江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初考试数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度第二学期高三期初试卷学年度第二学期高三期初试卷 数学数学 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。上无效。3本卷满分本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。分钟。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则 75%分位数是（）A18 B20 C21 D22 2已知复数z满足1i1iz+=，则20232024zz+=（）A0 B1 C2D2 3在ABC中，2,23AAC=，且ABC的面积为32，则BC=（）A3B7C2 D3 4已知正数,a b满足1ab+=，则14ab+的最小值为（）A6 B7 C8 D9 5已知平面内的向量a在向量b上的投影向量为12b，且1ab=，则2ab的值为（）A3B1 C34D326等差数列 na的首项为 1，公差不为 0若236,a a a成等比数列，则 na的前 5 项的和为（）A15 B5 C5 D25 7已知()()140,cos,sin255于,P M两点，Q为OP中点，过Q作x轴垂线，垂足为B，直线MB交椭圆于另一点N，直线,PM PN的斜率分别为12,k k，若1 212k k=，2024届江苏镇江高三下学期期初考试数学试卷+答案 学科网（北京）股份有限公司 则粗圆离心率为（）A12 B33 C32 D63 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9已知()2fxxxm=+，下列命题正确的是（）A命题“()0,0 xfx”的否定是“0 x，使得()0fx 成立”B若命题“(),0 xfx R恒成立”为真命题，则14m C“0m”为真命题，则2m 10正方体1111ABC DABCD的 8 个顶点中的 4 个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合V，则（）AV中元素的个数为 58 BV中每个四面体的体积值构成集合S，则S中的元素个数为 2 CV中每个四面体的外接球构成集合O，则O中只有 1 个元素 DV中不存在四个表面都是直角三角形的四面体 11已知函数()sincos2fxxx=+，则下列说法正确的是（）A2是()fx的一个周期 B()fx的最小值是2 C存在唯一实数()0,2a，使得()fxa+是偶函数 D()fx在0,上有 3 个极大值点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12与圆221xy+=和圆22(2)(2)9xy+=都相切的直线方程是_ 13已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,3PCABAC=，则二面角APBC的余弦值为_ 14如果函数()fx在区间,a b上为增函数，则记为,()a bf x，函数()fx在区间,a b上为减函数，则记为 学科网（北京）股份有限公司,()a bf x已知,34mxx+，则实数m的最小值为_；函数()3223121fxxaxx=+，且2,31,2(),()f xf x，则实数a=_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）在 如 图 所 示 的 圆 台 中，AB是 下 底 面 圆O的 直 径，11AB是 上 底 面 圆1O的 直 径，11ABAB，11124,3,ABABOOACD=为圆O的内接正三角形 （1）证明：1OO平面1BCD；（2）求直线CD与平面1AB D所成角的正弦值 16（15 分）为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏 甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮 每人投一次篮，两人中只有 1 人命中，命中者得 1 分，未命中者得1分；两人都命中或都未命中，两人均得 0分设甲每次投篮命中的概率为13，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮结果互不影响（1）经过 1 轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）用ip表示经过第i轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求23,pp 17（15 分）已知函数()()cosln 11fxxx=+（1）判断函数()fx在区间0,2上极值点和零点的个数，并给出证明；（2）若()fxax恒成立，求实数a 18（17 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的两条渐近线分别为12,l l C上一点()4,3A到12,l l的距离之积为 学科网（北京）股份有限公司 45（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线C的左、右两个顶点分别为12,A A T为直线:1l x=上的动点，且T不在x轴上，直线1TA与C的另一个交点为M，直线2TA与C的另一个交点为N，直线MN与x轴的交点为P，直线l与MN的交点为Q，证明PMQMPNQN=19（17 分）对 于 数 列()*nanN，记1nnnaaa+=，称 数 列na为 数 列 na的 一 阶 差 分 数 列；记()21 nnnnaaaa+=，称数列2na为数列 na的二阶差分数列，一般地，对于k N，记()11 kkkknnnnaaaa+=，规定：01,nnnnaaaa=，称kna为数列 na的k阶差分数列 对于数列 na，如果0knad=（d为常数），则称数列 na为k阶等差数列（1）数列 2n是否为k阶等差数列，如果是，求k值，如果不是，请说明为什么？（2）请用231111,aaaa 表示34,a a，并归纳出表示na的正确结论（不要求证明）；（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列 na为k阶等差数列，则其前n项和为123211111kknnnnnSC aCaCaCa+=+；（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了 2024 个球第 1 层有 1 个球，第 2 层有 3个，第 3 层有 6 个球，每层都摆放成“正三角形”，从第 2 层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多 1 个球，问：这位同学共堆积了多少层？学科网（北京）股份有限公司 高三数学期初考试评分标准高三数学期初考试评分标准 一、选择题一、选择题 题号 答案 出处 考查知识 能力素养 1 B 课本题改编 百分位数 运算求解 2 C 课本题改编 复数模的运算及性质 运算求解 3 B 课本题改编 余弦定理，面积公式 运算求解 4 D 复习题改编 排列组合 分类讨论思想，数学抽象 5 A 复习题改编 投影向量，向量的模 运算求解 6 A 复习题改编 等差、等比数列基本量运算 运算求解 7 A 复习题改编 两角和与差的正余弦公式 转化思想，运算求解 8 D 原创 椭圆第三定义，离心率 转化思想，运算求解 二、选择题（有错误答案，该题得二、选择题（有错误答案，该题得 0 分，如果有两个答案，该题分值为分，如果有两个答案，该题分值为 3 分和分和 6 分；如果有三分；如果有三个答案，该题分值为个答案，该题分值为 2 分、分、4 分、分、6 分）分）题号 答案 出处 考查知识 能力素养 9 BCD 高一试卷 逻辑，恒成立有解问题 逻辑推理 10 ABC 期末零模 立体几何 空间想象，分类讨论 11 ACD 原创 三角函数图象与性质 数形结合，分类讨论 三、填空题三、填空题 题号 答案 出处 考查知识 能力素养 12 20 xy+=复习题 公切线，两圆位置关系 转化思想，数形结合 13 55 期末零模 二面角 空间想象，数学转化 14 第一空 2，第二空 3 原创 新定义的理解，函数单调性 数学转化 四、解答题四、解答题 15（13 分）证明：（1）记AB与CD交于点F，连接1,B F OC，因为AB是下底面圆O的直径，且ACD为圆O的内接正三角形，所以AB垂直平分,2,4sin60ACCD OC=，则2 3,3ACCF=，RtOCF中，222(3)1OF=因为1111,24ABAB ABAB=，则11OFO B=，所以11OFO B，所以四边形11OFBO为平行四边形，所以11OOFB，学科网（北京）股份有限公司 又1OO 平面11,BCD FB 平面1BCD，所以1OO平面1BCD（2）【法一】由（1）知，11OOFB，则1FB 面ACBD，又AFCD，分别以1,FA FC FB 为,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()10,3,0,0,0,3,3,0,0,3,0,0ABCD，()2 3,0,0CD=设平面1AB D的法向量为(),x y z=，则10,330,0,330,AByzADxy=+=令1y=，则()3,1,3=记直线CD与平面1AB D所成角为，则21sincos,7CDCDCD=，故直线CD与平面1AB D所成角的正弦值为217【法二】因为11111,3,B FOO B FOOB F=平面ACD，由（1）ACD是正三角形且边长为2 3，所以121113(2 3)33334BACDACDVSB F=在1RtFAB中，2211392 3ABB FAF=+=+=，在1RtB DF中，2211336B DB FDF=+=+=，学科网（北京）股份有限公司 2 3AD=，取1B D中点H则1342,1222AHB D AH=所以1142367222AB DS=设点C到平面1AB D距离为1113 766,3,73277BACDC AB Dh VVhh=设直线CD与平面1AB D所成角为，则6217sin72 3hCD=【法三】因为1B F 平面1,AB D AD 平面ACD，所以1B FAD 过F作FSAD交AD于S，连结11,B S B F，如图 因为11,ADFS ADB F B FFSF=，1,B F FS 平面1B FS，则AD 平面11,B FS ADB S，在1RtB FS中，作1FTB S，因为11,FTAD FTB S ADB SS=，1,AD B S 平面1AB D，所以FT 平面1AB D，学科网（北京）股份有限公司 在1RtB FS中，13,32FSB F=，则1212B S=，所以32173223FT=，设直线CD与平面1AB D所成角为，则3217sin73ETDF=（注意：一、下列情况之一，本题得 0 分：图中没有辅助线；法一图中没有建立坐标系，有坐标轴，但对应轴字母没有表明二、用综合法，逻辑段主要条件缺少的，该逻辑段不得分，非主要条件缺少的，少一个扣 0.5分，扣满 15 分为止）【说明】本题改编于期末零模考查平面几何、解三角形应用；考查线面位置关系判断；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、叙述表达能力 16（15 分）解：（1）X的可能取值为1,0,1()11111323P X=；()1111101123232P X=+=；()11111326P X=所以X的分布列为：X 1 0 1 P 13 12 16 则X的数学期望为()11111013266E X=+=（2）设每轮比赛甲乙得分分别为(),1,2,3iiX Y i=，则0iiXY+=，如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则1212XXYY+，代入0iiXY+=，即120XX+，而iX的可能取值为1,0,1 所以121 1XX+=+，或者1210XX+=+此时有二种情况：一是甲两轮都得 1 分；二是两轮中有一轮甲得 1 分而另一轮甲得 0 分 所以12211117666236pC=+=如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理有得1230XXX+，学科网（北京）股份有限公司 同理123XXX+有四种情况：()1 1 1,1 10,1 11,100)+所以322222133331111111436626362216pCCC=+=【说明】本题源于专题复习资源改编考查独立事件的概率，考查分布列和数学期望，考查分类讨论思想；考查仔细、细致冷静的心理应试素养 17（15 分）解：（1）令()()()211sin,cos1(1)h xfxxh xxxx=+=+，因为0,2x，所以2cos0,(1)0 xx+，则()0h x=+在()00,x单调递增；0,2xx时，()()00,fxfx=，则()00,xx时，()fx无零点 又因为()()000fxf=，且20ln 11lnln10222ef+=+=，显然120Qyyy，因()()()222221111411PMxymymy=+=+=+，同理()221PNmy=+，令41xmy=+=，则3Qym=，同理：()()2212331,1QMmyQNmymm=+=+，学科网（北京）股份有限公司 要证明PMQMPNQN=，只需证明：112233yymyym+=，即证明：()1212320y yyym+=，将4t=和代入上式显然成立，所以PMQMPNQN=19解：（1）因为221(1)21nnnaaannn+=+=+，而()()()()2 212112120nnaannn=+=+=，所以2k=，数列 2n是二阶等差数列（2）因为数列 na为k阶等差数列，则0knad=，则()12112111 0,0kkkknaaaaa+=，则211aaa=+，()()2232211111112aaaaaaaaaa=+=+=+，()()22433111222aaaaaaaa=+=+()()()222311111112aaaaaaa=+23111133aaaa=+归纳得一般结论：1221111111kknnnnaaCaCaCa=+（3）设数列：1230,nS S SS，因为()111112,0nnnnaSSSnSSa=，所以数列1230,nS S SS为1k+阶等差数列，由（2）中得：122111110kknnnnSCSCSCS+=+，因为()1111kkkSSa+=所以123211111kknnnnnSC aCaCaCa+=+（4）由（1）知数列 2n为二阶等差数列，且()()()()211213221413,94412aaaaaaaa=，则由（3）得：2222123n+()()()1231121323226nnnn nn nnCCCn=+=+学科网（北京）股份有限公司()()11216n nn=+（注意：如果没有证明上面结论，此处扣 2 分证明方法不限）设共堆积了n层，第n层共有na个球，第 1 层有 1 个球，因为每层的“边”比上一层多 1 个球，所以第n层的“边”共有n个球，则第n层的球数为()11232nn nan+=+=则这n层所有球的个数为()11362nn nS+=+【法一】由式得：()()()22221113612312322nn nSnn+=+=+()()()111211202462n nnn n=+=解得：22n=答：这位同学共堆积了 22 层（注意：答案正确，但没有“答”扣 1 分，下同）【法二】()2222234111362nnn nSCCCC+=+=+32223223223341441551nnnCCCCCCCCCC+=+=+=+()()322120246nnnnC+=解得：22n=答：这位同学共堆积了 22 层【说明】本题原创考查等差数列定义、通项、求和以及组合数性质；考查阅读理解能力、字母符号识别理解能力、归纳能力、转化能力、运算能力；考查后继学习能力命题意图：探索从解题到解“问题”的方法途径；考查应试策略