4.北京师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题（解析版）.docx

2023-2024学年度北京师大附中高三开学测试数学 2024.2第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意，所以.故选：C.2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.【详解】，即，故A正确；取，则不成立，故B错误；取，则不成立，故C错误；取，则，故D错误.故选：A3. 设，若，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.【详解】展开式第项，.故选：A.4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；对于B，的定义域为，则为偶函数，故B不符合；对于C，的定义域为，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；对于D，的定义域为，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.故选：D.5. 已知函数，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为定义域为，所以为奇函数，且为上的增函数.当时，所以，即“”是“”的充分条件，当时，由的单调性知，即，所以“”是“”成立必要条件.综上，“”是“”的充要条件.故选：C6. 已知双曲线的实轴长为2，且与椭圆的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，进而得双曲线的焦点坐标，再根据的值求出，即可得到双曲线的标准方程，最后求双曲线的渐近线方程即可.【详解】椭圆的焦点坐标为，故，可设双曲线的方程为，则.双曲线的实轴长为2，可得：，双曲线的标准方程为.令，得，故双曲线的渐近线方程为故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线和椭圆的标准方程和几何性质，考查数学运算核心素养，解题关键是掌握双曲线的渐近线方程定义，属于基础题.7. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）A. 是一个半径为的圆B. 是一条与相交的直线C. 上的点到的距离均为D. 是两条平行直线【答案】C【解析】【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.【详解】设，由，则，由在直线上，故，化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C.8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的一个周期为B. 的最大值为C. 的图象关于直线对称D. 在区间上有3个零点【答案】D【解析】【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，故A错误；B.，当，时，取得最大值1，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；D.，即，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D正确.故选：D9. 如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（ ） A. 10B. 13C. 18D. 26【答案】B【解析】【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论【详解】是边的中点，可得，是的外接圆的圆心，同理可得，故选：B10. 已知正方体的棱长为2，点为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题：若点总满足，则动点的轨迹是一条直线；若点到直线与到平面的距离相等，则动点的轨迹是抛物线；若点到直线的距离与到点的距离之和为2，则动点的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足的动点的轨迹，从而可判断；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点的轨迹，即可得判断，从而可得答案.【详解】对于，如图在正方体中，连接，在正方体中，因为四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面平面，平面，点总满足，所以平面，所以，则动点的轨迹是一条直线，故正确；对于，平面,平面，则点到直线等于到的距离，又到平面的距离等于到的距离，则到的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线，故正确；对于，点到直线的距离等于到的距离，所以到的距离与到点的距离之和为2，即，则点的轨迹为线段，故不正确.所以正确的命题个数是2.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 若复数，则_.【答案】【解析】【分析】根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因，所以.故答案为：【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12. 函数的值域为_【答案】【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.【详解】因为当时，当时，所以函数的值域为，故答案为：13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为_【答案】【解析】【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O点到直线距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，直线AB：，联立方程，消去x可得，韦达定理得，因为，所以，即，所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，所以.故答案为：14. 在中，（1）若，则_；（2）当_（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个【答案】 . . （答案不唯一）【解析】【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.【详解】（1），由余弦定理，即，解得.（2）因为,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）故答案为：；6.15. 项数为的有限数列的各项均为不小于的整数，满足，其中给出下列四个结论：若，则；若，则满足条件的数列有4个；存在的数列；所有满足条件的数列中，首项相同其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】由题意可得，所以，从而可判断，；当时，得，所以，则，从而判断；当时，可得，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，从而可得数列，即可判断【详解】因为有限数列的各项均不小于的整数，所以，又因为，所以，所以，且，为整数，所以，所以错误，正确；当时，得，所以，则，所以，故错误；当时，得，又因为，所以，则，所以，为整数，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，故数列可能为，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4个，故正确故答案为：【点睛】思路点睛：项数为的有限数列的性质入手，从各项，结合不等式放缩，确定的范围，从而得的值，逐项验证即可.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 如图，在三棱柱，侧面正方形，面平面，分别为的中点， （1）求证：平面；（2）求二面角成角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小问1详解】证明：取中点，连接， 在三棱柱中，四边形为平行四边形，面，面，平面【小问2详解】取中点，连接，为中点，则面平面，面平面，平面面，面，面正方形，为中点，如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，面，是平面的法向量，设面的法向量为，则，取，得，由图得，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为17. 设函数，从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得存在（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的最大值和最小值条件：；条件：的最大值为；条件：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分【答案】（1）选择条件， （2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【小问1详解】若选择条件，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件，由题意可得，设，由题意可得，其中，因为的最大值为，所以，解得，所以，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.【小问2详解】由正弦函数的图象可得当时，所以在区间上的最大值为，最小值为.18. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号12345考前预估难度测试后，随机抽取了20名学生答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理【答案】（1）48 （2） （3）合理【解析】【分析】（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，于是可求出240人中实测答对第5题的人数（2）的可能取值是0,1,2，根据超几何分布即可求出概率和分布列，进而求出期望；（3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度定义统计量，其中为第题的预估难度. 并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理计算值即可判断.【小问1详解】因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，所以估计240人中有人实测答对第5题【小问2详解】的可能取值是0,1,2，；的分布列为：012【小问3详解】将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度定义统计量，其中为第题的预估难度. 并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理.因为，所以该次测试的难度预估是合理的19. 已知椭圆的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且，直线l过圆的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率【答案】（1） （2）1或【解析】【分析】（1）由椭圆的性质得出即可；（2）当直线的斜率不存在时不符合题意；存在时设，由直线与圆O相切得到，然后直曲联立，写出韦达定理，用斜率和m表示的弦长公式写出三角形面积，解出方程组的解即可.【小问1详解】由题意可得，椭圆的方程为【小问2详解】若圆O的切线轴，则，不满足题意设直线的方程为，直线与圆O相切，联立与，消y得,设，则，到直线的距离为1，则，将代入消m可得，化简可得，解得（负值舍去），故直线的斜率为1或20. 已知函数（1）求的单调区间；（2）若对恒成立，求a的取值范围；（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【小问1详解】由题设，当时，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.【小问2详解】由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，【小问3详解】由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.21. 已知有穷数列满足给定正整数m，若存在正整数s，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列（1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；（2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；（3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值【答案】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析； （2）11 （3）0【解析】【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，可得结论；（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；（3）由都是连续等项数列可得，再由反证法证得，即可得出的值.【小问1详解】数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:因为，所以是连续等项数列.因为为；为；为;为，所以不存在正整数，使得.所以A不是连续等项数列.【小问2详解】设集合，则中的元素个数为.因为在数列中，所以.若，则.所以在这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.所以当项数时，数列一定是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若,数列不是连续等项数列.所以的最小值为11.【小问3详解】因为与都是连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,使得，下面用反证法证明.假设，因为，所以中至少有两个数相等.不妨设，则所以是连续等项数列，与题设矛盾.所以.所以.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，利用反证法求是关键点.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司