第十一章　数学建模.pptx

第十一章数学建模成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 数学建模活动是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.CONTENTS/目录目录CONTENTS01010202/目录目录考点考点 分类突破分类突破课时课时 过关检测过关检测目录0101目录几类常见的数学模型考向1指数、对数、幂函数模型C.10倍目录答案（1）C目录目录解题技法指数、对数、幂函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指数与对数运算，灵活进行指数与对数的互化.目录1.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似地满足关系yalog3（x2），观察发现2020年（作为第1年）到该湿地公园越冬的白鹤数量为3 000只，估计到2026年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为（）A.4 000只B.5 000只C.6 000只D.7 000只解析：C当x1时，由3 000alog3（12），得a3 000，所以到2026年即第7年，y3 000log3（72）6 000，故选C.目录2.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案：16目录考向2三角函数模型【例2】阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图，由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为ysin（t）（0，），如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0t1t2t3），且t1t22，t2t36，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（）C.1 s目录答案D目录解题技法三角函数模型在实际问题中的求解策略（1）在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程；（2）在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题.目录如图为一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式yAsin（x）2，A0，0，则有（）目录目录考向3数列模型目录目录目录解题技法数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、减薄率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差（比）数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.目录目录目录考向4解析几何模型【例4】某学习小组研究一种卫星接收天线（如图所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图所示），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 m.目录解析如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上，设抛物线的标准方程为y22px（p0），由已知条件可得，点A（1，2.4）在抛物线上，所以2p2.42，解得p2.88，所以所求抛物线的标准方程为y25.76x，焦点坐标为（1.44，0），因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.44 m.答案1.44目录解题技法解决圆锥曲线实际应用问题的五个步骤（1）建立适当的坐标系；（2）设出合适的圆锥曲线的方程；（3）通过计算求出圆锥曲线的方程；（4）求出需要求出的量；（5）还原到实际问题中，从而解决实际问题.目录“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）.2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为.（精确到0.1）目录答案：0.6目录数学模型的构建与拟合考向1已知数学模型解决实际问题目录（1）试分别求出生产A、B两种芯片的毛收入y（单位：千万元）与投入资金x（单位：千万元）函数关系式；目录（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A、B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f（x）表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求出最大利润.（利润A芯片毛收入B芯片毛收入研发耗费资金）目录解题技法1.已知数学模型解决实际问题的关注点（1）认清所给数学模型，弄清哪些量为待定系数；（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用所给数学模型，借助所给模型的性质求解实际问题，并进行检验，例如：涉及到个数时，变量应取正整数；涉及到费用、速度等问题，变量的取值应该为正数.目录（1）求k的值及f（x）的表达式；目录（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？并求最小值.目录考向2构建数学模型解决实际问题【例6】（1）风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：A1B1A0B0B0B1，A2B2A1B1B1B2，A3B3A2B2B2B3，AnBnAn1Bn1Bn1Bn，其中Bn1BnB2B3B1B2B0B1，nN*.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B08 m，B0B10.5 m.则这五层正六边形的周长总和为（）A.35 mB.45 mC.210 mD.270 m目录答案（1）C目录（2）设，为平面，l，m，n为直线，则m的一个充分条件为（）A.，l，mlB.n，n，mC.m，D.，m解析（2）构造如图形：由图知A错；由图知C错；由图，在正方体中，两侧面与相交于l，都与底面垂直，内的直线m，但m与不垂直，故D错.答案（2）B目录解题技法构建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务；设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量；列什么就是把问题中已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等；限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义.目录1.f（x）在（0，）上的导函数为f（x），xf（x）2f（x），则下列不等式成立的是（）A.2 0232f（2 024）2 0242f（2 023）B.2 0232f（2 024）2 0242f（2 023）C.2 023 f（2 024）2 024 f（2 023）D.2 023 f（2 024）2 024 f（2 023）目录2.一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y4.02.80.02.84.02.80.02.84.0目录考向3数学模型的拟合【例7】某蛋糕店制作的蛋糕尺寸有6，8，10，12，14，16（单位：英寸）六种，根据日常销售统计，将蛋糕尺寸x（英寸）、平均月销量y（个）以及成本和单价的数据整理得到如下的表格.蛋糕尺寸x（英寸）6810121416平均月销量y（个）9121515138成本（元）20406080100120单价（元）5090140180200220（1）求该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润（利润销售收入成本）；解（1）根据题意，该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润为93012501580151001310081005 670（元）.目录（2）根据题中数据，从yabx与ycd（x11）2两个模型中选择更合适的模型，建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）.目录目录解题技法解决数学模型拟合问题的步骤目录某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元1 000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.目录目录0202目录A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6目录2.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处目录3.在某市2023年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）.已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）A.1 500名B.1 700名C.4 500名D.8 000名目录A.1.0109 m3B.1.2109 m3C.1.4109 m3D.1.6109 m3目录目录5.（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi（x）（i1，2，3，4）关于时间x（x0）的函数关系式分别为f1（x）2x1，f2（x）x2，f3（x）x，f4（x）log2（x1），则下列结论正确的是（）A.当x1时，甲走在最前面B.当x1时，乙走在最前面C.当0 x1时，丁走在最前面，当x1时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲目录解析：CD甲、乙、丙、丁的路程fi（x）（i1，2，3，4）关于时间x（x0）的函数关系式分别为f1（x）2x1，f2（x）x2，f3（x）x，f4（x）log2（x1），它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x2时，f1（2）3，f2（2）4，所以A不正确；当x5时，f1（5）31，f2（5）25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0 x1时，丁走在最前面，当x1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.目录6.（多选）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道上绕月飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道上绕月飞行，设圆形轨道的半径为R，圆形轨道的半径为r，则以下说法正确的是（）A.椭圆轨道上任意两点距离最大为2RB.椭圆轨道的焦距为RrC.若r不变，则R越大，椭圆轨道的短轴越短D.若R不变，则r越小，椭圆轨道的离心率越大目录目录7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.答案：30目录目录答案：240目录9.某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从第年起，该公司经销这一产品将亏损.解析：设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1200，anan120（n2，nN*）.所以每年的利润an可构成一个等差数列an，且公差d20.从而ana1（n1）d22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an22020n0，得n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.答案：12目录（1）求出a，b的值；目录（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？目录11.（多选）气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标.某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数f（x）Asin（x）b（A0，0，0），如图，则（）B.函数f（x）的最小正周期为16C.xR，f（x）f（x8）40D.若g（x）f（xm）是偶函数，则m的最小值为2目录目录12.（多选）若f（x）满足f（x）f（x）0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（）A.f（a）f（2a）B.f（a）e2af（a）C.f（a）f（0）目录目录13.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km（不含4 km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费元.解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列an来计算车费.令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2（111）1.223.2（元）.答案：23.2目录14.小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车累计运输收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为（25x）万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车累计运输收入超过总支出？目录（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？（利润累计收入销售收入总支出）T TH HA AN NK K.YOU.YOU