四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试文科数学试卷含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度下期高学年度下期高 2024 届二诊模拟考试文科数学试卷届二诊模拟考试文科数学试卷第第 I 卷（选择题）一卷（选择题）一选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合32,1,0,1,2log(3)ABx yxx，则AB（）A.0,1,2B.1,2C.1,0D.0,12.空间中有平面和直线a，b，若/a，/ab，则下列说法中一定错误的是（）A.直线b平行于平面B.直线b在平面内C.直线b与平面交于一点D.直线a和b共面3.已知i是虚数单位，aR，则“2i2ia”是“21a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C 充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90”，下列假设中正确的是（）A.假设有两个内角超过90B.假设四个内角均超过90C.假设至多有两个内角超过90D.假设有三个内角超过905.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在50,100内，将其分成5组：50,60、60,70、70,80、80,90、90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间80,90内的人数为（）.四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试文科数学试卷含答案第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.10B.20C.30D.406.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征已知函数()yf x的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A sin()3xf x B.cos()3xf x C.sin1()3xf xD.cos1()3xf x7.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2,1)(4,7)，则下列结论中错误的是（）A.E的标准方程为2212xyB.E的离心率等于62C.E与双曲线22124yx的渐近线不相同D.直线10 xy 与E有且仅有一个公共点8.周髀算经中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（045），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan的值为（）A.2524B.2425C.43D.34.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司9.已知ABC内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若sinsin2ACabA，63SAB AC ，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形10.若函数 elnxf xxx的最小值为m，则函数()e1lnexg xxx+=-的最大值为（）A.1mB.e1m-+C.1mD.e1m-11.在四棱锥PABCD中，PA 平面,ABCD ABBC，且45,4PDAADCD.若点,P A B C D均在球O表面上，则球O的体积的最小值为（）A.323B.4 3C.64 627D.32 32712.已知函数21()e(R)2(1)xf xxbx aba，没有极值点，则1ba 的最大值为（）A.e2B.e2C.eD.2e2第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）二二填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知实数00，xy，若231xy，则21xy的最小值为_14.已知圆C的圆心与抛物线28yx的焦点关于直线yx对称，直线230 xy与圆C相交于,A B两点，且|2AB，则圆C的方程为_15.已知直线l经过点(0,1)P，且被两条平行直线1:310lxy 和2:350lxy截得的线段长为2 2，则直线l的方程为_16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为23.若A 和B为椭圆C上在x轴上方的两点，且122BFAF，则直线2AF的斜率为_三三解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.的的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司17.已知等差数列 na的首项10a，公差为(0)nd dS，为 na的前n项和，nnSa为等差数列（1）求1a与d的关系；（2）若11naT，为数列11nna a的前n项和，求使得89nT 成立的n的最大值18.在四棱锥PABCD中，已知AB,CD ABAD，,222,6,2,BCPA ABADCDPAPCE是线段PB上的点.（1）求证：PC 底面ABCD；（2）是否存在点E使得三棱锥PACE的体积为49？若存在，求出BEBP的值；若不存在，请说明理由.19.2022 年二十国集团领导人第十七次峰会 11 月 16 日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实精准迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲包容韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片 I 有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片 I 的前三道工序的次品率分别为123111,504948PPP.求生产该芯片 I 的前三道工序的次品率IP；（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片 II.某手机生产厂商获得芯片 I 与芯片II，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的 100 名用户中，安装芯片 I 的有 40 部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片 II 的有 60 部，其中对开机速度满意的占1415.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取 6 人，再从这 6 人中选取 2人进行座谈，求抽到 2 人中对安装芯片 II 的手机开机速度满意的人数为 1 的概率.第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司20.已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为12，短轴长为2 3，过点(1,0)P斜率存在且不为 0 的直线l与椭圆有两个不同的交点AB，（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆左右顶点为MN，设AB中点为Q，直线OQ交直线4x 于点BNAMPRRkkk，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由21.已知函数 211lnln122f xxxaxx，其中0a.（1）当2a 时，求函数 f x的单调区间；（2）若 0f x，求实数a的取值范围.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 2223 题中选一题作答题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分如果多选，则按所做的第一题记分.【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，直线1C参数方程为cossinxtyt（t 为参数，02），把1C绕坐标原点逆时针旋转2得到2C，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（1）写出1C，2C的极坐标方程；（2）若曲线3C的极坐标方程为8sin，且1C与3C交于点 A，2C与3C交于点 B（A，B 与点 O 不重合），求AOB面积的最大值【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】23.已知函数 211fxxx的最小值为m（1）求实数 m 的值；（2）若实数 a，b，c 满足5222abcm，证明：22291abc的第 1 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度下期高学年度下期高 2024 届二诊模拟考试届二诊模拟考试文科数学试卷文科数学试卷第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一一选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合32,1,0,1,2log(3)ABx yxx，则AB（）A.0,1,2B.1,2C.1,0D.0,1【答案】A【解析】【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.【详解】由0003303xxxxx，所以3log(3)03Bx yxxxx，故0,1,2AB，故选：A2.空间中有平面和直线a，b，若/a，/ab，则下列说法中一定错误的是（）A.直线b平行于平面B.直线b在平面内C.直线b与平面交于一点D.直线a和b共面【答案】C【解析】【分析】根据线面平行及两直线平行得到b与平面平行或直线b在平面内，根据/ab，可得直线a和b共面，从而判断出答案.【详解】因为/,/aab，所以b与平面平行或直线b在平面内，AB 正确，C 错误；因为/ab，所以直线a和b共面，D 正确.故选：C3.已知i是虚数单位，aR，则“2i2ia”是“21a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件第 2 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由2i2ia结合复数相等求出a的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若22i12 i2iaaa，且aR，则2122aa，解得1a，所以，“2i2ia”是“21a”的充分不必要条件.故选：A.4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90”，下列假设中正确的是（）A.假设有两个内角超过90B.假设四个内角均超过90C.假设至多有两个内角超过90D.假设有三个内角超过90【答案】B【解析】【分析】根据反证法的定义.【详解】平面四边形中至少有一个内角不超过90的反面含义为4 个内角没有一个不超过90，即四个内角均超过90，故选:B.5.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在50,100内，将其分成5组：50,60、60,70、70,80、80,90、90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间80,90内的人数为（）第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司A.10B.20C.30D.40【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图可求出成绩落在区间80,90内的人数.【详解】由频率直方图可知，成绩落在区间80,90内的人数为10010.01 0.0150.040.0051030.故选：C.6.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征已知函数()yf x的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A.sin()3xf x B.cos()3xf x C.sin1()3xf xD.cos1()3xf x【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.【详解】由函数图象可知，()yf x的图象不关y轴对称,而 coscos()33xxfxf x，coscos11()33xxfxf x，即这两个函数均关于y轴对称，则排除选项B、D；由指数函数的性质可知3xy 为单调递增函数，13xy为单调递减函数，由sinyx的图象可知存在一个极小的值00 x，使得sinyx在区间00,x上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin()3xf x 在区间00,x上单调递增，sin1()3xf x在区间00,x上单调第 4 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司递减，由图象可知sin()3xf x 符合题意，故选：A.7.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2,1)(4,7)，则下列结论中错误的是（）A.E的标准方程为2212xyB.E的离心率等于62C.E与双曲线22124yx的渐近线不相同D.直线10 xy 与E有且仅有一个公共点【答案】C【解析】【分析】分别设出焦点在x轴上和在y轴上的双曲线方程求解即可求出双曲线E的标准方程，根据离心率和渐近线方程的公式可求出离心率的值和渐近线方程，将直线方程和双曲线方程联立利用判别式即可判断双曲线和直线交点个数.【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为222210,0 xyabab，则22224111671abab，解得2221ab，此时E的标准方程为2212xy，当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为222210,0yxabab，则22221417161abab，解得2212ab （舍去），此种情况不成立，则A正确；2223cab，3622cea，则B正确；双曲线2212xy的渐近线为22byxa ，第 5 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司双曲线22124yx的渐近线为22ayxb ，即两者的渐近线相同，则C错误；将直线10 xy 与双曲线2212xy联立得2440 xx，244 1 40 ，直线10 xy 与E有且仅有一个公共点，则D正确；故选：C.8.周髀算经中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（045），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan的值为（）A.2524B.2425C.43D.34【答案】D【解析】【分析】设大正方形ABCD的边长为a，求出小正方形EFMN的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得242sincos25，再利用弦化切求解可得答案.【详解】如图，设大正方形ABCD的边长为a，则小正方形EFMN的边长为cossinAFAEAFBFaa，所以小正方形与大正方形面积之比为222cossin1cossin25aaa，化简得242sincos25，且04，由2222sincos2tan242sincossincostan125，解得3tan4.故选：D.第 6 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 9.已知ABC的内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若sinsin2ACabA，63SAB AC ，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得 B；利用面积公式与向量数量积的定义求得 A，从而得解【详解】因为sinsin2ACabA，所以sinsinsinsin2BABA，因为0A，所以sin0A，所以cossin2BB，所以cos2sincos222BBB；因为0B，所以022B，所以cos02B，所以1sin22B，所以26B，所以sin3B，因为63SAB AC ，所以16sin3cos3cos2bcAAB ACAbcA ，所以3tan3A，因为0A，所以tan6A，所以362C，则ABC是直角三角形，故选：B10.若函数 elnxf xxx的最小值为m，则函数()e1lnexg xxx+=-的最大值为（）A.1mB.e1m-+C.1mD.e1m-【答案】A【解析】【分析】分析函数解析式，发现函数 f x与函数 g x的变换关系，由此即可推断函数e1()lnexg xxx+=-的最大值.第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【详解】()elnxf xxx=-，0 x，令exx=有：e1eelneeln1xxf exxxxx，则 e1fxg x，即 e1g xfx，由此知 g x的函数图象为：f x的图象通过横坐标变为原来的1e，纵坐标不变，得到efx，再关于x轴对称，得到efx，最后再向下平移一个单位，得到 e1g xfx；根据已知条件函数()elnxf xxx=-的最小值为m，由此可知函数e1()lnexg xxx+=-最大值为1m.故选：A11.在四棱锥PABCD中，PA 平面,ABCD ABBC，且45,4PDAADCD.若点,P A B C D均在球O的表面上，则球O的体积的最小值为（）A.323B.4 3C.64 627D.32 327【答案】C【解析】【分析】根据题设易得AC是四边形ABCD外接圆的直径，利用线面垂直的性质、判定证,PABC PACD PAAC，进而得到,PBCPCDPCA是以PC为斜边的直角三角形，即PC中点O为外接球球心，令PAADx且04x，求得外接球半径关于x的表达式，求其最小值，即可求球体最小体积.【详解】由题设，,A B C D在一个圆上，故180ADCABC，又ABBC，所以90ADC，即ADCD，故AC是四边形ABCD外接圆的直径，由PA 平面ABCD，,AD BC CD AC 平面ABCD，则,PAAD PABC PACD PAAC，的第 8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司由PAABA，,PA AB 面PAB，则BC面PAB，PB 面PAB，则BCPB，由PAADA，,PA AD 面PAD，则CD 面PAD，PD 面PAD，则CDPD，则45PDA，又PAAD，故tan1PAPDAAD，即PAAD，令PAADx且04x，则4CDx，22242816ACxxxx，且,PBCPCDPCA都是以PC为斜边的直角三角形，故PC中点O为外接球球心，所以外接球半径222114322816322233PCRxxxx，所以当43x 时，min1322 6233R，此时球 O 的体积的最小值为342 664 63327.故选：C.【点睛】关键点点睛：确定AC是四边形ABCD外接圆的直径，PC中点O为外接球球心为本题的关键，由此即可顺利得解.12.已知函数21()e(R)2(1)xf xxbx aba，没有极值点，则1ba 的最大值为（）A.e2B.e2C.eD.2e2【答案】B【解析】【分析】转化为1()e01xfxxba恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到ln1111abaa，故2ln1111abaa，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.详解】函数 21e21xf xxbxa没有极值点，1()e01xfxxba，或()0fx恒成立，【第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司由exy 指数爆炸的增长性，()fx不可能恒小于等于 0，1()e01xfxxba恒成立令 1e1xh xxba，则 1e1xh xa，当10a 时，0h x恒成立，h x为R上的增函数，因为e0,x是增函数，1,1xba 也是增函数，所以，此时(),h x ，不合题意；当10a 时，1e1xh xa增函数，由 0h x得ln1xa，令 0ln10ln1h xxah xxa ，h x在ln1a，上单调递减，在ln1a，上单调递增，当ln1xa 时，依题意有 minln11ln1011ah xhabaa，即ln1111abaa，10a ，2ln1111abaa，令1(0)ax x，2ln10 xu xxx，则 43ln1 22ln1xxxxuxxx，令 100euxx，令 0ux，解得1ex，所以当1ex时，u x取最大值1.e2eu故当e11a，e2b，即e1ea，e2b 时，1ba 取得最大值e.2综上，若函数 h x没有极值点，则1ba 的最大值为e.2故选：B.【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于 0，通过构造函数，借助导数研究为第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司函数的最小值，从而得解.第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）二二填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知实数00，xy，若231xy，则21xy的最小值为_【答案】74 3#4 37【解析】【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.【详解】由00，xy，2121216212343yxxyxyxyxyxy 627274 3yxxy，当且仅当62yxxy，即63 332 333xy时，等号成立，所以21xy的最小值为为74 3.故答案为：74 3.14.已知圆C的圆心与抛物线28yx的焦点关于直线yx对称，直线230 xy与圆C相交于,A B两点，且|2AB，则圆C的方程为_【答案】22(2)6xy【解析】【分析】根据圆心与焦点关于直线yx对称，求得圆心坐标，在此基础上由直线230 xy与圆C相交的弦长求得圆的半径.【详解】由28yx的焦点坐标2,0关于直线yx的对称点为0,2，所以圆C圆心为0,2，设半径为r，的第 11 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司点 C 到直线230 xy的距离为 d，则2 02355d，所以222221562ABrd，所以圆C的方程为：2226xy，故答案是：2226xy.15.已知直线l经过点(0,1)P，且被两条平行直线1:310lxy 和2:350lxy截得的线段长为2 2，则直线l的方程为_【答案】(23)10 xy 或(23)10 xy【解析】【分析】直线l分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率不存在时直线l是y轴，求交点坐标即可；当直线l的斜率存在时，设定直线l的方程并与直线12,l l的方程联立求交点，满足弦长即可.【详解】若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：0 x，此时与12,l l的交点分别为(0,1)和(0,5)，截得的线段的长为：5(1)42 2 ，不符合题意若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：1ykx，解方程组1310ykxxy，得点23(,)33kAkk，解方程组1350ykxxy，得点653(,)33kBkk.由2 2AB，得228263533333kkkkkk+，第 12 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司即22 310kk，解得：32k，则直线l的方程为：(23)10 xy 或(23)10 xy.故答案是：(23)10 xy 或(23)10 xy.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为23.若A 和B为椭圆C上在x轴上方的两点，且122BFAF，则直线2AF的斜率为_【答案】3【解析】【分析】由离心率为23，得到,a b间的关系，椭圆方程变为2222915xyaa，借助椭圆的对称性，将关系式122BFAF 转化直线2AF与椭圆的位置关系，设直线2AF的方程，联立椭圆方程，用韦达定理解决问题即可.【详解】已知椭圆2222:1(0)xyCabab，由椭圆的离心率为23ca，得23ca，代入222abc，得：2259ab，则椭圆C的方程为：2222915xyaa，其左、右焦点分别为1222(,0),(,0)33FaFa，如图所示：若A 和B为椭圆C上在x轴上方的两点，且122BFAF，设直线21,AF BF 与椭圆C的另一个交点分别为,D C，由椭圆的对称性，可得：ADBC，12BFF D，12FACF，即222F DAF ，显然直线2AF的斜率定存在，否则直线2AF垂直x轴时2F为线段AD的中点，因为点A 在x轴上方，直线2AF的斜率不为零，设直线2AF的方程为2()3yk xa，1122(,),(,)A x yD xy，第 13 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司联立方程组：22222()3915yk xaxyaa，得：2222945(1)0539kykayk a，221212224539,991155kak ayyy ykk（*），由于222F DAF ，则2112(0)yy y，（*）式即为：22211224539,2991155kak ayykk，消掉1y后，可得：2222243()9115529915kakk ak，化简可得：23k，由于10y，0a，且1243915kayk，得0k，所以3k，故答案是：3.三三解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司17.已知等差数列 na的首项10a，公差为(0)nd dS，为 na的前n项和，nnSa为等差数列（1）求1a与d的关系；（2）若11naT，为数列11nna a的前n项和，求使得89nT 成立的n的最大值【答案】（1）10ad （2）7【解析】【分析】（1）由nnSa为等差数列可得3212132SSSaaa，即可得到1a与d的关系;（2）由裂项相消法得到nT，再解不等式即可求得 n 的最大值.【小问 1 详解】因为nnSa为等差数列，所以3212132SSSaaa，即121232321aaaaaaa，从而得到 11112 23312adadadad，化简得 10,0ad dd，所以10,0add.【小问 2 详解】当1101ada，时，11111,(1)1nnnana an nnn，所以111111811223119nTnnn，解得8n，又因为*Nn，所以n的最大值 718.在四棱锥PABCD中，已知AB,CD ABAD，,222,6,2,BCPA ABADCDPAPCE是线段PB上的点.第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（1）求证：PC 底面ABCD；（2）是否存在点E使得三棱锥PACE的体积为49？若存在，求出BEBP的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在点E使得三棱锥PACE的体积为49，且13BEBP【解析】【分析】（1）在ABC中，利用余弦定理求得 BC，由222ABACBC，得到BCAC，再由BCPA得到BC平面PAC，从而BCPC，然后由222PAACPC得到PCAC，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）易知49P ACEP ACBE ACBVVV，设BEBP，由1111432329AC BC PCAC BCPC求解.【小问 1 详解】证明：在ADC中，1,90ADDCADC，所以221 12ACADDC.在ABC中，2,2,45ACABBAC，由余弦定理有：22222cos45422 2222BCABACAB AC ，所以222ABACBC，所以90ACB，所以BCAC，又因为,BCPA PAACA PA AC平面PAC，所以BC平面PAC，因为PC 平面PAC，所以BCPC，在PAC中：2,2,6ACPCPA，则222PAACPC，所以PCAC，因为,ACBCC AC BC平面ABCD，第 16 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以PC 面ABCD.【小问 2 详解】因为49P ACEP ACBE ACBVVV，设BEBP，1111432329AC BC PCAC BCPC，1111422222232329 ，13，因此，存在点E使得三棱锥PACE的体积为49，且13BEBP.19.2022 年二十国集团领导人第十七次峰会 11 月 16 日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实精准迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲包容韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片 I 有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片 I 的前三道工序的次品率分别为123111,504948PPP.求生产该芯片 I 的前三道工序的次品率IP；（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片 II.某手机生产厂商获得芯片 I 与芯片II，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的 100 名用户中，安装芯片 I 的有 40 部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片 II 的有 60 部，其中对开机速度满意的占1415.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取 6 人，再从这 6 人中选取 2人进行座谈，求抽到 2 人中对安装芯片 II 的手机开机速度满意的人数为 1 的概率.【答案】（1）1350P （2）815P【解析】【分析】（1）由对立事件概率的关系即可求解；第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（2）先按分层抽样得出所抽取的 6 人中，手机安装芯片 I 的有 2 人，手机安装芯片 II 的有 4 人，结合超几何分布的概率计算公式即可求解.【小问 1 详解】I12349484731111150494850PPPP .【小问 2 详解】对安装芯片 I 的手机开机速度满意的人数为4070%28，对安装芯片 II 的手机开机速度满意的人数为14605615，所以采用分层抽样的方法的抽样比为1:2，故所抽取的 6 人中，手机安装芯片 I 的有 2 人，手机安装芯片 II 的有 4 人，所以抽到 2 人中对安装芯片 II 的手机开机速度满意的人数为 1 的概率为112642C C8C15P.20.已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为12，短轴长为2 3，过点(1,0)P斜率存在且不为 0 的直线l与椭圆有两个不同的交点AB，（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆左右顶点为MN，设AB中点为Q，直线OQ交直线4x 于点BNAMPRRkkk，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由【答案】（1）22143xy （2）是定值，为34【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，求出,a b的值，可得所求椭圆的标准方程；（2）由题设出直线AB的方程1xty，与椭圆方程联立可得根与系数关系，求得点Q坐标，以及点R坐标，表示出,AM BN PR的斜率代入结合根与系数关系消元运算得解.【小问 1 详解】第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司由题意：2221222 3cababc，解得：231abc，故所求椭圆的标准方程为：22143xy【小问 2 详解】如图：因为直线AB斜率不为 0，设其方程为：1xty，代入椭圆方程：223412xy，得：223(1)4120tyy，整理得：2234690tyty设1122,A x yB xy，则显然0，则122634tyyt，122934y yt，212122268223434txxt yytt 2243,3434tQtt，则直线OQ方程为34tyx，令4x，得3yt，则(4,3),(1,0)RtP，则PRkt，112AMykx，222BNykx，212121212213BNAMPRyyyykkkttxxtyty22221222212212129931334181233334ttyty ytyttt y ytytytytyt，又122634tyyt 代入得2222222222222299993333434.618121212434343434BNAMPRtttytyttkkkttttytytyttt第 19 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以BNAMPRkkk为定值34【点睛】关键点点睛：本题第二问考查直线与椭圆的综合问题.求出PRkt，112AMykx，222BNykx，代入化简，注意利用韦达定理，方程1xty将12,x x代换成12,y y，再利用122634tyyt，将1y代换为2y，消元运算可得答案.21 已知函数 211lnln122f xxxaxx，其中0a.（1）当2a 时，求函数 f x的单调区间；（2）若 0f x，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数 f x的增区间为0,1、2,，减区间为1,2 （2）321e,4【解析】【分析】（1）当2a 时，求得 2 lnfxxx，利用函数的单调性与导数关系可求得函数 f x的增区间和减区间；（2）推导出a，有2x 或01x，令 0fx得12x，故函数 f x的增区间为0,1、2,，减区间为1,2.第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】解：若0a，则0 xa，由 0fx可得01x，由()0fx可1x，此时，函数 f x的减区间为0,1，增区间为1,，且 1104fa，当01x时，由ln0 x，有 11lnln1022f xxxxax恒成立，所以 0f x，必有a0.又由 1104fa ，可得14a .又由0 x，不等式 0f x 可化为11lnln1022xxax，设 11lnln122g xxxax，有 11112 ln4lnln22244aax xxagxxxxxx，当01x且04xa 时，ln0 x，40 xa，可得 0gx，当1x 且4xa 时，ln0 x，40 xa，可得 0gx，当am时，0gx；当xm时，0gx，可得函数 g x的减区间为0,m，增区间为,m，若 0g x，必有 11lnln1022g mmmam，有2 ln4 ln40m mma ma，又由2 ln40m mma，有2 ln4 ln42 ln40m mma mam mma，有lnln0m ma m，有ln0mam.又由1m，有ma，可得am，第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司有2 ln402 ln42 ln3m mmam mmmm mm，可得321em，构造函数 2 lnp xxxx，其中321ex，则 32ln0pxx对任意的321ex恒成立，所以，函数 2 lnp xxxx在321,e上单调递增，由12 ln4am mm 及321em可得2312 ln4em mm，可得321e4a，若 0f x，则实数a的取值范围为321e,4.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解本题的关键就是转化为 min0g x得出12 ln4am mm，再结合函数的单调性求出12 ln4am mm 的取值范围.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 2223 题中选一题作答题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分如果多选，则按所做的第一题记分.【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为cossinxtyt（t 为参数，02），把1C绕坐标原点逆时针旋转2得到2C，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（1）写出1C，2C的极坐标方程；（2）若曲线3C的极坐标方程为8sin，且