浙江省强基联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试题含答案.pdf

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浙江省强基联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试题含答案.pdf

?高三数学?第?页?共?页?设点?是抛物线?上?个不同的点?且?若抛物线上存在点?使得线段?总被直线?平分?则点?的横坐标是?二?多项选择题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的选项中?有多项符合题目要求?全部选对的得?分?部分选对的得部分分?有选错的得?分?有两组样本数据?其中?则这两组样本数据的?样本平均数相同?样本中位数相同?样本方差相同?样本极差相同?已知?的内角?的对边分别是?若?则?若?则?若?成等比数列?则?若?成等差数列?则?已知正方体?的棱长为?过棱?的中点作正方体的截面?则?截面多边形的周长为槡槡?截面多边形的面积为?槡?截面多边形存在外接圆?截面所在平面与平面?所成角的正弦值为槡?三?填空题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?已知向量?若?则实数?点?关于直线?的对称点在圆?内?则实数?的取值范围是?用?表示不超过?的最大整数?已知数列?满足?若?则?若?则?四?解答题?本大题共?小题?共?分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?本题满分?分?已知函数?槡?求?的值?求函数?的单调递增区间?高三数学?第?页?共?页?浙江强基联盟?学年第二学期高三?月联考数学试题注意事项?答题前?考生务必将自己的姓名?考生号?考场号?座位号填写在答题卡上?回答选择题时?选出每小题答案后?用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?如需改动?用橡皮擦干净后?再选涂其他答案标号?回答非选择题时?将答案写在答题卡上?写在本试卷上无效?考试结束后?将本试卷和答题卡一并交回?本试卷主要考试内容?高考全部内容?一?单项选择题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?已知集合?则?已知?是虚数单位?则?现有一项需要用时两天的活动?每天要从?人中安排?人参加?若其中甲?乙?人在这两天都没有参加?则不同的安排方式有?种?种?种?种?已知?则?若?则?是?的?充分而不必要条件?必要而不充分条件?充分必要条件?既不充分也不必要条件?的展开式中?的系数为?已知函数?的定义域为?且?若?则函数?以?为周期?最大值是?在区间?上单调递减?既不是奇函数也不是偶函数#QQABSYAUggCgABAAAAgCQwF4CkEQkBGCAKoGxEAIIAAByANABAA=#?高三数学?第?页?共?页?设点?是抛物线?上?个不同的点?且?若抛物线上存在点?使得线段?总被直线?平分?则点?的横坐标是?二?多项选择题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的选项中?有多项符合题目要求?全部选对的得?分?部分选对的得部分分?有选错的得?分?有两组样本数据?其中?则这两组样本数据的?样本平均数相同?样本中位数相同?样本方差相同?样本极差相同?已知?的内角?的对边分别是?若?则?若?则?若?成等比数列?则?若?成等差数列?则?已知正方体?的棱长为?过棱?的中点作正方体的截面?则?截面多边形的周长为槡槡?截面多边形的面积为?槡?截面多边形存在外接圆?截面所在平面与平面?所成角的正弦值为槡?三?填空题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?已知向量?若?则实数?点?关于直线?的对称点在圆?内?则实数?的取值范围是?用?表示不超过?的最大整数?已知数列?满足?若?则?若?则?四?解答题?本大题共?小题?共?分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?本题满分?分?已知函数?槡?求?的值?求函数?的单调递增区间?高三数学?第?页?共?页?浙江强基联盟?学年第二学期高三?月联考数学试题注意事项?答题前?考生务必将自己的姓名?考生号?考场号?座位号填写在答题卡上?回答选择题时?选出每小题答案后?用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?如需改动?用橡皮擦干净后?再选涂其他答案标号?回答非选择题时?将答案写在答题卡上?写在本试卷上无效?考试结束后?将本试卷和答题卡一并交回?本试卷主要考试内容?高考全部内容?一?单项选择题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?已知集合?则?已知?是虚数单位?则?现有一项需要用时两天的活动?每天要从?人中安排?人参加?若其中甲?乙?人在这两天都没有参加?则不同的安排方式有?种?种?种?种?已知?则?若?则?是?的?充分而不必要条件?必要而不充分条件?充分必要条件?既不充分也不必要条件?的展开式中?的系数为?已知函数?的定义域为?且?若?则函数?以?为周期?最大值是?在区间?上单调递减?既不是奇函数也不是偶函数#QQABSYAUggCgABAAAAgCQwF4CkEQkBGCAKoGxEAIIAAByANABAA=#?高三数学?第?页?共?页?本题满分?分?已知椭圆?的左?右顶点分别为?点?为直线?上的动点?求椭圆?的离心率?若?求点?的坐标?若直线?和直线?分别交椭圆?于?两点?请问?直线?是否过定点?若是?求出定点坐标?若不是?请说明理由?本题满分?分?已知函数?当?时?记函数?的导数为?求?的值?当?时?证明?当?时?令?的图象在?处切线的斜率相同?记?的最小值为?求?的最小值?注?是自然对数的底数?高三数学?第?页?共?页?本题满分?分?小强和小基两位同学组成?联盟队?参加两轮猜灯谜活动?每轮活动由小强?小基各猜一个灯谜?他们猜对与否互不影响?若两人都猜对?则得?分?若仅一人猜对?则得?分?若两人都没猜对?则得?分?已知小强每轮猜对的概率是?小基每轮猜对的概率是?各轮结果互不影响?求?联盟队?猜对?个灯谜的概率?求?联盟队?两轮得分之和?的分布列和数学期望?本题满分?分?如图?在四棱锥?中?四边形?为直角梯形?平面?平面?点?是?的中点?证明?点?是?的中点?当直线?与平面?所成角的正弦值为槡?时?求四棱锥?的体积?#QQABSYAUggCgABAAAAgCQwF4CkEQkBGCAKoGxEAIIAAByANABAA=#?高三数学?第?页?共?页?本题满分?分?已知椭圆?的左?右顶点分别为?点?为直线?上的动点?求椭圆?的离心率?若?求点?的坐标?若直线?和直线?分别交椭圆?于?两点?请问?直线?是否过定点?若是?求出定点坐标?若不是?请说明理由?本题满分?分?已知函数?当?时?记函数?的导数为?求?的值?当?时?证明?当?时?令?的图象在?处切线的斜率相同?记?的最小值为?求?的最小值?注?是自然对数的底数?高三数学?第?页?共?页?本题满分?分?小强和小基两位同学组成?联盟队?参加两轮猜灯谜活动?每轮活动由小强?小基各猜一个灯谜?他们猜对与否互不影响?若两人都猜对?则得?分?若仅一人猜对?则得?分?若两人都没猜对?则得?分?已知小强每轮猜对的概率是?小基每轮猜对的概率是?各轮结果互不影响?求?联盟队?猜对?个灯谜的概率?求?联盟队?两轮得分之和?的分布列和数学期望?本题满分?分?如图?在四棱锥?中?四边形?为直角梯形?平面?平面?点?是?的中点?证明?点?是?的中点?当直线?与平面?所成角的正弦值为槡?时?求四棱锥?的体积?#QQABSYAUggCgABAAAAgCQwF4CkEQkBGCAKoGxEAIIAAByANABAA=#浙江强基联盟浙江强基联盟 2023 学年第二学期高三学年第二学期高三 3 月联考数学学科参考解析月联考数学学科参考解析一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的CBDD,CADA7.解：令0,()()2cosxyt f tftt,()()022xt yftf t；,+,(+)()2sin22xyt ftftt 由以上 3 式，得到()sincos2sin()4f xxxx.因此选 D.8解：设22120012(,),(,),(,)44yyA xyByCy，则直线 BC 方程为：1212()4yyyxy y，由ABAC得2120120()+160yyyy yy带入直线 BC 方程得到120()4(4)yyyxx，即直线 BC 过点00(4,)ExyA 关于点 E 的对称点即为点00(8,3)Dxy在抛物线上，代入得01x，因此选 A.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，全选对得分，全选对得 6 分，部分对得部分分，有错误得分，部分对得部分分，有错误得 0 分分.9.CD.10.ACD.D 选项，由sinsin2sinACB得到1tantan223AC11.AB.连 QR，延长交直线1111,C D C B的延长线于点 F，E，连 PF 交1DD于 N，连 PE 交1BB于M，连QN,RM得到截面五边形PNQRM.由Q,R为中点，2 103MPNP,因此周长为22 10，故 A 正确.同理 B 正确.这个五边形没有外接圆，因此 C 错误.截面与底面所成角的正弦值为2211，因此 D 错误.因此选 AB.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 15 分分12.113.410a14.223n,22114(1)0,3nnnaaaa，11,1(1)nnnnnaa aa a 由111111nnnaaa得2024112025202511113111iiaaaa由143a，得到20252a，则2024112iia.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分 13 分）解：()()16f 5 分()21()sin=sin3sin cossin(2)26yf xxxxxx9 分所以所求的单调增区间为2,(Z)63kkk13 分.16.（本题满分 15 分）解：记事件iA：两轮猜谜中，小强猜中第 i 个；事件iB：两轮猜谜中，小基猜中第 i 个.（1,2i）()P=1212()P A A B B=22231()()3445 分()“联盟队”两轮得分之和 X=0，1，2，3，4，622111(0)()()43144P X 1212223 1 11 2 35(1)()+()4 4 33 3 472P XCC1222223 1 1 2132125(2)()()+()()4 4 3 33434144P XC123 1 1 21(3)4 4 3 312P XC5(4)12P X 22231(6)()()344P X 所以“联盟队”两轮得分之和 X 的分布列为X012346P11445722514411251214所求数学期望23()6E X 15 分17（本题满分 15 分）解：（）由,QAQDQMAD，由平面QAD 平面ABCD平面QAD平面ABCD=AD，QMABCDQMBD面5 分（）解法一：取 BC 中点 F，连 MF,FQ，,QMBC MFBCBCQMF面作MGQFGGN于，连BCMGMGQBC，面MNGMNQBC是与面所成的角设30,32QMaMFMC第 1 页，共 4 页#QQABSYAUggCgABAAAAgCQwF4CkEQkBGCAKoGxEAIIAAByANABAA=#浙江强基联盟浙江强基联盟 2023 学年第二学期高三学年第二学期高三 3 月联考数学学科参考解析月联考数学学科参考解析一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的CBDD,CADA7.解：令0,()()2cosxyt f tftt,()()022xt yftf t；,+,(+)()2sin22xyt ftftt 由以上 3 式，得到()sincos2sin()4f xxxx.因此选 D.8解：设22120012(,),(,),(,)44yyA xyByCy，则直线 BC 方程为：1212()4yyyxy y，由ABAC得2120120()+160yyyy yy带入直线 BC 方程得到120()4(4)yyyxx，即直线 BC 过点00(4,)ExyA 关于点 E 的对称点即为点00(8,3)Dxy在抛物线上，代入得01x，因此选 A.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，全选对得分，全选对得 6 分，部分对得部分分，有错误得分，部分对得部分分，有错误得 0 分分.9.CD.10.ACD.D 选项，由sinsin2sinACB得到1tantan223AC11.AB.连 QR，延长交直线1111,C D C B的延长线于点 F，E，连 PF 交1DD于 N，连 PE 交1BB于M，连QN,RM得到截面五边形PNQRM.由Q,R为中点，2 103MPNP,因此周长为22 10，故 A 正确.同理 B 正确.这个五边形没有外接圆，因此 C 错误.截面与底面所成角的正弦值为2211，因此 D 错误.因此选 AB.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 15 分分12.113.410a14.223n,22114(1)0,3nnnaaaa，11,1(1)nnnnnaa aa a 由111111nnnaaa得2024112025202511113111iiaaaa由143a，得到20252a，则2024112iia.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分 13 分）解：()()16f 5 分()21()sin=sin3sin cossin(2)26yf xxxxxx9 分所以所求的单调增区间为2,(Z)63kkk13 分.16.（本题满分 15 分）解：记事件iA：两轮猜谜中，小强猜中第 i 个；事件iB：两轮猜谜中，小基猜中第 i 个.（1,2i）()P=1212()P A A B B=22231()()3445 分()“联盟队”两轮得分之和 X=0，1，2，3，4，622111(0)()()43144P X 1212223 1 11 2 35(1)()+()4 4 33 3 472P XCC1222223 1 1 2132125(2)()()+()()4 4 3 33434144P XC123 1 1 21(3)4 4 3 312P XC5(4)12P X 22231(6)()()344P X 所以“联盟队”两轮得分之和 X 的分布列为X012346P11445722514411251214所求数学期望23()6E X 15 分17（本题满分 15 分）解：（）由,QAQDQMAD，由平面QAD 平面ABCD平面QAD平面ABCD=AD，QMABCDQMBD面5 分（）解法一：取 BC 中点 F，连 MF,FQ，,QMBC MFBCBCQMF面作MGQFGGN于，连BCMGMGQBC，面MNGMNQBC是与面所成的角设30,32QMaMFMC第 2 页，共 4 页#QQABSYAUggCgABAAAAgCQwF4CkEQkBGCAKoGxEAIIAAByANABAA=#2222136423,sin27493 49aMGaMNaMGMNGMNaaa所以3=32QM a 或，313,23ABCDABCDSVSQM所以四棱锥-Q ABCD的体积为33342或.15 分解法二：以点 B 为坐标原点，BA，BC 所在直线为 x,y 轴，建立空间直角坐标系 B-xyz，(0,0,0),(2,0,0),(0,3,0),(1,3,0)BACD，设=0MQ a，则33(,)22Qa3 3(,3,)4 42aN，33(,)442aMN 设面 QBC 的一个法向量为0(,)0n BQnx y zn BC 代入得(2,0,3)nasin|cos,|MN n 2264273 49aaa以下同解法一.18（本题满分 17 分）解：（）椭圆 G 的离心率为2 233 分（）设(2,)Pp，直线2x 交x轴于点,Q由21212,|5PAPAPQQAQA(25)(2,5)PP，或.9 分（）(2,)Pp，112(3,0),(3,0),(3)5A PpAAlyx：代入2299xy得：2222(925)54812250pxp xp，设1122(,),(,)B x yC xy221112229(925)3(925)303,(3)9259255925ppppxxyxppp2223(925)30(,)925925ppBpp.2(3)A Plyp x：代入2299xy得：2222(91)548190pxp xp，2222222228193(91)63,(3)919191pppxxyp xppp 2223(91)6(,)9191ppCpp222224643(91),()95919591BCBCppppklyxpppp：22222412(91)695(95)(91)91ppppyxpppp2222462(91)(1)959195pppyxppp即直线BC方程为：249()952pyxp恒过定点为9(,0)217 分19.（本题满分 17 分）解：（）当12a 时，2()1()(0)=12xxexfxfe 4 分（）2()221()()22xxxxexexxf xfxee时，由221()21()0 xxexexxfx ()1,)f x在上单调递增，133()(1)cos222ef xfxe，得证.10 分（）当22()(1)2xxeag xaeax，()()(1)xxg xea e，所以()(0,ln)(,0),(ln,)g xaa在上递增，上递减由题意，()()1mng mg neea得到21()()(1)()2m ng mg naea mn由12mnmneeae e 得到2(1)04m nae，记2(1)(0,)4m nate则21()()()(1)ln2g mg nF tatat 2(1)()1,()(0,),.4aaF tF taat 在上递减，在（）上递增2min1()(1)ln2h aFaaaa当2()ln10ah aaa 时，min13(2)2ln22hh17 分第 3 页，共 4 页#QQABSYAUggCgABAAAAgCQwF4CkEQkBGCAKoGxEAIIAAByANABAA=#2222136423,sin27493 49aMGaMNaMGMNGMNaaa所以3=32QM a 或，313,23ABCDABCDSVSQM所以四棱锥-Q ABCD的体积为33342或.15 分解法二：以点 B 为坐标原点，BA，BC 所在直线为 x,y 轴，建立空间直角坐标系 B-xyz，(0,0,0),(2,0,0),(0,3,0),(1,3,0)BACD，设=0MQ a，则33(,)22Qa3 3(,3,)4 42aN，33(,)442aMN 设面 QBC 的一个法向量为0(,)0n BQnx y zn BC 代入得(2,0,3)nasin|cos,|MN n 2264273 49aaa以下同解法一.18（本题满分 17 分）解：（）椭圆 G 的离心率为2 233 分（）设(2,)Pp，直线2x 交x轴于点,Q由21212,|5PAPAPQQAQA(25)(2,5)PP，或.9 分（）(2,)Pp，112(3,0),(3,0),(3)5A PpAAlyx：代入2299xy得：2222(925)54812250pxp xp，设1122(,),(,)B x yC xy221112229(925)3(925)303,(3)9259255925ppppxxyxppp2223(925)30(,)925925ppBpp.2(3)A Plyp x：代入2299xy得：2222(91)548190pxp xp，2222222228193(91)63,(3)919191pppxxyp xppp 2223(91)6(,)9191ppCpp222224643(91),()95919591BCBCppppklyxpppp：22222412(91)695(95)(91)91ppppyxpppp2222462(91)(1)959195pppyxppp即直线BC方程为：249()952pyxp恒过定点为9(,0)217 分19.（本题满分 17 分）解：（）当12a 时，2()1()(0)=12xxexfxfe 4 分（）2()221()()22xxxxexexxf xfxee时，由221()21()0 xxexexxfx ()1,)f x在上单调递增，133()(1)cos222ef xfxe，得证.10 分（）当22()(1)2xxeag xaeax，()()(1)xxg xea e，所以()(0,ln)(,0),(ln,)g xaa在上递增，上递减由题意，()()1mng mg neea得到21()()(1)()2m ng mg naea mn由12mnmneeae e 得到2(1)04m nae，记2(1)(0,)4m 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