基于BP神经网络的Pt100热电阻值特性模型及预测的MATLAB实现精品资料.doc

BP神经网络基于BP神经网络的Pt100热电阻值特性模型及预测的MATLAB实现。人工神经网络的数学模型一 概述人工神经网络根据其模型建立的原理，可以分为数学模型和认知模型。数学模型主要是在神经元生理特性的基础上，通过抽象用数学表达式描述。而认知模型主要是根据神经系统信息处理的过程建立的。本章着重讨论人工神经网络的数学模型，包括前向网络、反馈网络、随机网络等。下章将讨论人工神经网络的认知模型。1. 前向网络网络中各神经元接受前一级的输入，并输出到下一级，网络中没有反馈，可以用一个有向无环路图表示，这种神经网络称为前向网络。前向网络中节点分为两类，输入节点和计算节点。每个输入节点可以有任意个输入，但只有一个输出。而输出可以耦合到任意多个其他节点的输入。前向网络通常可以分为不同的层，第层的输入仅与第层的输出连接。一般认为输入节点为第一层，具有一层计算节点的网络实际上是一个两层网络。由于输入节点和输出节点可以和外界连接，直接接受环境的影响，所以称为可见层。而其他中间层则称为隐层（hidden layer）。前向网络的工作原理是映射，所以是一种映射网络。映射网络是有界映射的近似实现，即函数，利用映射作用的训练标本，其中，实现从维欧几里德空间有界子集A到维欧几里德空间有界子集的映射。映射网络基本上有两类：基于特征的网络和基于原型的网络。基于特征的网络实现函数的输入输出关系，这种关系可以用一种通用的、可修改的函数形式表示。反传网络是属于特征网络。基于原型的人工神经网络是通过创建一组具体的输入输出实例，统计的表示映射作用。然后，将未知的新向量与网络中的存储的向量进行比较，把比较的结果与输入向量组合，产生映射作用。对传网络（counter-propagation）是原型网络的例子。2. 反馈网络19821986年，美国物理学家霍普菲尔特（Hopfield）对反馈网络进行了研究，并可以应用解决实际问题，引起人们的兴趣。一般讲这种单层反馈网络称为霍普菲尔特（Hopfield）网络。反馈网络可用一个无向的完备图来表示，为简单起见，除另外说明外，我们仍假定各节点是线性阈值单元，网络唯一的由权值矩阵和阈值来确定，并且1是对称的，对角线元素为零的矩阵（为网络中的节点数），节点与节点间连线上的权值。2是阈值，是单元的阈值。3. 工作方式根据系统状态的改变，神经网络有异步和同步两种工作方式。假定时间是离散的，则任一时刻（为正整数）单元之状态为，整个网络状态是。异步方式各单元分别改变状态，即单元 单元而其余各单元状态不变，即单元， 同步方式所有单元同时改变状态，即对于所有单元 对于全部有时也可以一部分节点同时改变状态。反馈网络的输出与输入之间在时间上有延时，因而要用动态方程描述神经元和系统的数学模型。系统稳定状态的分析比较困难。4. 联想记忆人脑记忆的主要特征之一是联想。由于反馈网络会收敛到稳定状态，因此可以用作联想记忆。记忆是人脑对过去经验中发生过的事物的反映，是新获得行为的保持。由于记忆，人才能保持过去的反映，使当前的反映在以前的反映的基础上进行，使反映更全面、更深入。也就是有了记忆，人才能积累经验，扩大经验。记忆是心理在时间上的持续，有了记忆，先后的经验才能联系起来，使心理活动成为一个发展的过程，使一个人的心理活动成为统一的过程，并形成他的心理特征。记忆是反映机能的一个基本方面。目前，根据记忆操作的时间长短，人类记忆有三种类型：感觉记忆、短时记忆和长时记忆。近年来，许多人对联想记忆机制进行了大量研究。根据输出与输入信息的关系，联想记忆可以分为两类：自联想记忆和异联想记忆。设在学习过程中存入M个样本，使用时要求：若输入，其中是M个学习样本之一，是偏差项（可代表噪声、图形的缺损、崎变），要求输出，即使之复原。这种人工神经网络称为自联想记忆（Auto-Associative Memory）。异联想记忆中，规定两组样本间有一定的对应关系，。例如，代表某人照片，而代表他的姓名，使用时若输入，要求输出。5. 随机神经网络每个神经元的兴奋与抑制具有随机性，其概率取决于神经元的输入。采用概率统计分析的方法与信息的处理和测量非常相近。因此，概率计算的神经网络有可能得到更好的效果。在一定约束条件下，用并行分布概率神经网络进行反复迭代搜索以找到一个稳定解的问题。既是一个有吸引力的研究课题又具有潜在的广阔应用前景。概率神经网络的研究主要关心下列问题：1. 网络必须收敛到一个稳定点，不能出现漫无止境的震荡。2. 网络具有足够的计算能力，能够实现所需的分类、复原功能。3. 较好的解决计算复杂性问题，完成搜索所需的反复迭代次数不能过多。4. 容错性好，神经元之间的信息传送容许有误差。人脑神经元之间的信息传送精读不会超过。5. 调整权值系数的学习算法，以便将外界知识存储在网络的权值系数中。二 线性限幅单元线性限幅单元是最基本的前向映射网络，它具有个输入，一个输出，个权值，和阈值。图给出了线性限幅单元的结构。y 线性限幅单元三 感知机感知机（Perceptron）是一种典型的前向人工神经网络。最早由美国学者罗森勃拉特于1957年提出，它实际上是一个具有单层计算单元的神经网络，并由线性限幅单元组成。感知机学习算法1. 开始赋给每个权值以任一较小的不为零的随机数，即；2. 随机输入一个样本和期望输出C，如果X属于期望的类时，则，否则；3. 如果权值对样本进行正确分类，即或者则对权值不作修改。否则形成如下新的权值4. 转到2. ，直到对一切样本，权值W稳定为止。感知机收敛定理告诉我们，若函数是线性可分的，则上述学习过程在有限次数迭代后可收敛到正确的数值。 感知机 四 简单的实际问题目前，在人工神经网络算法上，较常用的仍然是枚举算法，因此，对于算法的改进和优化具有很大的空间和实际意义。简单的实际问题（NOIP2003第一题）首先，我们来分析一个简单的神经网络的例子，这只是最基本的问题，以后将不断将问题复杂化并解决。而且这个问题只是不基于生物理论的假设，并不一定是正确的。我们把神经网络看成一张有向图，图中的结点就是神经元，定义神经的输入和输出为图中的边。对于一个神经元，有信息的输入、输出渠道和当前状态及阈值。神经元按照一定顺序排列，构成神经网络。神经网络分为输入层、输出层和若干个中间层。如果把神经元的状态定义为Ci，阈值定义为Ui，假设可以得到公式，形如：其中，Ci>0时我们认为神经元是兴奋的。Ci可以认为是兴奋信号的强度，将向下一层神经元传送。如此，在输入层的神经元被激发后，整个网络系统就在信息传输的推动下运作。对于给定的神经网络，如果我们加入适当的条件，就能通过输入层的状态用计算机程序设计算法简单的求出输出层的状态。这就是一个简单的ANN实用程序（这是NOIP2003的第一题，公式等皆来源于题目，尚未加以严格的分析，研究开始后必定要重新分析过）。类似的问题很多，而且也肯定不局限于神经兴奋的传导，而且现在我所了解的算法也只是枚举级别的模拟算法，有很大的可能优化。五 最小二乘分类学习算法对于线性可分类，可用前面所述学习算法，且保证收敛。但是线性可分的条件毕竟过于严格，能够满足这个条件的情况是不多的。在实际情况中，两个类别的集合往往是非线性可分的，甚至是相互重叠的，对于这种情况，我们就不能简单的严格要求神经元的输出值为1和0进行分类，我们只能做到，当输入向量为时，输出值尽可能为1，否则接近0。按最小二乘算法的统计意义而言，就是要求实际输出值与这两个理想的输出值（1和0）之间的误差均方值为最小。如果有一种学习算法能够实现这个目标，即称为最小二乘或LMS学习算法（LMS是Least mean square的缩写）。为此，需要把单元特性更为可微函数，例如sigmoid形式。当给定训练集后，我们的目标是寻找，使得与尽可能接近，用E表示二者之间的差异。其中。所以应使E达到最小，先求E的梯度其中，。若用，则有则W的修改规则为在上式中，。这种学习方法，权值修正是按最陡下降方向进行。因此，有时称他为梯度学习算法。六、基于BP神经网络的Pt100热电阻值特性模型及预测的MATLAB实现训练程序：P=-200:660;T=18.52 18.95 19.38 19.82 20.25 20.68 21.11 21.54 21.97 22.4 22.83 23.25 23.68 24.11 24.54 24.97 25.39 25.82 26.24 26.67 27.1 27.52 27.95 28.37 28.8 29.22 29.64 30.07 30.49 30.91 31.34 31.76 32.1832.6 33.02 33.44 33.86 34.28 34.7 35.12 35.54 35.96 36.38 36.8 37.22 37.64 38.05 38.47 38.89 39.31 39.72 40.14 40.5640.97 41.39 41.8 42.22 42.63 43.05 43.46 43.88 44.29 44.7 45.12 45.53 45.94 46.36 46.77 47.18 47.59 48 48.42 48.83 49.24 49.65 50.06 50.47 50.88 51.29 51.7 52.11 52.52 52.93 53.34 53.75 54.15 54.56 54.97 55.38 55.79 56.19 56.6 57.01 57.41 57.82 58.23 58.63 59.04 59.44 59.85 60.26 60.66 61.07 61.47 61.88 62.28 62.68 63.09 63.49 63.9 64.3 64.7 65.11 65.51 65.91 66.31 66.72 67.12 67.52 67.92 68.33 68.73 69.13 69.53 69.93 70.33 70.73 71.13 71.53 71.93 72.33 72.73 73.13 73.53 73.93 74.33 74.73 75.13 75.53 75.93 76.33 76.73 77.12 77.52 77.92 78.32 78.72 79.11 79.51 79.91 80.31 80.7 81.1 81.5 81.89 82.29 82.69 83.08 83.48 83.87 84.27 84.67 85.06 85.46 85.85 86.25 86.64 87.04 87.43 87.83 88.22 88.62 89.01 89.4 89.8 90.19 90.59 90.98 91.37 91.77 92.16 92.55 92.95 93.34 93.73 94.12 94.52 94.91 95.3 95.69 96.09 96.48 96.87 97.26 97.65 98.04 98.44 98.83 99.22 99.61 100 100.39 100.78 101.17 101.56 101.95 102.34 102.73 103.12 103.51 103.9 104.29 104.68 105.07 105.46 105.85 106.24 106.63 107.02 107.4 107.79 108.18 108.57 108.96 109.35 109.73 110.12 110.51 110.9 111.29 111.67 112.06 112.45 112.83 113.22 113.61 114 114.38 114.77 115.15 115.54 115.93 116.31 116.7 117.08 117.47 117.86 118.24 118.63 119.01 119.4 119.78 120.17 120.55 120.94 121.32 121.71 122.09 122.47 122.86 123.24 123.63 124.01 124.39 124.78 125.16 125.54 125.93 126.31 126.69 127.08 127.46 127.84 128.22 128.61 128.99 129.37 129.75 130.13 130.52 130.9 131.28 131.66 132.04 132.42 132.8 133.18 133.57 133.95 134.33 134.71 135.09 135.47 135.85 136.23 136.61 136.99 137.37 137.75 138.13 138.51 138.88 139.26 139.64 140.02 140.4 140.78 141.16 141.54 141.91 142.29 142.67 143.05 143.43 143.8 144.18 144.56 144.94 145.31 145.69 146.07 146.44 146.82 147.2 147.57 147.95 148.33 148.7 149.08 149.46 149.83 150.21 150.58 150.96 151.33 151.71 152.08 152.46 152.83 153.21 153.58 153.96 154.33 154.71 155.08 155.46 155.83 156.2 156.58 156.95 157.33 157.7 158.07 158.45 158.82 159.19 159.56 159.94 160.31 160.68 161.05 161.43 161.8 162.17 162.54 162.91 163.29 163.66 164.03 164.4 164.77 165.14 165.51 165.89 166.26 166.63 167 167.37 167.74 168.11 168.48 168.85 169.22 169.59 169.96 170.33 170.7 171.07 171.43 171.8 172.17 172.54 172.91 173.28 173.65 174.02 174.38 174.75 175.12 175.49 175.86 176.22 176.59 176.96 177.33 177.69 178.06 178.43 178.79 179.16 179.53 179.89 180.26 180.63 180.99 181.36 181.72 182.09 182.46 182.82 183.19 183.55 183.92 184.28 184.65 185.01 185.38 185.74 186.11 186.47 186.84 187.2 187.56 187.93 188.29 188.66 189.02 189.38 189.75 190.11 190.47 190.84 191.2 191.56 191.92 192.29 192.65 193.01 193.37 193.74 194.1 194.46 194.82 195.18 195.55 195.91 196.27 196.63 196.99 197.35 197.71 198.07 198.43 198.79 199.15 199.51 199.87 200.23 200.59 200.95 201.31 201.67 202.03 202.39 202.75 203.11 203.47 203.83 204.19 204.55 204.9 205.26 205.62 205.98 206.34 206.7 207.05 207.41 207.77 208.13 208.48 208.84 209.2 209.56 209.91 210.27 210.63 210.98 211.34 211.7 212.05 212.41 212.76 213.12 213.48 213.83 214.19 214.54 214.9 215.25 215.61 215.96 216.32 216.67 217.03 217.38 217.74 218.09 218.44 218.8 219.15 219.51 219.86 220.21 220.57 220.92 221.27 221.63 221.98 222.33 222.68 223.04 223.39 223.74 224.09 224.45 224.8 225.15 225.5 225.85 226.21 226.56 226.91 227.26 227.61 227.96 228.31 228.66 229.02 229.37 229.72 230.07 230.42 230.77 231.12 231.47 231.82 232.17 232.52 232.87 233.21 233.56 233.91 234.26 234.61 234.96 235.31 235.66 236 236.35 236.7 237.05 237.4 237.74 238.09 238.44 238.79 239.13 239.48 239.83 240.18 240.52 240.87 241.22 241.56 241.91 242.26 242.6 242.95 243.29 243.64 243.99 244.33 244.68 245.02 245.37 245.71 246.06 246.4 246.75 247.09 247.44 247.78 248.13 248.47 248.81 249.16 249.5 249.85 250.19 250.53 250.88 251.22 251.56 251.91 252.25 252.59 252.93 253.28 253.62 253.96 254.3 254.65 254.99 255.33 255.67 256.01 256.35 256.7 257.04 257.38 257.72 258.06 258.40 258.74 259.08 259.42 259.76 260.1 260.44 260.78 261.12 261.46 261.8 262.14 262.48 262.82 263.16 263.5 263.84 264.18 264.52 264.86 265.2 265.53 265.87 266.21 266.55 266.89 267.22 267.56 267.9 268.24 268.57 268.91 269.25 269.59 269.92 270.26 270.6 270.93 271.27 271.61 271.94 272.28 272.61 272.95 273.29 273.62 273.96 274.29 274.63 274.96 275.3 275.63 275.97 276.3 276.64 276.97 277.31 277.64 277.98 278.31 278.64 278.98 279.31 279.64 279.98 280.31 280.64 280.98 281.31 281.64 281.98 282.31 282.64 282.97 283.31 283.64 283.97 284.3 284.63 284.97 285.3 285.63 285.96 286.29 286.62 286.95 287.29 287.62 287.95 288.28 288.61 288.94 289.27 289.6 289.93 290.26 290.59 290.92 291.25 291.58 291.91 292.24 292.56 292.89 293.22 293.55 293.88 294.21 294.54 294.86 295.19 295.52 295.85 296.18 296.5 296.83 297.16 297.49 297.81 298.14 298.47 298.8 299.12 299.45 299.78 300.1 300.43 300.75 301.08 301.41 301.73 302.06 302.38 302.71 303.03 303.36 303.69 304.01 304.34 304.66 304.98 305.31 305.63 305.96 306.28 306.61 306.93 307.25 307.58 307.9 308.23 308.55 308.87 309.2 309.52 309.84 310.16 310.49 310.81 311.13 311.45 311.78 312.1 312.42 312.74 313.06 313.39 313.71 314.03 314.35 314.67 314.99 315.31 315.64 315.96 316.28 316.6 316.92 317.24 317.56 317.88 318.2 318.52 318.84 319.16 319.48 319.8 320.12 320.43 320.75 321.07 321.39 321.71 322.03 322.35 322.67 322.98 323.3 323.62 323.94 324.26 324.57 324.89 325.21 325.53 325.84 326.16 326.48 326.79 327.11 327.43 327.74 328.06 328.38 328.69 329.01 329.32 329.64 329.96 330.27 330.59 330.9 331.22 331.53 331.85 332.16 332.48 332.79;Pn,minp,maxp,Tn,mint,maxt=premnmx(P,T);net=newff(minmax(Pn),6,1,'tansig','purelin','trainlm');net.trainParam.epochs=1000;net.trainParam.goal=0.00000001;net.trainParam.lr = 0.01;net=train(net,Pn,Tn);w1=net.iw1,1theta1=net.b1w2=net.lw2,1theta2=net.b2Y=sim(net,Pn);Yn=postmnmx(Y,mint,maxt);error=Yn-T;figureplot(P,T,'r-');grid onfigureplot(P,Yn,'b-');grid onfigureplot(-200:660,error);grid onsave filename net;检验测试程序：%测试load filename net;P_test=input('i=');P_test= tramnmx(P_test,minp,maxp);K=sim(net,P_test);Output=postmnmx(K,mint,maxt)在matlab命令窗口中进行测试：预测误差曲线图训练过程的误差曲线图希望输出原函数曲线图 训练后实际输出函数曲线图附录资料：MATLAB的30个方法1 内部常数pi 圆周率 exp(1)自然对数的底数ei 或j 虚数单位Inf或 inf 无穷大 2 数学运算符a+b 加法a-b减法a*b矩阵乘法a.*b数组乘法a/b矩阵右除ab矩阵左除a./b数组右除a.b数组左除ab 矩阵乘方a.b数组乘方-a负号' 共轭转置.'一般转置3 关系运算符=等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于=不等于4 常用内部数学函数  指数函数exp(x)以e为底数对数函数log(x)自然对数，即以e为底数的对数log10(x)常用对数，即以10为底数的对数log2(x)以2为底数的x的对数开方函数sqrt(x)表示x的算术平方根绝对值函数abs(x)表示实数的绝对值以及复数的模三角函数（自变量的单位为弧度）sin(x)正弦函数cos(x)余弦函数tan(x)正切函数cot(x)余切函数sec(x)正割函数csc(x)余割函数反三角函数  asin(x)反正弦函数acos(x)反余弦函数atan(x)反正切函数acot(x)反余切函数asec(x)反正割函数acsc(x)反余割函数双曲函数  sinh(x)双曲正弦函数cosh(x)双曲余弦函数tanh(x)双曲正切函数coth(x)双曲余切函数sech(x)双曲正割函数csch(x)双曲余割函数反双曲函数  asinh(x)反双曲正弦函数acosh(x)反双曲余弦函数atanh(x)反双曲正切函数acoth(x)反双曲余切函数asech(x)反双曲正割函数acsch(x)反双曲余割函数求角度函数atan2(y,x)以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度，范围为（ ， 数论函数gcd(a,b)两个整数的最大公约数lcm(a,b)两个整数的最小公倍数排列组合函数factorial(n)阶乘函数，表示n的阶乘  复数函数  real(z)实部函数imag(z)虚部函数abs(z)求复数z的模angle(z)求复数z的辐角，其范围是（ ， conj(z)求复数z的共轭复数求整函数与截尾函数ceil(x)表示大于或等于实数x的最小整数floor(x)表示小于或等于实数x的最大整数round(x)最接近x的整数最大、最小函数max(a，b，c，)求最大数min(a，b，c，)求最小数符号函数  sign(x)5 自定义函数-调用时：“返回值列=M文件名（参数列）”function 返回变量=函数名（输入变量） 注释说明语句段（此部分可有可无）函数体语句 6进行函数的复合运算compose(f,g)                     返回值为f(g(y)compose(f,g,z)                  返回值为f(g(z)compose(f,g,x,.z)              返回值为f(g(z)compose(f,g,x,y,z)           返回值为f(g(z)7 因式分解syms 表达式中包含的变量 factor(表达式)  8 代数式展开syms 表达式中包含的变量 expand(表达式)9 合并同类项syms 表达式中包含的变量 collect(表达式，指定的变量)10 进行数学式化简syms 表达式中包含的变量 simplify(表达式)11 进行变量替换syms 表达式和代换式中包含的所有变量 subs(表达式，要替换的变量或式子，代换式)12 进行数学式的转换调用Maple中数学式的转换命令，调用格式如下：maple(Maple的数学式转换命令)  即：maple(convert(表达式，form)将表达式转换成form的表示方式 maple(convert(表达式，form, x) 指定变量为x，将依赖于变量x的函数转换成form的表示方式（此指令仅对form为exp与sincos的转换式有用）  13 解方程solve(方程，变元)  注：方程的等号用普通的等号： =  14 解不等式调用maple中解不等式的命令即可，调用形式如下：  maple('maple中解不等式的命令')具体说，包括以下五种：maple(' solve（不等式）') maple(' solve（不等式，变元）' ) maple(' solve（不等式，变元）' ) maple(' solve（不等式，变元）' ) maple(' solve（不等式，变元）' )15 解不等式组调用maple中解不等式组的命令即可，调用形式如下：  maple('maple中解不等式组的命令') 即：maple(' solve（不等式组，变元组）' )16  画图方法：先产生横坐标的取值和相应的纵坐标的取值，然后执行命令：   plot(x,y) 方法2：fplot('f(x)'，xmin,xmax) fplot('f(x)'，xmin,xmax,ymin,ymax)  方法3：ezplot('f(x)') ezplot('f(x)' ,xmin,xmax) ezplot('f(x)' ,xmin,xmax,ymin,ymax)  17 求极限（1） 极限：syms x limit(f(x), x, a)  （2）单侧极限：左极限：syms x limit(f(x), x, a,left) 右极限：syms x limit(f(x), x, a,right) 18 求导数diff('f(x)') diff('f(x)','x')  或者：syms x diff(f(x)  syms x diff(f(x), x)  19 求高阶导数 diff('f(x)'，n) diff('f(x)','x'，n) 或者：syms x diff(f(x)，n)syms x diff(f(x), x，n) 20 在MATLAB中没有直接求隐函数导数的命令，但是我们可以根据数学中求隐函数导数的方法，在中一步一步地进行推导；也可以自己编一个求隐函数导数的小程序；不过，最简便的方法是调用Maple中求隐函数导数的命令，调用格式如下：  maple('implicitdiff(f(x,y)=0,y,x)')  在MATLAB中，没有直接求参数方程确定的函数的导数的命令，只能根据参数方程确定的函数的求导公式 一步一步地进行推导；或者，干脆自己编一个小程序，应用起来会更加方便。21 求不定积分 int('f(x)') int ('f(x)','x') 或者：syms x int(f(x)  syms x int(f(x), x)  22 求定积分、广义积分 int('f(x)',a,b)  int ('f(x)','x',a,b) 或者：syms x int(f(x),a,b)  syms x int(f(x), x,a,b)  23 进行换元积分的计算自身没有提供这一功能，但是可以调用Maple函数库中的changevar命令，调用方法如下：maple(' with(student)' )         加载student函数库后，才能使用changevar命令maple(' changevar( m(x)=p(u), Int(f(x),x) ) ' ) 把积分表达式中的m(x)代换成p(u)24 进行分部积分的计算自身没有提供这一功能，但是可以调用Maple函数库中的intparts命令，调用方法如下：  maple(' with(student)' ) 加载student函数库后，才能使用intparts命令maple('intparts(Int(f(x),x),u)' ) 指定u，用分部积分公式 进行计算 25 对数列和级数进行求和  syms n symsum(f(n), n a ,b ) 26 进行连乘 maple('product(f(n),n=a.b)')27 展开级数syms x taylor(f(x), x, n, a )28 进行积分变换syms s t laplace( f(t), t, s ) 拉普拉斯变换 ilaplace( F(s), s, t ) 拉普拉斯变换的逆变换 syms t fourier( f(t), t, ) 傅立叶变换 ifourier( F(), , t ) 傅立叶变换的逆变换 syms n z ztrans( f(n), n, z) Z变换 iztrans( F(z), z, n ) Z变换的逆变换 在matlab中，矩形法、梯形法和辛普森法求近似积分可以用自身的命令，也可调用Maple的相应命令。调用方法如下： maple('with(student) ') maple('Maple中求定积分近似值的命令')29 解微分方程dsolve('微分方程'，'自变量') dsolve('微分方程'，'初始条件或边界条件'，'自变量')30 解微分方程组dsolve('微分方程组'，'自变量') dsolve('微分方程组'，'初始条件或边界条件'，'自变量')28