 吉安一中校考一模吉安一中校考一模)为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲 乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获7胜的概率都是35.(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；(2)若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.【答案】(1)5823125；(2)分布列答案见解析，数学期望：1966625.【分析】(1)比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解；(2)分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和E X.【详解】解：(1)比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为P1=C453542535=4863125，恰好打了6局，乙获胜的概率为P2=C1535125425=963125，所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P=P1+P2=4863125+963125=5823125.(2)X的可能取值为2，3，4，5，P X=2=352=925，P X=3=C12253535=36125，P X=4=C133525235+254=124625，P X=5=C143525335+C342533525=96625.所以X的分布列如下：X2345P9253612512462596625故E X=2925+336125+4124625+596625=1966625.22.(20242024 广东深圳广东深圳 校考一模校考一模)某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望【答案】(1)415；(2)分布列见解析，193.【分析】(1)利用古典概率公式即求；(2)由题可知X的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.【详解】(1)从这6人中随机选出2人，共有C26=15种选法，其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有C23+C22=4种，故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为415(2)由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，P X=5=C13C26=15，P X=6=C23+C12C26=13，P X=7=C13C12C26=25，P X=8=C22C26=1158故X的分布列为：X5678P151325115E X=515+613+725+8115=19323.(20242024 辽宁沈阳辽宁沈阳 统考一模统考一模)某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析【分析】(1)利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；(2)利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.【详解】(1)解：设事件M:用户选择甲公司的网约车出行，事件A:用户对等待时间满意，事件B:用户对乘车舒适度满意，事件C:用户对乘车费用满意.则P A=P MP A M+P MP A M=0.320.62+0.680.78=0.7288，P B=P MP B M+P MP B M=0.320.68+0.680.61=0.6324，P C=P MP C M+P MP C M=0.320.21+0.680.32=0.2848所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.(2)解：由题知，P M B=P MBP B=0.320.680.6324=5441581，P MB=P MBP B=0.680.610.6324=10371581，所以，P M BP2，求p的取值范围9【答案】(1)分布列见解析，期望为52；(2)12p0，得12p1.25.(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一模)一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有12的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有34的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有14的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.(1)求第4次闪光为红光的概率；(2)求第n次闪光为红光的概率.【答案】(1)316(2)45-14n-1+15【分析】(1)由互斥加法、独立乘法公式运算即可求解.(2)由全概率公式得递推 f(n)=14-14f(n-1)式，构造等比数列f(n)-15 即可求解.【详解】(1)由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，所以P=123414+123414=316.(2)设事件An表示“第n次闪光为红光”，事件Bn表示“第n次闪光为黄光”，事件Cn表示“第n次闪光为蓝光”，且P An=f(n)，P Bn=g(n)，则P Cn=1-f(n)-g(n)，由题意知 f(1)=P A1=1，当n2时，P An=P Bn-1P AnBn-1+P Cn-1P AnCn-1，即 f(n)=14g(n-1)+141-f(n-1)-g(n-1)，整理得 f(n)=14-14f(n-1)，10所以 f(n)-15=-14f(n-1)-15，所以f(n)-15 是以 f(1)-15=45为首项，-14为公比的等比数列，所以 f(n)-15=45-14n-1，故P An=f(n)=45-14n-1+15，即第n次闪红光的概率为45-14n-1+15.26.(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一模)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙不相互独立D.丙与丁不相互独立【答案】BCD【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】两次取出的球的数字之和为8，有 2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种情况，所以P 丙=566=536；两次取出的球的数字之和为7，有 1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6种情况，所以P 丁=666=16；P 甲=P 乙=16；对于A，P(甲丙)=0P(甲)P(丙)，故甲与丙不相互独立，错误；对于B，P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)，故甲与丁相互独立，正确；对于C，P(乙丙)=136P(乙)P(丙)，故乙与丙不相互独立，正确；对于D，P(丙丁)=0P(丁)P(丙)，故丙与丁不相互独立，正确.故选：BCD.27.(20242024 新疆乌鲁木齐新疆乌鲁木齐 统考一模统考一模)在工业生产中轴承的直径服从N 3.0,0.0025，购买者要求直径为3.0，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则至少为；(若XN,2，则P X-2=0.9545)【答案】0.1/110【分析】依题意得=3.0，2=0.0025，则=0.05，由P X-3.00.1=0.9545，得P X-3.00.1=1-0.9545=0.0455，即可求解.【详解】若XN,2，则P X-2=0.9545)因为工业生产中轴承的直径服从N(3.0，0.0025)，所以=3.0，2=0.0025，则=0.05，由P X-3.00.8，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌B若他不买品牌A的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.933+2+3+0.723+2+3+0.633+2+3=5.98=0.7375若他不买品牌C的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.844+3+3+0.934+3+3+0.634+3+3=7.710=0.77若他不买品牌D的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.844+3+2+0.934+3+2+0.724+3+2=7.390.8113故答案为：D32.(20242024 河北河北 校联考一模校联考一模)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p(0p1)现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次记X为试验结束时所进行的试验次数，X的数学期望为E X(1)证明：E X0)元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)应该投资，理由见解析【分析】(1)由题意，X=1,2,3,.,8，P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,7,P(X=8)=(1-p)7，列出分布列，列出E(X)，乘公比错位相减法求和S=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+7(1-p)6，分析可证明E X1p；(2)由(1)可得E(X)1p=5，分析即得解【详解】(1)由题意，X=1,2,3,.,8故P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,7,P(X=8)=(1-p)7分布列如下：X12345678Ppp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4p(1-p)5p(1-p)6(1-p)7所以X的数学期望E(X)=p(1-p)0+2p(1-p)1+3p(1-p)2+7p(1-p)6+8(1-p)7，记S=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+7(1-p)6，(1-p)S=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+7(1-p)7，作差可得，pS=1-p0+1-p1+1-p2+1-p6-7 1-p7=1-1-p7p-7 1-p7，则E(X)=pS+8(1-p)7=1-(1-p)7p+(1-p)7=1-(1-p)8p1p；(2)由(1)可知E(X)5a，则该公司应该投资该产品33.(20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考一模)某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为1591.(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)1419(2)分布列见解析，127【分析】(1)根据题意可知共有 m+6个团队，根据全是私家游团队的概率结合古典概型求出m，再分3个团队全是私家游团队和3个团队全是跟团游团队两种情况讨论，结合古典概型即可得解；14(2)先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，从而可得分布列，再根据期望公式求期望即可.【详解】(1)由题意知共有 m+6个团队，一次抽取2个团队的情况有C2m+6种，其中全是私家游团队的情况有C26种，故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是C26C2m+6=30m+6m+5=1591，整理得m2+11m-152=0，解得m=8或m=-19(舍去)，若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有C36=20种情况，若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有C38=56种情况，所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，这3个团队全是跟团游团队的概率为5620+56=1419；(2)由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，P=0=C48C414=701001=10143，P=1=C16C38C414=3361001=48143，P=2=C26C28C414=4201001=60143，P=3=C36C18C414=1601001，P=4=C46C414=151001，故的分布列为01234P1014348143601431601001151001数学期望E=010143+148143+260143+31601001+4151001=127.34.(20242024 吉林延边吉林延边 统考一模统考一模)“斯诺克(Snooker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍 障碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲 乙两人进行比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球)，没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为13，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为12，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.(1)求甲以31赢得比赛的概率；(2)设比赛的总局数为，写出随机变量的分布列并求其数学期望E().【答案】(1)536；(2)分布列见解析，数学期望为4912.【分析】(1)设出事件，利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式进行计算；(2)求出随机变量的可能取值及相应的概率，从而求出分布列和数学期望.【详解】(1)记第i局甲赢为事件Ai，乙赢为事件Bi，则P(A)=P A1A2B3A4+P A1B2A3A4+P B1A2A3A4=13122312+13121312+23121312=53615(2)由题意知的取值为3，4，5.P=3=P A1A2A3+P B1B2B3=131213+231223=518P=4=P A1A2B3A4+P A1B2A3A4+P B1A2A3A4+P B1B2A3B4+P B1A2B3B4+P A1B2B3B4=536+23121312+23122312+13122312=536+836=1336P=5=1-518-1336=1336由题意得，随机变量的分布列如下：345P51813361336数学期望E=3518+41336+51336=14736=4912.35.(20242024 湖南长沙湖南长沙 雅礼中学校考一模雅礼中学校考一模)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4.求P1,P2,P3,P4；(3)对于事件A,B,C，当P AB0时，写出P A,P BA,P CAB,P ABC的等量关系式，并加以证明.【答案】(1)710(2)详见解析(3)详见解析【分析】(1)根据全概率公式求解即可；(2)根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；(3)根据(2)猜想P ABC=P AP B AP