平面向量考点梳理讲解总结,高中数学平面向量题及答案解析.docx

考点20平面向量的概念与运算及几何性质【命题解读】 平面向量的概念与运算这一部分，高考的考察比较少，主要集中在向量的运算以及它的几何性质部分，对于平面向量的运算，要注意运算的法则，注意向量是矢量这一知识点。【命题预测】预计2021年的高考对于平面向量的概念及运算部分考察还是以小题为主，如果出题可能以选择题的形式出现。【复习建议】 集合复习策略：1.理解平面向量的概念，几何表示；2.掌握平面向量的运算及几何意义。考向一平面向量的概念1平面向量的有关概念名称定义表示向量在平面中,既有大小又有方向的量 用a,b,c,或AB,BC,表示向量的模向量a的大小,也就是表示向量a的有向线段AB的长度 (或称模) |a|或|AB|零向量长度为0的向量 用0表示 单位向量长度等于1个单位的向量 用e表示,|e|=1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) ab相等向量长度相等且方向相同的向量 a=b相反向量长度相等,方向相反的向量 向量a的相反向量是-a2. 说明:零向量的方向是不确定的、任意的. 规定:零向量与任一向量平行. 1.【2020安徽高二学业考试】如图，菱形的对角线和相交于点，则下列结论中错误的是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为四边形为菱形，对角线和相交于点，所以，故A，B，D正确.而，不一定相等，故C错误.故选：C2.【2020全国高二课时练习】给出下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若，满足且，同向，则；不相等的两个空间向量的模必不相等；对于任意向量，必有.其中正确命题的序号为_.【答案】【解析】对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误；对于，向量是不能比较大小的，故错误；对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误；只有正确.故答案为：考向二 平面向量的线性运算1. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)加法交换律:a+b= b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量三角形法则 a-b= a+(-b)数乘实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘, 记作a(1)|a|=|a|. (2)当>0时,a与a的方向相同;当<0时,a与a的方向相反;当=0时,a=0(1)对向量加法的分配律:(a+b)= a+b; (2)对实数加法的分配律:(1+2)a=1a+2a2.常用三角公式向量的共线定理向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一的实数,使b=a. 1. 【2020山东省招远第一中学高三期中】若M为ABC的边AB上一点，且则=（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意做出图形，如图，所以，所以.故选：A.2. 【2020忻州市第二中学校高三月考】如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】在平行四边形ABCD中，故A错误；由向量减法法则得，故B错误；由向量加法的平行四边形法则知，即C正确；由于，故D错误；故选：C.3. 【2020沙坪坝·重庆南开中学高三月考】在平行四边形中，交于F且，则下列说法正确的有（ ）ABCD【答案】BCD【解析】对于选项A：，故选项A不正确；对于选项B：易证，所以，所以，故选项B正确；对于选项C：，即，所以，所以，解得：，因为，所以，故选项C正确；对于选项D：，故选项D正确.故选：BCD题组一1. 【2019江西八校联考】在ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且APAB，BQBC.若a，b，则()Aa bBab CabDab2. 【2020珠海市第二中学高二月考】已知，为单位向量，则的最大值为（ ）ABC3D3.【2020黑龙江哈尔滨三中高三期中（理）】在中，则（ ）ABCD4. 【2020北京顺义高一期末】如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）ABCD5. 下面的命题正确的有（ ）.A方向相反的两个非零向量一定共线B单位向量都相等C若，满足且与同向，则D“若、是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”6. 在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）ABCD 7. 【2019辽宁大连双基测试】在锐角ABC中，3，xy，则_.8. 【2019山东菏泽模拟】如图，有5个全等的小正方形，xy，则xy的值是_.题组一1. A【解析】()ab.故选A2.D【解析】设的夹角为，而由已知条件知，同理有，而，的最大值为.故选：D3.A【解析】.故选：A4. B【解析】因为在矩形中，为中点，所以.故选：B.5.AD【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；、是不共线的点，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.故选：AD6.ABD【解析】对于A：在四边形ABCD中，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABD.7. 3【解析】由题设可得3()，即43，亦即，则x，y，故3.8. 1【解析】因为，而2，2，所以2(2)32.又，不共线，且xy，所以xy32，所以x3，y2，故xy1.考点21平面向量基本定理与坐标表示及运算【命题解读】 平面向量基本定理与坐标表示及运算是高考的一个热门考点，对于平面向量的考察主要从这方面出题，尤其是数量积的运算是考察的重中之重，题目的难易度适中，以选择或者填空为主，出多项选择题的机率也是比较大的，总体来说还是学生比较好得分的。【命题预测】预计2021年的高考平面向量基本定理与坐标表示及运算还是以选择题或者填空题为主，难易度以中等难度为主，数量积的运算考察机率大。【复习建议】 集合复习策略：1.理解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解和坐标表示；3.理解平面向量的数量积运算；4.掌握运用坐标进行平面向量的加法、减法、数乘与数量积的运算。考向一平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算a=（x1，y1） b=（x2，y2）a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) a=(x1，y1)(2)向量的坐标求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)， |AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2. 3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b0，则aba=b(R) x1y2-x2y1=0. 1. 【2020湖南省高三月考】如图所示，在中，点在线段上，且，若，则ABC2D【答案】B【解析】，所以，从而求得，故选B2. 【2020安徽省高三月考】设为所在平面内一点，若，则_【答案】-3【解析】为所在平面内一点, ，B，C，D三点共线.若，化为： =+，与=+，比较可得： ，解得.即答案为-3.考向二 平面向量的数量积及坐标运算1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a|b|cos ,并规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0. (2)几何意义向量的投影: a|cos (|b|cos )叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 向量的数量积:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积. (3)向量的夹角已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=(0°180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作ab. 2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数. 交换律: a·b=b·a;  数乘结合律:(a)·b=(a·b)= a·(b) (R); 分配律:(a+b)·c= a·c+b·c. 3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,是a与e的夹角. e·a=a·e=|a|cos .  ab a·b=0.  当a与b同向时,a·b=|a|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|b|. 特别地,a·a=|a|2或|a|=a·a  cos =a·b|a|b|. |a·b|a|b|. 4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角.|a|=x12+y12a·b= x1x2+y1y2ab x1x2+y1y2=0cos = x1x2+y1y2x12+y12x22+y221. 【2020四川省阆中中学高三二模】已知向量，且，则m=A8B6C6D8【答案】D【解析】，又，3×4+（2）×（m2）0，解得m8故选D2. 【2020河北省高三月考】已知向量，满足，且，则向量与的夹角的余弦值为ABCD【答案】D【解析】由题意可知：，解得：.故选：D.3. 【2020湖北省高三零模】已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为ABCD【答案】B【解析】在上投影为，即.，又，.本题选B题组一（真题在线）1. 【2020年高考全国卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是Aa+2bB2a+bCa2bD2ab2. 【2020年新高考全国卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A B C D3. 【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A BC D 4. 【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A3B2C2D35. 【2020年高考全国卷文数】设向量，若，则 .6. 【2020年高考天津】如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_7. 【2020年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满足，则_；_8. 【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足设，向量，的夹角为，则的最小值是_9. 【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则_.10. 【2019年高考天津卷理数】在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_题组二1. 【2020全国高三月考（理）】如图，在中，为边的中点，且，则向量的模为（ ）ABC或D或2. 【2020山东济宁·高三其他模拟】已知点是边长为的正方形的内切圆上一动点，则的取值范围是（ ）ABCD3. 【2020湖南长郡中学高三月考】若平面向量，满足，则对于任意实数，的最小值是（ ）ABCD4. 【2020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且，若，则值为ABC2D45. 【2020沙坪坝重庆八中高三月考】已知向量，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若在上的投影为，则向量与的夹角为C存在，使得D的最大值为6.【2020重庆西南大学附中高三月考】如图，中，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是（ ）A在方向上的投影为0BCD若，则 7. 【2020全国高三月考（理）】已知的重心为，其中，且，共线， 则_8.【2020湖北省鄂州高中高三月考】在中，则的大小为_.9. 【2020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量，若，则_.10. 【2020江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，则的最小值为_.题组一1.D【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.2.A【解析】如图，的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.3.B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B4. C【解析】由，得，则，故选C5. 5【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案：5.6. ；【解析】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.故答案为：；.7. ；【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，.故答案为：；.8. 【解析】，.故答案为：.9. 【解析】因为，所以，所以，所以 10. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30°，则，.因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，所以.所以.题组二1. B【解析】因为，所以.因为，所以故选：B2.B【解析】建立坐标系如图所示，设，其中,易知，.故选：B.3.A【解析】由题意得，设向量夹角为，则，设与的夹角为，故选：A4. D【解析】由题意，可得在的角平分线上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故选D5. BCD【解析】若，则，则，故A错误；若在上的投影为，且，则，故B正确；若，若，则，即，故，故C正确； ，因为，则当时，的最大值为，故D正确，故选：BCD6.ABC【解析】因为在中，在中，由余弦定理得，所以满足，所以，又E为CD的中点，所以，所以，对于A选项：在方向上的投影为，故A正确；对于B选项：，故B正确；对于C选项：，故C正确；对于D选项：，设，所以，解得（负值舍去），故D不正确，故选：ABC.7. 3【解析】的重心为，共线，则存在实数，使得,，解得，.故答案为：3.8. 【解析】由题意，得.因为，所以为正三角形，从而.9.4【解析】，故答案为410. 【解析】根据条件：,又,.又,三点共线,.,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为.考点22平面向量的应用-正余弦定理【命题解读】 平面向量基的应用是考试经常出现的，尤其是正余弦定理，是高考必考知识点之一，纵观每年的高考题，都有正余弦定理的题目，对于这部分的考察主要是以大题为主，偶尔会出现填空或者选择，主要是掌握正余弦定理的应用。【命题预测】预计2021年的高考平面向量的应用及正余弦定理肯定还是以解答题的形式出现，主要出现在第17题的位置，需要加强题目练习，掌握正余弦定理的知识点。【复习建议】 1.了解平面向量的应用；2.掌握正余弦定理的知识点；3.理解正余弦定理在解题中的应用。考向一正弦定理与余弦定理1.正弦定理asinA= bsinB= csinC=2R(其中R是 ABC的外接圆的半径)(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B, c=2Rsin C; (2)abc= sin Asin Bsin C; (3)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A2.余弦定理a2= b2+c2-2bccos A b2= c2+a2-2accos B, c2= a2+b2-2abcos C推论cos A=b2+c2-a22bc, cos B=a2+c2-b22ac, cos C=a2+b2-c22ab 1. 【2020湖北省高三其他（理）】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S（1）若a，b，求cosB（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（BA）的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为三角形面积为S ，所以，解得 ，因为a，b，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以为锐角，所以（2）由（1）知，所以sin（A+B）+sinBcosB+cos（BA）， 令，因为，所以，所以，原式，当时，原式取得最大值.2. 【2020广东省高三其他（理）】在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且，角为锐角.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解法一：由得，即，所以，为锐角，即解法二：由得，即所以即，即为锐角，所以. （2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，当且仅当时取等号成立.，故的面积最大值为.解法二：，由正弦定理，得，所以，由.因为，则当即时，故的面积最大值为.考向二 正弦定理与余弦定理的应用主要考察正弦定理余弦定理在解三角形中的应用1. 【2020山东省高三三模】如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设（1）把线段PC的长表示为的函数；（2）求四边形ACDP面积的最大值【答案】（1）， ； （2）5【解析】（1）依题设易知是以为直角的直角三角形，又，所以. 在，由余弦定理得，.所以， 定义域为.（2）四边形ACDP面积为，则 其中为锐角.因为所以.又因为，所以， 所以当时，取得最大值为.所以四边形ACDP面积的最大值为5 .2. 【2019山西监测】如图，点A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6. 现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端(1)原计划CD为铅垂线方向，45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得30°，53°，求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin 97°1，cos 53°0.6)【答案】(1) 4 (2) 17【解析】(1)CD为铅垂线方向，点D在顶端，CDAB 又45°，CDAC4.(2)在ABD中，53°30°83°，ABACCB4610，ADB180°83°97°，由得AD5.在ACD中，CD2AD2AC22AD·ACcos 52422×5×4×cos 53°17.题组一（真题在线）1. 【2019年高考全国卷文数】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=A6B5C4D32. 【2020年高考全国III卷理数】在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=ABCD3. 【2020年高考全国卷理数】如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30°，则cosFCB=_.4. 【2019年高考浙江卷】在中，点在线段上，若，则_，_5. 【2020年高考全国II卷理数】中，sin2Asin2Bsin2C= sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值6. 【2020年高考江苏】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值7. 【2020年高考浙江】在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C已知（）求角B的大小；（）求cosA+cosB+cosC的取值范围8. 【2020年新高考全国卷】在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分9. 【2020年高考天津】在中，角所对的边分别为已知（）求角的大小；（）求的值；（）求的值10. 【2020年高考北京】在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分题组二1. 【2019山东省烟台市高三一模】在中，角，的对边分别为，若，则角ABCD2. 【2019山东省实验中学等四校联合考试】在中，分别为角，的对边，若的面积为，且，则A1BCD3. 【2020广东省高三其他（理）】已知四边形中，E在的延长线上，且，则A1B2CD4. 【2020四川省阆中中学高三二模（理）】在中，若，则的最小值为_5. 【2020六盘山高级中学高三其他（理）】已知中，角，所对的边分别为，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.6. 【2020广东省高三二模（理）】中，D为上的点，平分，的面积为.（1）求的长；（2）求. 7. 【2020四川省泸县第四中学高三二模（理）】的内角的对边分别为,且（1）求角的大小；（2）若,的面积,求的周长8. 【2019广东省韶关市高考模拟】在中，、分别是内角、的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长题组一1.A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A2.A【解析】在中，根据余弦定理：，可得 ，即，由，故.故选：A3. 【解析】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案为：.4. ，【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,，所以.5. 见解析【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，由余弦定理得，由，得.因为，所以.（2）由正弦定理及（1）得，从而，.故.又，所以当时，周长取得最大值.6. 见解析【解析】（1）在中，因为，由余弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因为,所以为钝角，而,所以为锐角.故则.因为，所以，.从而7. 见解析【解析】（）由正弦定理得，故，由题意得.（）由得，由是锐角三角形得.由得.故的取值范围是.8. 见解析【解析】方案一：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，解得因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案二：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得，由，所以因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案三：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，与矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在9. 见解析【解析】（）在中，由余弦定理及，有又因为，所以（）在中，由正弦定理及，可得（）由及，可得，进而所以，10. 见解析【解析】选择条件（）（）由正弦定理得：选择条件（）由正弦定理得：（）题组二1. D【解析】，由正弦定理可得：，即，.故选D2.D【解析】由，得，即，即，则，即，则，故选D3.A【解析】在中，由余弦定理有，易知，又，故，.故选：A4. 【解析】由，结合，可得：，当且仅当时，取得最小值为.故答案为：.5. ；（2）【解析】（1）在中，（2），当时，取最大值.6. （1）（2）【解析】（1）因为，的面积为，平分，在中，由余弦定理，得，.（2）在中，由余弦定理，得，因为平分，所以，7. （1）；（2）【解析】（1）， ， ， ， （2）依题意得：， ，的周长为8. （1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理可得：，即，（2），的面积为，由余弦定理可得：，即，解得：，的周长为.考点23数系的扩充及复数的运算【命题解读】 复数是高考必考的知识点之一，每年的高考都出关于复数的一个选择题，主要是针对复数的几何意义和复数的四则运算，以基础题目为主，是高考容易得分的一个知识点。【命题预测】预计2021年的高考复数的考察还是以基础题为主，主要还是集中在复数的几何意义和四则运算上，稍加注意得分不难。【复习建议】 1.理解复数的有关概念和几何意义；2.掌握复数的代数运算。考向一复数的有关概念及几何意义1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+bi(a,bR)的数叫作复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b0,则a+bi为虚数;若a=0且 b0,则a+bi为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di a=c且b=d (a,b,c,dR). (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭 a=c且b = -d (a,b,c,dR). (4)复数的模:向量OZ=(a,b)的模r叫作复数z=a+bi(a,bR)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2. 2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,bR)复平面内的点Z(a,b).(2)复数z=a+bi(a,bR)平面向量OZ=(a,b) (O为坐标原点). 1. 【2020山东潍坊高三二模】若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（）A1B0C1D2【答案】B【解析】又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，得1a1实数a的值可以是0故选：B2.【2019山东高考模拟（理）】已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，对应的点为，因为点在直线上，所以，解得. 故选D.考向二 复数的代数运算1. 复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i; 乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i; 除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i (c+di0). (2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2= z2+z1,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3).1. 【2020河南省名校联盟高三质量检测】已知复数z1(为虚数单位，aR)为纯虚数，则实数a=ABC0D2【答案】B【解析】z为纯虚数，解得a.故选B2. 【2020四川省成都市石室中学高三下学期月考】复数，则ABC1D【答案】C【解析】，.故选：C3. 【2019山东滨州高三期末】设复数，则（ ）A1BCD2【答案】C【解析】z1+i，所以|z|=.故选:C题组一（真题在线）1. 【2020年高考全国卷理数】若z=1+i，则|z22z|=A0B1C D22. 【2020年高考全国III卷理数】复数的虚部是A BCD3. 【2020年新高考全国】A1B1CiDi4. 【2020年高考北京】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则ABCD5. 【2019年高考北京卷理数】已知复数，则ABCD6. 【2019年高考全国卷理数】设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则ABCD7. 【2019年高考全国卷理数】设z=3+2i，则在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8. 【2019年高考全国卷理数】若，则z=ABCD9. 【2019年高考天津卷理数】是虚数单位，则的值为_10. 【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=_11. 【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_题组二1. 【2020山东高三其他】设复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ）ABCD2. 【2020新泰市第二中学高三其他】已知复数满足，为虚数单位，则等于（）ABCD3. 【2020山东高三其他】已知复数满足若，则的值为（ ）ABCD4. 【2020重庆市江津中学、实验中学等七校高三联考】设，则在复平面内z对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5. 【2020辽宁省锦州市黑山中学高三模拟考试】复数（是虚数单位），则的共轭复数为ABCD6. 【2020广东省深圳市高级中学高三适应性考试】设为虚数单位，复数的实部为A5BCD3 7. 【2020河北省衡水中学高三第三次联合考试】已知复数，则的虚部为ABCD8. 【2020河北省衡水中学高三第九次调研】已知复数，则下列结论正确的是A的虚部为BC的共轭复数D为纯虚数9. 【2020广西南宁市第三中学高三适应性月考卷】设是虚数单位，若复数满足，则其共轭复数ABCD10. 【2020清华大学中学生标准学术能力诊断性测试】已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为AB4C1D题组一1.D【解析】由题意可得：，则.故.故选：D2.D【解析】因为，所以复数的虚部为.故选：D3. D【解析】故选：D4. B【解析由题意得，.故选：B5. D【解析】由题，则，故选D6. C【解析】由题可得则故选C7. C【解析】由得则对应的点（-3，-2）位于第三象限故选C8. D【解析】故选D9. 【解析】