2.2展开与折叠（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学五年级下册（北师大版）含答案.pdf

2.2 展开与折叠展开与折叠 长方体展开图是由 6 个小长方形组成的，相对面的面积两两相等，且完全隔开。正方体展开图是由 6 个小正方形组成的，6 个正方形的面积相等，且相对的面也完全隔开。由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。例 1：一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”所在面相对的面所标的字是（）。A好 B有 C趣 答案：B 分析：根据正方体展开图的 11 种特征，此图属于正方体展开图的132型，折成正方体后，“数”与“有”相对，“学”与“玩”相对，“好”与“趣”相对，据此解答。详解：由分析可得：一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”所在面相对的面所标的字是有。故答案为：B 例 2：下面四个图形中，不能折叠成正方体的是（）。ABC第一部分第一部分 知识清单知识清单 第二部分第二部分 典型例题典型例题 2.2展开与折叠（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学五年级下册（北师大版）含答案 D 答案：B 分析：正方体的展开图类型：（1）“141”型：中间 4 个一连串，两边各一随便放；（2）“231”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；（3）“222”型：两两相连各错一；（4）“33”型：三个两排一对齐；不能围成正方体的展开图类型：（1）一条线上不过四；（2）“田字形”“七字型”“凹字型”；据此解答。详解：由分析可知：A.属于“231”型，能折叠成正方体；B不属于正方体的展开图类型，不能折叠成正方体，折叠时有重叠的面；C属于“231”型，能折叠成正方体；D属于“141”型，能折叠成正方体。故答案为：B 例 3：如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3 的相对面是()，4 的相对面是()，5 的相对面是()。答案：6 1 2 分析：根据正方体展开图的 11 种特征，此图属于正方形展开图的“222”型，并且根据正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个 对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此判断即可。详解：由分析可得：通过对展开图的观察，1 和 4 在对面，3 和 6 在对面，剩下的 2 和 5 在对面。综上所述：如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3 的相对面是 6，4的相对面是 1，5 的相对面是 2。例 4：如图是正方形展开图，将相对面上的字母填在括号里：A 与()相对，C 与()相对。答案：F E 分析：据正方体展开图 11 种特征，此图属于正方体展开图的“141”型，根据特征进行判断即可。详解：由分析可得：该展开图中，折成正方体后，“A”和“F”相对，“B”和“D”相对，“C”和“E”相对。综上所述：A 与 F 相对，C 与 E 相对。：基础过关练基础过关练 一、选择题一、选择题 1如图是一个正方体的展开图，与 4 号相对的面是（）号。A1 号 B3 号 C5 号 D6 号 2将下图折叠成正方体，“锦”字对面的是（）字。A祝 B你 C前 D程 3下面图形沿虚线折叠不能围成正方体的是（）。A B C D 4下面的图形中不能折成正方体的是（）。A B C D 5下边图形的展开图，不正确的是（）。A BC D 二、填空题二、填空题 6如图是一个正方体盒子的平面展开图，数字“1”的对面是()，数字“3”的对面是()。7将 4、5、6 填在下图中的方格里，使每个相对面上的两个数字之和相等。8长方体的展开图由()个长方形组成，且相对面的面积()；正方体的展开图是由()个()的正方形组成的。9熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是 1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了，第三次熊宝宝又看到了。数字 1 对面是()，2 对面是()，3 对面是()。10根据下图判断与“诚”字相对的面上的字是()。三、判断题三、判断题 11下图是一个正方体的平面展开图，与汉字“渭”相对面上的的汉字是“河”。()12长方体的展开图中，只有长方形，不可能出现正方形。()13某正方体的每个面上都有一个汉字，下图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“惟”字所在面相对的面上的汉字是“锦”。()14正方体的展开图都是正方形，长方体的展开图都是长方形。()15一个正方体的表面展开图如下图所示，把它折成正方体后，与“水”字相对的字是“青”。()：培优提升练培优提升练 四、解答题四、解答题 16在下面方格图（每个小正方形边长均为 1 厘米）上补全这个长方体展开图的上面、右面和后面，并填空。上图长方体的长（）厘米，宽（）厘米，高（）厘米。17宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。陈师傅将宣纸裁成了如图 A 的形状，艺术创作后，准备加上木条制作成如图 B 所示的长方体灯罩，要做出这样一个灯罩，至少需要多少厘米的木条？18如图，将此平面图沿虚线折叠出来是一座房屋的模型。制作这座房屋模型的屋顶，至少要用去多大面积的纸板？19如图，一张硬纸板剪下 4 个边长 4 厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。请你求出剪后的硬纸板的面积？20熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是 1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了。数字 1，2，3 对面分别是多少？五、作图题五、作图题 21如图是一个长方体展开图的前面、下面和左面，请画出展开图的另外三个面，并标出每个面是长方体的哪个面（右面、后面、上面）。22琪琪用一根铁丝做成了一个长为 6 厘米，宽为 3 厘米，高为 2 厘米的长方体框架。现要在它的外面糊上彩纸，使它成为一个无盖的纸盒。请你在图中画出所需彩纸的展开图。（方格边 长为 1 厘米）。1A 分析：正方体的展开图类型：（1）“141”型：中间 4 个一连串，两边各一随便放；（2）“231”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；（3）“222”型：两两相连各错一；（4）“33”型：三个两排一对齐；此图属于正方体展开图的“231”型，折成正方体后，1 号面与 4 号面相对，2 号面与 6 号面相对，3 号面与 5 号面相对。详解：由分析可知：如下图所示，是一个正方体的展开图，与 4 号相对的面是 1 号。故答案为：A。点睛：本题考查正方体的展开图，注意：正方体展开图分四种类型，11 种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题型。2C 分析：根据正方体展开图的 11 种特征，此图属于正方体展开图的“1-3-2”型，折成正方体后，“祝”与“似”相对，“你”与“程”相对，“前”与“锦”相对；据此解答。详解：如图：正方体的展开图重新折叠成正方体后，“锦”字对面的是“前”字。故答案为：C 点睛：正方体展开图分四种类型，11 种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。3C 分析：正方体的展开图类型：（1）“141”型：中间 4 个一连串，两边各一随便放；（2）“231”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；（3）“222”型：两两相连各错一；（4）“33”型：三个两排一对齐；不能围成正方体的展开图类型：（1）一条线上不过四；（2）“田字形”“七字型”“凹字型”；据此解答。详解：A 属于“222”型，可以围成；B 属于“231”型。可以围成；C 属于“七字型”，有一个面没有被围起来，所以不能围成；D 属于“141”型，可以围成；故答案为：C。点睛：本题考查正方体展开图。有 11 种情况，分四种类型：“141”结构、“222”结构、“33”结和“132”结构。4B 分析：根据正方体展开图的 11 种特征，即可确定哪个图形属于正方体展开图，能折成正方体；哪个图形不属于正方体展开图，不能折成正方体。详解：A二三一型，属于正方体展开图，能折成正方体；B不能折成正方体；C一四一型，属于正方体展开图，能折成正方体；D一四一型，属于正方体展开图，能折成正方体；故答案为：B 点睛：本题主要是考查正方体展开图，要重点掌握 11 种展开图。5C 分析：观察图形，可知这是一个特殊的长方体，有 2 个相对的面是正方形，有 4 个完全相同的长方形；沿着长方体的一些棱剪开，可以得到长方体的展开图，在展开图中，长方体相对的面完全相同；据此分析即可。详解：据上分析可知：A、B、D 三个选项的展开图是正确的，而 C 选项中有 4 个正方形面，是不正确的。故答案为：C 点睛：此题重点考查对长方体特征的认识和展开图的识别。6 4 6 分析：根据正方体展开图 11 种特征，此图属于正方体展开图的“132”型，根据特征进行判断即可。详解：由分析可得：该展开图中，折成正方体后，“1”和“4”相对，“2”和“5”相对，“3”和“6”相对。综上所述：如图是一个正方体盒子的平面展开图，数字“1”的对面是“4”，数字“3”的对面是“6”。点睛：本题考查了正方体展开图的特征，总共分四种类型，11 种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并且记住规律。7见详解 分析：1、2、3、4、5、6 这 6 个数字，如果分成三组，每组两数之和相等，只有 162534，即 1 与 6 相对，2 与 5 相对，3 与 4 相对。根据正方体展开图的 11 种特征，此图属于正方展开图的“141”型，折成正方体后，第一行与第三行的两个正方形相对，中间一行的第一个与第三个正方形相对，第二个与第四个正方形相对。据此可将 1、2、3、4、5、6 分别填在如图中的每个方格内，使折成的正方体中相对的 2 个面的数之和相等。详解：如图：点睛：弄清此图折成正方体后，哪些面相对，1、2、3、4、5、6 这 6 个数字中哪两个数字相加和相等是关键。8 6 相等 6 相同 分析：长方体的每个面都是长方形（特殊情况下有 2 个正方形的面），相对的面完全相同，面积相等。正方体的每个面都是正方形，每个面完全相同。据此解题。详解：长方体的展开图由 6 个长方形组成，且相对面的面积相等；正方体的展开图是由 6 个相同的正方形组成的。点睛：本题考查了长方体和正方体的展开图，掌握长方体和正方体的特征是解题的关键。9 6 4 5 分析：从两次的图形中可以得知：3 是和 1、2、4、6 相邻，所以 3 的对面就是 5；由第二次看到的图形可以得知 2 与 1、3、5、6 相邻，据此可推出 2 的对面是 4；由第三次看到的图形可以得知 1 与 2、3、4、5 相邻，进而推出 1 的对面是 6。据此解答。详解：根据分析可得，以 3 为中心的展开图如下：所以数字 1 的对面是数字 6；数字 2 的对面是数字 4；数字 3 的对面是数字 5。点睛：用排除法，先找出 3 的旁边都有哪些数字，那么这些数字就不可能在它的对面，由此即可找到对面的数字。10爱 分析：将正方体展开图在想象中还原，再找出与“诚”字相对的面上的字。详解：下图中，与“诚”字相对的面上的字是爱。点睛：本题考查了正方体展开图，有一定空间观念是解题的关键。11 分析：根据正方体展开图的 11 种特征，此图属于正方体展开图的“141”型，折成正方体后，“保”与“条”相对，“护”与“例”相对，“渭”与“河”相对；据此解答。详解：根据分析可知，下图是一个正方体的平面展开图，与汉字“渭”相对面上的的汉字是“河”。故答案为：点睛：熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。12 分析：长方体有 6 个面，其中有两个相对的面可能是正方形，据此解答。详解：当长方体有两个相对的面是正方形时，它的展开图中会有两个正方形。原题说法错误。故答案为：点睛：掌握特殊的长方体的特征是解题的关键。13 分析：根据正方体展开图的 11 种特征，此图属于正方体展开图的“1-3-2”型，折成正方体后，“惟”与“锦”相对，“愿”与“河”相对，“山”与“绣”相对。详解：如图：某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“惟”字所在面相对的面上的汉字是“锦”。原题说法正确。故答案为：点睛：正方体展开图分四种类型，11 种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。14 分析：长方体的每个面都是长方形（特殊情况下有 2 个正方形的面），相对的面完全相同；正方体的每个面都是正方形，每一面完全相同，据此解答。详解：根据分析可知，正方体展开图都是正方形，长方体展开图的在特殊的情况下有 2 个面是正方形。原题干说法错误。故答案为：点睛：熟练掌握长方体、正方体的体征以及展开图的特征进行解答。15 分析：根据正方体展开图的 11 种特征，此图属于正方体展开图的“2-2-2”型，折成正方体后，汉字“共”与“山”相对，“建”与“绿”相对，“青”与“水”相对。详解：如图：一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“水”字相对的字是“青”。故答案为：点睛：正方体展开图分四种类型，11 种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。16画图见详解；5；4；2 分析：根据长方体的特征，长方体的上面和下面完全相同，左面和右面完全相同，前面和后面完全相同，据此画图即可；由上图可数出长方体的长为 5 格，即 5 厘米，宽为 4 格，即 4 厘米，高为 2 格，即 2 厘米。详解：如下如：长是 5 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米。点睛：本题考查长方体的特征以及长方体的展开图，学生需熟练掌握长方体的基本特征。17280 厘米 分析：根据题意可知，灯罩的长 36 厘米、宽 12 厘米、高 22 厘米，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和（长宽高）4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。详解：（362212）4 704 280（厘米）答：至少需要 280 厘米的木条。点睛：本题主要考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。1832 平方厘米 分析：先将平面图折叠成立体图，判断出房屋模型中的屋顶面是哪个面，然后根据屋顶面形状，求出它的大小。在此模型中，屋顶面是由两个长方形面组成，所以运用长方形面积计算公式计算即可。详解：由分析可知：屋顶是由两个长为 8 厘米，宽为 2 厘米的长方形组成的。822 162 32（平方厘米）答：至少要用去 32 平方厘米的纸板。点睛：本题主要考查对图形的展开与折叠灵活运用。19456 平方厘米 分析：由题意可知，剪后的硬纸板的面积原长方形面积4小正方形面积，将数值代入长方形面积计算公式求值即可。详解：2620444 52064 456（cm2）答：剪后的硬纸板的面积是 456 平方厘米。点睛：此题主要考查了学生动手操作的能力，在计算不规则图形的面积时，一般都会把它转化成几个规则图形的面积之和或差，再利用规则图形的面积公式进行解答。20见详解 分析：从两次的图形中可以得知：3 是和 1、2、4、6 相邻，所以 3 的对面就是 5；由第二次看到的图形可以得知 2 与 1、3、5、6 相邻，据此可推出 2 的对面是 4，进而推出 1 的对面是 6。据此解答。详解：根据分析可得，以 3 为中心的展开图如下：答：数字 1 的对面是数字 6；数字 2 的对面是数字 4；数字 3 的对面是数字 5。点睛：本题的关键是明确数字 6 是靠着数字 2 的。21见详解 分析：根据长方体的展开图的特征，长方体展开图对面是相同的长方形，左面与右面是相对的两个面，上面与下面是相对的两个面，前面与后面是相对的两个面，据此可依次画出右面、后面、上面。详解：作图如下：点睛：此题的解题关键是理解掌握长方体展开图的特征。22见详解 分析：根据长方体展开图的特征，可以画一个“141”结构，“1”表示上、下底面，4 表示的四个长方形，4 个长方形表示长方体的侧面展开图，因为无盖，要去掉一个“1”，侧面是前、后为长 6 厘米，宽 2 厘米的长方形，左、右面是长 3 厘米，宽是 2 厘米的长方形，底面是长 6厘米，宽 3 厘米的长方形（画法不唯一）。详解：（答案不唯一）点睛：本题考查长方体展开图的知识，结合长方体展开图的特征进行解答。