第二章　函数的概念与性质.docx

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【标题】第二章函数的概念与性质第一节函数的概念及其表示1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.1.函数的概念与表示（1）函数的概念（2）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法；（3）同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.提醒若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：yx2（x0）与yx2.2.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.提醒分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.1.判断正误.（正确的画“”，错误的画“×”）（1）函数y1与yx0是同一个函数.（）（2）对于函数f：AB，其值域是集合B.（）（3）f（x）x-32-x是一个函数.（）（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数.（）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2.已知函数f（x）x2-x,x1,11-x,x>1,则f（f（1）（）A.1B.15C.15D.1解析：A因为11，所以f（1）（1）2（1）2，因为f（1）21，所以f（f（1）f（2）11-21.3.（2022·北京高考）函数f（x）1x1-x的定义域是. 解析：因为f（x）1x1-x，所以x0，1x0，解得x（，0）（0，1.答案：（，0）（0，14.已知函数f（x1）x2，则f（x）. 解析：令x1t，则xt1，f（t）（t1）2t22t1，所以f（x）x22x1.答案：x22x15.已知函数f（x）2x3，xxN1x5，则函数f（x）的值域为. 解析：由f（x）2x3，xxN1x5，得f（1）1，f（2）1，f（3）3，f（4）5，f（5）7，所以函数f（x）的值域为1，1，3，5，7.答案：1，1，3，5，71.直线xa（a是常数）与函数yf（x）的图象有0个或1个交点.2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.1.（多选）下列所给图象是函数图象的是（）解析：CD由结论1知，题图A、B均不是函数图象，C、D是函数图象.2.定义在R上的函数f（x）1,xQ,0,xQ的值域为. 解析：根据结论2知答案为0，1.答案：0，1函数的概念及应用1.下列对应关系或关系式中是从A到B的函数的是（）A.AR，BR，x2y21B.A1，0，1，B1，2，f：xyx1C.AR，BR，f：xy1x-2D.AZ，BZ，f：xy2x-1解析：B对于A，x2y21可化为y±1-x2，显然对任意xA（x±1除外），y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C，当x2时，对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，当x1时，在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义.2.（多选）下列各图中，可能是函数图象的是（）解析：ACDB选项，x0时有两个y值与之对应，不是函数图象，故B错误；其他选项中的图象中的x均有唯一确定的y值与之对应.故选A、C、D.3.（多选）下列各组函数是同一个函数的是（）A.y|x|x与y1B.y(x-1)2与yx1C.y(x)2x与yx(x)2D.yx3+xx2+1与yx解析：CD对于A，函数y|x|x的定义域为xx0，函数y1的定义域为R，两函数定义域不同，A错误；对于B，函数y(x-1)2的定义域为R，化简可得yx1，与yx1解析式不同，B错误；对于C，函数y(x)2x的定义域为xx0，函数yx(x)2的定义域为xx0，化简均为y1（x0），C正确；对于D，函数yx3+xx2+1的定义域为R，化简可得yx，D正确.故选C、D.练后悟通一个对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：（1）A，B必须是非空数集；（2）A中任何一个元素在B中必须有元素与之对应；（3）A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.函数的定义域【例1】 （1）（2023·武汉模拟）函数f（x）1ln(x+1)4-x2的定义域为（）A.2，0）（0，2B.（1，0）（0，2C.2，2D.（1，2（2）（2023·西安检测）已知函数yf（x）的定义域为8，1，则函数g（x）f(2x+1)x+2的定义域是（）A.（，2）（2，3B.（8，2）（2，1 C.-92,-2（2，0D.-92,-2解析（1）要使函数有意义，则需x+1>0,x+11,4-x20,解得1x2且x0，所以x（1，0）（0，2.（2）f（x）的定义域为8，1，-82x+11,x+20,解得92x0，且x2.g（x）的定义域为-92,-2（2，0.答案（1）B（2）C解题技法1.求给定函数解析式的定义域（1）求给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式（组）求解；（2）当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.2.求抽象函数定义域的方法1.函数f（x）-x2+3x+4lnx的定义域是（）A.（0，1）（1，4B.（0，4C.（0，1）D.（0，1）4，）解析：A函数f（x）-x2+3x+4lnx中，令-x2+3x+40,x>0,lnx0,得x2-3x-40,x>0,x1,解得-1x4,x>0,x1,即0x4且x1，所以函数f（x）的定义域是（0，1）（1，4.故选A.2.如果函数f（x）ln（2xa）的定义域为（，1），那么实数a的值为（）A.2B.1C.1D.2解析：D因为2xa0，所以xa2，所以a21，所以a2.函数的解析式【例2】 求下列函数的解析式：（1）已知f（1sin x）cos2x，求f（x）的解析式；（2）已知fx+1xx21x2，求f（x）的解析式；（3）已知f（x）是一次函数且3f（x1）2f（x1）2x17，求f（x）的解析式；（4）已知f（x）满足2f（x）f（x）3x，求f（x）的解析式.解（1）（换元法）设1sin xt，t0，2，则sin x1t，f（1sin x）cos2x1sin2x，f（t）1（1t）22tt2，t0，2.即f（x）2xx2，x0，2.（2）（配凑法）fx+1xx21x2x+1x22，f（x）x22，x（，22，）.（3）（待定系数法）f（x）是一次函数，可设f（x）axb（a0），3a（x1）b2a（x1）b2x17.即ax（5ab）2x17，a=2,5a+b=17,解得a=2,b=7.f（x）2x7.（4）（方程组法）2f（x）f（x）3x，将x用x替换，得2f（x）f（x）3x，由解得f（x）3x.解题技法求函数解析式的4种方法1.（2023·广东模拟）已知f（x1）x2x，则f（x）（）A.x21（x0）B.x1（x1）C.x21（x1）D.x1（x0）解析：C已知f（x1）x2x，则f（x1）（x）22x11（x1）21，令tx1（t1），f（t）t21（t1），f（x）x21（x1）.2.设函数f（x）是单调递增的一次函数，满足f（f（x）16x5，则f（x）（）A.4x53B.4x53C.4x1D.4x1解析：Df（x）为单调递增的一次函数，设f（x）axb，a0，故f（f（x）a（axb）ba2xabb16x5，a216，abb5，解得a4，b1或a4，b53（不合题意，舍去）.因此f（x）4x1.故选D.分段函数考向1分段函数求值【例3】 已知函数f（x）x+1x-2,x>2,x2+2,x2,则f（f（1）（）A.12B.2C.4D.11解析因为f（1）1223，所以f（f（1）f（3）313-24.故选C.答案C解题技法求分段函数函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a）的形式时，应从内到外依次求值.考向2分段函数与方程、不等式问题【例4】（1）已知函数f（x）2x,x>0,x+1,x0,若f（a）f（1）0，则实数a的值为（）A.3B.1C.1D.3（2）设函数f（x）x+1,x0,x2,x>0,则满足f（x1）14的x的取值范围为（）A.-,32B.-,-340,12C.-,141,32D.-,542,52解析（1）因为f（1）2，所以f（a）2a0,a+1=-2或a>0,2a=-2,解得a3，故选A.（2）因为f（x）x+1,x0,x2,x>0,当x10，即x1时，不等式f（x1）14可化为（x1）214，解得12x32，则1x32；当x10，即x1时，不等式f（x1）14可化为x1114，即x14，则x14.综上，满足f（x1）14的x的取值范围为-,141,32.故选C.答案（1）A（2）C解题技法1.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.2.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可.提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.1.已知函数f（x）2x+1,x<1,f(x-3),x1,则f（9）（）A.2B.9C.65D.513解析：A因为f（x）2x+1,x<1,f(x-3),x1,所以f（9）f（6）f（3）f（0）201112，故选A.2.已知函数f（x）log2x,x>0,|x-1|,x0,若f（a）2，则实数a的值为. 解析：当a0时，f（a）log2a2，所以a4；当a0时，f（a）a11a2，所以a1.所以实数a的值为4或1.答案：4或13.设函数f（x）12x-1,x0,1x,x<0,若f（a）a，则实数a的取值范围是. 解析：当a0时，f（a）12a1，由f（a）a，解得a2，矛盾；当a0时，f（a）1a，由f（a）a，解得a1.所以a的取值范围为（，1）.答案：（，1）1.（2023·重庆模拟）函数f（x）3-xlgx的定义域是（）A.（0，3）B.（0，1）（1，3）C.（0，3D.（0，1）（1，3解析：Df（x）3-xlgx，3-x0,lgx0,x>0,解得0x1或1x3，故函数的定义域为（0，1）（1，3.2.若函数yf（x）的定义域为Mx2x2，值域为Ny0y2，则函数yf（x）的图象可能是（）解析：BA中函数定义域不是2，2；C中图象不表示函数；D中函数值域不是0，2.3.下列各组函数中是同一个函数的是（）A.yx与yx2xB.yx2+xx+1与yx（x1）C.yx（x0）与yx2D.yx1x与y2x1解析：B对于A，yx的定义域为R，yx2x的定义域为xx0，定义域不同，不是同一个函数，故A不正确；对于B，yx2+xx+1的定义域为xx1，且yx2+xx+1x，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故B正确；对于C，yx（x0），而yx2x的定义域为R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一个函数，故C不正确；对于D，yx1x与y2x1的对应关系不同，所以不是同一个函数，故D不正确，故选B.4.（2022·北京高考）已知函数f（x）11+2x，则对任意实数x，有（）A.f（x）f（x）0B.f（x）f（x）0C.f（x）f（x）1D.f（x）f（x）13解析：C函数f（x）的定义域为R，f（x）11+2-x2x1+2x，所以f（x）f（x）2x1+2x11+2x1，故选C.5.已知f1+xxx2+1x21x，则f（x）（）A.（x1）2（x1）B.（x1）2（x1）C.x2x1（x1）D.x2x1（x1）解析：Cf1+xxx2+1x21xx+1x2x+1x1，令x+1xt（t1），则f（t）t2t1（t1），即f（x）x2x1（x1）.6.已知函数f（x）x+3,x0,x,x>0,若f（a3）f（a2），则f（a）（）A.2B.2C.1D.0解析：B由已知得函数f（x）在区间（，0和（0，）上分别是单调递增的，且a3a2，又f（a3）f（a2），所以aa+2，解得a2，故f（a）f（2）2，选B.7.（多选）已知函数f（x）log3(x-2),x>2,3x-1,x2,则（）A.f（5）1B.f（f（5）1C.f（3）9D.f（f（3）log37解析：AB根据题意，函数f（x）log3(x-2),x>2,3x-1,x2.对于A，f（5）log3（52）log331，A正确；对于B，f（f（5）f（1）301，B正确；对于C，f（3）log3（32）log310，C错误；对于D，f（f（3）f（0）3113，D错误.故选A、B.8.（多选）下列函数中，满足f（18x）18f（x）的是（）A.f（x）xB.f（x）xxC.f（x）x2D.f（x）2x解析：ABD若f（x）x，则f（18x）18x18x18f（x）；若f（x）xx，则f（18x）18x18x18（xx）18f（x）；若f（x）x2，则f（18x）18x2，而18f（x）18x18×2，故f（x）x2不满足f（18x）18f（x）；若f（x）2x，则f（18x）2×18x18×（2x）18f（x）.故选A、B、D.9.（多选）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译代微积拾级中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M1，1，2，4，N1，2，4，16，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A.y2xB.yx2C.y2xD.yx2解析：CD在A中，当x4时，y8N，故A错误；在B中，当x1时，y3N，故B错误；在C中，任取xM，总有y2xN，故C正确；在D中，任取xM，总有yx2N，故D正确.故选C、D.10.若函数f（x）在闭区间1，2上的图象如图所示，则此函数的解析式为. 解析：由题图可知，当1x0时，f（x）x1；当0x2时，f（x）12x，所以f（x）x+1,-1x<0,-12x,0x2.答案：f（x）x+1,-1x<0,-12x,0x211.设函数f（x）2x,x0,|log2x|,x>0,则使f（x）12的x的集合为. 解析：由题意知，若x0，则2x12，解得x1；若x0，则log2x12，解得x212或x2-12，故所求x的集合为1，2，22.答案：1，2，2212.已知函数f（x）满足f1x1xf（x）2x（x0），则f（2），f12. 解析：令x2，可得f1212f（2）4，.令x12，可得f（2）2f121，.联立解得f（2）72，f1294.答案：729413.已知f12x-12x5，且f（a）6，则a（）A.74B.74C.43D.43解析：B令t12x1，则x2t2，所以f（t）2（2t2）54t1，所以f（a）4a16，即a74.14.已知函数f（x）log2x,0<x<4,f(x-2),x4,则f（6）（）A.1B.2C.log26D.3解析：A因为64，所以f（6）f（62）f（4），因为44，所以f（4）f（42）f（2），而2（0，4），故f（6）f（2）log221，故选A.15.已知函数f（x）x1-2x，则函数f(x-1)x+1的定义域为（）A.（，1）B.（，1）C.（，1）（1，0）D.（，1）（1，1）解析：D令12x0，即2x1，即x0.f（x）的定义域为（，0）.函数f(x-1)x+1中，有x-1<0,x+10,解得x1且x1.故函数f(x-1)x+1的定义域为（，1）（1，1）.16.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）.那么对于图中给定的t0和t1，下列判断一定正确的是（）A.在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面解析：A由图象可知，曲线v甲比v乙在0t0，0t1与x轴所围成图形的面积大，则在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面.17.已知函数f（x）log2x,x>1,x2-1,x1,则f（x）f（x1）的解集为（）A.（1，）B.（1，1）C.-12,+D.-12,1解析：C当x0时，x11，f（x）f（x1）等价于x21（x1）21，解得12x0；当0x1时，x11，此时f（x）x210，f（x1）log2（x1）0，0x1时，恒有f（x）f（x1）；当x1时，f（x）f（x1）log2xlog2（x1）恒成立，综上知，不等式f（x）f（x1）的解集为-12,+.18.已知函数f（x）的定义域为（1，），值域为R，则下列结论一定正确的是（）A.函数f（x21）的定义域为RB.函数f（x22）1的值域为RC.函数fex+1ex的定义域和值域都是RD.函数f（f（x）的定义域和值域都是R解析：C对于选项A，令x211，可得x0，所以函数f（x21）的定义域为xx0，故选项A不正确；对于选项B，因为f（x）的值域为R，x222，所以f（x22）的值域不确定，所以函数f（x22）1的值域不确定，故选项B不一定正确；对于选项C，因为ex+1ex1恒成立，所以函数fex+1ex的定义域为R，函数fex+1ex的值域为R，故选项C正确；对于选项D，若函数f（f（x）的值域是R，则f（x）1，此时无法判断其定义域是否为R，故选项D不一定正确.19.（多选）设函数f（x）1-x,xa,2x,x>a,若f（1）2f（0），则实数a的值可以为（）A.1B.0C.1D.2解析：AB若a0，则f（0）1，f（1）2，f（1）2f（0）成立；若0a1，则f（0）1，f（1）2，f（1）2f（0）成立；若a1，则f（0）1，f（1）0，f（1）2f（0）不成立.综上所述，实数a的取值范围是（，1），由选项可知，实数a可以为1，0，故选A、B.20.（多选）具有性质f1xf（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数满足“倒负”变换的是（）A.yx1xB.yx1xC.yx(0<x<1),0(x=1),-1x(x>1)D.yx31x3解析：ACD对于A，f1x1xxf（x），满足“倒负”变换；对于B，f1x1xxf（x），不满足“倒负”变换；对于C，f1x-x(0<x<1),0(x=1),1x(x>1),满足f1xf（x），满足“倒负”变换；对于D，f1x1x3x3，满足f1xf（x），满足“倒负”变换.故选A、C、D.21.（多选）已知函数f（x）x+2,x-1,x2+1,-1<x<2,关于函数f（x）的结论正确的是（）A.f（x）的定义域是RB.f（x）的值域是（，5）C.若f（x）3，则x的值为2D.f（x）的图象与y2有两个交点解析：BC由函数f（x）x+2,x-1,x2+1,-1<x<2知，定义域为（，1（1，2），即（，2），A错误；x1时，f（x）x2（，1，1x2时，x2（0，4），故f（x）x21（1，5），故值域为（，5），B正确；由分段函数的取值可知f（x）3时x（1，2），即f（x）x213，解得x2或x2（舍去），故C正确；由分段函数的取值可知f（x）2时x（1，2），即f（x）x212，解得x1或x1（舍去），故f（x）的图象与y2有1个交点，故D错误.故选B、C.22.已知f（x）是二次函数且满足f（0）1，f（x1）f（x）2x，则函数f（x）的解析式为. 解析：由题意，设f（x）ax2bxc（a0），因为f（0）1，即c1，所以f（x）ax2bx1，所以f（x1）f（x）a（x1）2b（x1）1（ax2bx1）2axab2x，从而有2a=2,a+b=0,解得a=1,b=-1,所以f（x）x2x1.答案：f（x）x2x123.已知函数f（x）3x-1ax2+ax-3的定义域是R ，则实数a的取值范围是. 解析：因为函数f（x）3x-1ax2+ax-3的定义域是R，所以ax2ax30对任意实数x都成立.当a0时，显然成立；当a0时，需a212a0，解得12a0.综上所述，实数a的取值范围为（12，0.答案：（12，024.已知函数f（x）2x-1,x1,3-2x,x<1,则满足不等式f（a1）f（f（2）的实数a的取值范围为. 解析：由题意，函数f（x）2x-1,x1,3-2x,x<1,可得f（2）2，f（f（2）2，所以由不等式f（a1）f（f（2），可得f（a1）2，则a+11,2a2或a+1<1,3-2(a+1)2,解得a1或a12，即实数a的取值范围为-,-121，）.答案：-,-121，）第二节函数的单调性与最值1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.1.函数的单调性（1）增函数和减函数增函数减函数定义要求x1，x2一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间ID，如果x1，x2I，当x1x2时要求f（x1）与f（x2）都有f（x1）f（x2）都有f（x1）f（x2）结论函数f（x）在区间I上是增函数函数f（x）在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义：如果函数yf（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做yf（x）的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件xD，都有f（x）M；x0D，使得f（x0）MxD，都有f（x）M；x0D，使得f（x0）M结论M是函数yf（x）的最大值M是函数yf（x）的最小值1.判断正误.（正确的画“”，错误的画“×”）（1）若函数f（x）在区间（1，2和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（）（2）函数y1x的单调递减区间是（，0）（0，）.（）（3）对于函数yf（x），若f（1）f（3），则f（x）为增函数.（）答案：（1）×（2）×（3）×2.（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（）A.f（x）xB.f（x）23xC.f（x）x2D.f（x）3x解析：D取x11，x20，对于A项有f（x1）1，f（x2）0，所以A项不符合题意；对于B项有f（x1）32，f（x2）1，所以B项不符合题意；对于C项有f（x1）1，f（x2）0，所以C项不符合题意.故选D.3.函数y1x-1在2，3上的最小值为（）A.2B.12C.13D.12解析：B因为y1x-1在2，3上单调递减，所以ymin13-112.故选B.4.函数yx2+2x-24的单调递减区间为. 解析：由题意知，要使函数yx2+2x-24有意义，则x22x240，解得x6或x4，易知yx22x24在（，6上单调递减，在4，）上单调递增，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数yx2+2x-24的单调递减区间是（，6.答案：（，65.若函数y（2k1）xb在R上是减函数，则k的取值范围是. 解析：因为函数y（2k1）xb在R上是减函数，所以2k10，即k12.答案：-,-121.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：（1）当f（x），g（x）都是增（减）函数时，f（x）g（x）是增（减）函数；（2）若k0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k0，则kf（x）与f（x）单调性相反；（3）函数yf（x）（f（x）0）在公共定义域内与yf（x），y1f(x)的单调性相反.2.函数单调性的两个等价结论设x1，x2D（x1x2），则：（1）f(x1)-f(x2)x1-x20（或（x1x2）f（x1）f（x2）0）f（x）在D上单调递增；（2）f(x1)-f(x2)x1-x20（或（x1x2）f（x1）f（x2）0）f（x）在D上单调递减.1.（多选）若函数f（x），g（x）在给定的区间上具有单调性，下列说法正确的是（）A.函数f（x）与f（x）c（c为常数）具有相同的单调性B.函数f（x）与c·f（x）具有相同的单调性C.若f（x）0，则函数f（x）与1f(x)具有相反的单调性D.若函数f（x），g（x）都是减函数，则f（x）g（x）是减函数解析：AD对于A，根据图象进行上下平移单调性不变，可知命题正确；由结论1可知选项B、C错误，D正确，故选A、D.2.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，b0，），总有f(a)-f(b)a-b0，则满足f（2x3）f（1）的实数x的取值范围是. 解析：由结论2知，函数f（x）在区间0，）上单调递增，又函数为偶函数，则在（，0上单调递减，故f（2x3）f（1）即2x31，解得1x2，故实数x的取值范围是（1，2）.答案：（1，2）确定函数的单调性（区间）考向1判断或证明函数的单调性【例1】 用定义法证明函数f（x）x21x在（0，）上单调递增.证明任取x1，x2（0，），不妨设x1x2.由f（x1）f（x2）x12-1x1x22-1x2（x12x22）1x2-1x1（x1x2）（x1x2）x1-x2x1x2（x1x2）x1+x2+1x1x2，因为0x1x2，所以x1x20，x1x21x1x20，则（x1x2）·x1+x2+1x1x20，所以f（x1）f（x2），所以f（x）在（0，）上单调递增.解题技法定义法证明或判断函数单调性的步骤提醒判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.考向2求函数的单调区间【例2】 求函数f（x）x22x1的单调区间.解f（x）-x2+2x+1,x0,-x2-2x+1,x<0-(x-1)2+2,x0,-(x+1)2+2,x<0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（，1和0，1，单调递减区间为（1，0）和（1，）.解题技法确定函数的单调区间的方法1.下列函数在区间（0，）上单调递减的是（）A.f（x）ln xB.f（x）exC.f（x）xD.f（x）1x解析：B对于A，f（x）ln x为对数函数，其底数e1，在区间（0，）上单调递增，不符合题意；对于B，f（x）ex为指数函数，其底数1e1，在区间（0，）上单调递减，符合题意；对于C，f（x）x为幂函数，其指数120，在区间（0，）上单调递增，不符合题意；对于D，f（x）1x-1x为反比例函数，在区间（0，）上单调递增，不符合题意.故选B.2.函数f（x）ln（x22x8）的单调递增区间是（）A.（，2）B.（，1）C.（1，）D.（4，）解析：D由x22x80，得f（x）的定义域为xx2或x4.设tx22x8，则yln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间（定义域内）.函数tx22x8在区间（4，）上单调递增，在区间（，2）上单调递减，函数f（x）的单调递增区间为（4，）.故选D.3.能使“函数f（x）xx1在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为0，2”是真命题的一个区间I为 . 解析：当x1时，f（x）x（x1）x2x；当x1时，f（x）x（1x）x2x，f（x）在-,12，（1，）上单调递增，在12,1上单调递减.令f（x）0，解得x1或x0；令f（x）2，解得x2，只需Ia，2，0a1或I（b，2，0b1时，f（x）在I上不单调且函数值的集合为0，2.答案：12,2（答案不唯一）函数单调性的应用考向1利用单调性比较函数值的大小【例3】 设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在0，）上为增函数，则f（2），f（），f（3）的大小顺序是（）A.f（）f（2）f（3）B.f（2）f（3）f（）C.f（）f（3）f（2）D.f（3）f（2）f（）解析f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，f（x）是偶函数，f（2）f（2），f（）f（），又f（x）在0，）上为增函数，且23，f（2）f（3）f（），f（2）f（3）f（）.故选B.答案B解题技法利用单调性比较函数值大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小.考向2利用单调性解不等式【例4】已知函数f（x）ln x2x，若f（x24）2，则实数x的取值范围是. 解析因为函数f（x）ln x2x在定义域（0，）上单调递增，且f（1）ln 122，所以由f（x24）2得，f（x24）f（1），所以0x241，解得5x2或2x5.答案（5，2）（2，5）解题技法考向3由函数单调性求参数的值（范围）【例5】 已知函数f（x）exa（a为常数），若f（x）在区间1，）上是增函数，则实数a的取值范围是. 解析令txa，yet，txa在（，a）上单调递减，在a，）上单调递增.又yet为增函数，f（x）exa在（，a）上单调递减，在a，）上单调递增，a1.答案（，1解题技法利用函数的单调性求参数的方法（1）根据其单调性直接