（奥数典型题）第六讲 抽屉原理（一）--2024年六年级下册数学思维拓展含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司二桃杀三士二桃杀三士 “二桃杀三士”是中国古代的一个历史故事,最早记载于晏子春秋,后来变成成语,比喻用阴谋杀人。这是怎样的一个故事呢?你肯定很好奇吧?故事是这样的:在春秋时 期齐景公的手下有三员大将,他们分别是田开疆、公孙接和古冶子。他们力大无比,武功超群,为齐景公立下过汗马功劳,但也因此恃功而骄,极其自负,不把别的官员放在眼里,为此得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便私下劝齐景公杀掉他们,并献上一计:先以齐景公的名义赏赐三名男士两个桃子,让他们自己评功,按功劳的大小来分桃吃。三勇士都认定自己的功劳最大,应该单独吃 个桃。公孙接抢得先机先讲了自己的打虎功,拿了 一个桃;田开疆紧接着讲了自己的杀敌功,拿起了 剩下的另一桃。两人正准备吃桃子,古冶子说出了 更大的功劳。另二人都觉得自己的功劳确实没有古 冶子的功劳大,一时羞愧难当,赶忙让出桃子并且 觉得自已功劳不如人家,却抢着要吃桃子,暴露了 自己的贪婪无耻,实在没有脸再活下去,于是都拔剑自刎了。古冶子见了,后悔不迭,仰天长叹道:“我们本是朋友,可为了一个桃子,我竟然吹捧自己羞辱朋友,真是太不讲义气了!如今他们都为此而死了,我独自活着,算什么勇士!”说罢,古冶子也拔剑自杀了。区区两个桃子,顷刻间让三位猛将都倒在血泊之中。晏子采用借“桃”杀人的办法,不费吹灰之力便达到了事先的目的,汉朝的一位无名氏在一首诗中曾讽刺的写道:“一朝被谗言,二桃杀三士。谁能为此谋,相国齐晏子!在晏子的权谋之中,包含了一个重要的数学原理抽屉原理。你知道是怎么回事吗?抽屉原理知识点归纳抽屉原理知识点归纳抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体 第六讲第六讲 抽屉原理（一）抽屉原理（一）板块二：知识精讲板块二：知识精讲 板块一：趣味数学板块一：趣味数学 （奥数典型题）第六讲 抽屉原理（一）-2024年六年级下册数学思维拓展 学科网（北京）股份有限公司 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：44+0+0 43+1+0 42+2+0 42+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体 抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有：k+1 个物体：当 n 不能被 m 整除时 k=个物体：当 n 能被 m 整除时 理解知识点：X表示不超过 X 的最大整数 例：4.3514；0.3210；2.99992；关键问题：构造物体和抽屉也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算 如果给你 5 盒饼干，让你把它们放到 4 个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有 2 盒饼干。如果把 4 封信投到 3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有 2 封信。如果把 3 本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。基本的抽屉原理有两条：（1）如果把 x+k（k1）个元素放到 x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素。（2）如果把 mxk（xk1）个元素放到 x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。例题例题 1 1：某单位购进 92 箱桔子，每箱至少 110 个，至多 138 个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱？【分析】每箱装的个数在 110138 个，从最不利的情况考虑，最多有 138110129 种装箱情况，把 29 种装箱情况看作 29 个抽屉，把 92 箱看作 92 个元素，那么每个抽屉需要放 92293（箱）5（箱），所以每个抽屉放剩下的 5 箱，再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：314 箱，所以，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有 4 箱，据此解答。板块三：典例好题板块三：典例好题 学科网（北京）股份有限公司【详解】根据分析可得，138110129（种）92293（箱）5（箱）314（箱）答：箱子数最多的一组至少有 4 箱。【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。练习练习 1 1：1、五年级数学小组共有 20 名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多。2、学校组织学生去游览西湖、灵隐寺、博物馆，规定每人至少去一处，最多去两处六（1）班有 36名同学，至少有多少名同学的目的地是相同的？3、扑克牌游戏中，黑桃 AK 分别代表自然数 113从这 13 张牌中，任意抽出 3 张，其中一定有两个数的和是偶数请你说说其中的道理 例题例题 2 2：将相同质地和大小的红、黄、蓝三种颜色的彩球各 5 个放入一个盒子里。（1）要保证取出的彩球至少有两种颜色，至少应取出几个球？（2）要保证三种颜色都有，则至少应取出几个球？【分析】利用极端思想从最差的情况考虑：（1）任意取出全部 1 种颜色的彩球 5 个，再任意取出 1 种彩球，都能保证一定有两种彩球是不同色的。（2）任意取出全部 2 种颜色的彩球 5510 个，再任意取出 1 种彩球，都能保证一定有三种彩球是不同色的。【详解】（1）516（个）答：至少应取出 6 个球。（2）551 学科网（北京）股份有限公司 101 11（个）答：则至少应取出 11 个球。【点睛】考查了学生分析问题的能力，利用极端思想是解决此题的好方法。练习练习 2 2：1从 1，2，3，49，50 这 50 个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除，则最多能取出多少个数？2把 1、2、3、10 这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17。3试卷上共有 4 道选择题，每题有 3 个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何 3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人？例题例题 3 3：某校五年级学生共有 380 人，年龄最大的与年龄最小的相差不到 1 岁，不用去查看学生的出生日期，这 380 名学生中至少有几名学生是同年同月同日出生的？【分析】平年有 365 天，闰年有 366 天，由于求至少有多少同年同月同日生，可按天数多的闰年计算，把366 天看作“抽屉”，把 380 人看作“物体个数”，3803661（名）14（名），即平均每天有一个学生出生的话，还余 1 名学生，根据抽屉原理可知，至少有 112 名学生的生日是同一天。【详解】3803661（名）14（名）112（名）答：这 380 名学生中至少有 2 名学生是同年同月同日出生的。【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。练习练习 3 3：1六（1）班有 41 名学生，他们做了 210 只千纸鹤，要把这些千纸鹤分给全班的学生，会不会有人得到6 只或 6 只以上的千纸鹤？学科网（北京）股份有限公司 2红、黄、蓝三种颜色的铅笔各 10 根混在一起，如果让你闭上眼睛，一次最少取出几根才能保证一定有三种颜色的铅笔？3一个布袋里有红色、白色、蓝色的袜子各 8 只每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中有 2 双颜色不同的袜子？（袜子不分左右）例例题题 4 4：一些孩子在海洋球里玩耍，他们把海洋球分成许多堆。其中有一个孩子发现，从海洋球堆中任意选出六堆，其中至少有两堆海洋球数之差是 5 的倍数。你说他的结论对吗？为什么？原题说法正确。我们把 6 堆海洋球数看作任意 6 个自然数，它们被 5 除，其余数不外乎是 0、1、2、3、4五种可能，如果把每一种余数看作一个抽屉，那么余数相同的两数就在同一抽屉里，根据“抽屉原理”，6个自然数被 5 除后，必有两个余数相同，显然两数之差是 5 的倍数。【分析】此题主要利用“抽屉原理”解决简单的实际问题，任何一个正整数除以 5 所得的余数只有 5 种情况：余 0（整数）、余 1、余 2、余 3、余 4。所以对于任意的六个正整数 A、B、C、D、E、F 除以 5 最多可以有 5 个不同的余数。【详解】答：原题说法正确。我们把 6 堆海洋球数看作任意 6 个自然数，它们被 5 除，其余数不外乎是0、1、2、3、4 五种可能，如果把每一种余数看作一个抽屉，那么余数相同的两数就在同一抽屉里，根据“抽屉原理”，6 个自然数被 5 除后，必有两个余数相同，显然两数之差是 5 的倍数。【点睛】此题是主要考查利用“抽屉原理”解决简单的实际问题，属于比较困难的题目，应该适当增加些此类题目的训练，提供自身运算速度和运算正确率。练习练习 4 4：1将一些书放入 5 个抽屉里，每个抽屉里都放书，且最多放有 2 本。若至少有 1 个抽屉里多于 1 本，则这些书可能有多少本？（写出所有可能情况）2某校六年级有 320 人，他们的年龄分别为 12 岁、13 岁，在这些同学中，至少有多少个同学是同年同月出生的？学科网（北京）股份有限公司 3宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共 12 个，其中柚子的个数是菠萝的 2 倍。随便拿出 4 个，其中至少有 1 个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？”例题例题 5 5：小红读一本故事书，6 天读了 72 页，照这样计算，她又读了 15 天，她又读了多少页？（用两种方法解答）【详解】试题分析：方法一：6 天读了 72 页，平均天读多少页，用 726=12 页，她又读了 15 天，她又读了多少页，用 1512=180 页，即可得解 方法二：6 天读了 72 页，平均 3 天读多少页，用 722=36 页，她又读了 15 天，她又读了多少页，用15336=180 页 解：方法一：72615=1215=180（页）答：她又读了 180 页 方法二：153（722）=536=180（页）答：她又读了 180 页【点评】解答此题关键是明确“照这样计算”的含义 练习练习 5 5：1、从 110 中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数？2、某班有 49 个学生，最大的 12 岁，最小的 9 岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？学科网（北京）股份有限公司 3、有外形相同的红、黄、绿三色球各 10 个。混合放入同一布袋中。一次至少摸几个球，才能保证有两种颜的同色球各一对？走进“抽屉原理”走进“抽屉原理”“抽屉原理”在生活中应用很广泛,比如:桌上有 10 个苹果,要把这 10 个;苹果放到 9 个抽屉里,无论怎样放,我们会发现肯定会有一个抽屉里面至少放两个苹果。如果把 4 封信投到 3 个信箱中,那么肯定有一个信箱中至少有两封信。如果把 3 本书分给两名同学,那么肯定其中有一名同学至少分到两本 书这些实例中都蕴含着数学中的“抽屉原理”。抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狄利克雷(1805-1859)明确提出来的,因此,也称为狄利克雷原理。原理 1:如果把 x+k(k1)个元素放到 x 个抽屉里,那么 至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素。原理 2:如果把 mx+k(xk1)个元素放到 x 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有(m+1)个或(m+1)个以上的元素。练习练习 1 1：1、【分析】数学小组共有 20 名同学，因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有 1 个朋友，因此，这 20 名同学中，每个同学的朋友数只有 19 种可能：1，2，3，19，抽屉数是 19，苹果数是 20。【详解】抽屉数是 19，苹果数是 20；20 1911=1 12+=（名）板块五：答案解析板块五：答案解析 板块四：数学故事板块四：数学故事 学科网（北京）股份有限公司所以至少有两名同学，他们的朋友人数一样多。【点睛】本题考查的是抽屉原理，首先要找出对应的抽屉数和苹果数，这里每个小朋友所拥有的朋友数的可能性作为抽屉数。26 名 3抽出 3 张有如下四种情形：(1)两张偶数一张奇数；(2)两张奇数一张偶数；(3)三张奇数；(4)三张偶数偶数偶数偶数，奇数奇数偶数，故无论抽到的是上述哪种情形，一定有两个数的和是偶数 练习练习 2 2：123个【分析】按照除以 7 的余数不同，可以分成余数是 0、1、2、3、4、5、6 这 7 组，求出每一组中数的个数，要使得任意两个数的和都不能被 7 整除，余 1 和余 6 不能同时取，余 2 和余 5 不能同时取，余 3 和余4 不能同时取，合理进行搭配，求出可以取出的数最多是多少。【详解】将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：0，1，2，3，4，5，6，所含的数的个数分别为7，8，7，7，7，7，7；被 7 除余 1 与余 6 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同样的，被 7 除余 2 与余 5 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被 7 除余 3 与余 4 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个数都是 7 的倍数，它们的和也是 7 的倍数，所以 7 的倍数中只能取 1 个；所以最多可以取出877 123+=个；答：最多能取出 23 个数。【点睛】本题考查的是抽屉原理，同时用到了同余的性质，两个数除以第三个数的余数相同，那么这两个数的差是第三个数的倍数。2见详解【分析】十个数按任意顺序排成一圈，如果以相邻的三个数为一组，那么总共可以找出 10 组数，这 10 组数的总和相当于把 110 的每一个数加了 3 次，总共是 165，165 是苹果数，10 是抽屉数。【详解】证明：把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 a1、a2、a3、a10；相邻的三个数为一组，有 a1a2a3、a2a3a4、a3a4a5、a9a10a1、a10a1a2 共 10 组；这十组三个数之和的总和为：()123456789 10355 3165+=；根据抽屉原理：学科网（北京）股份有限公司 165 10165=16 117+=所以一定有相邻的三个数之和不小于 17。【点睛】本题考查的也是抽屉问题，合理构造抽屉是求解问题的关键。39 人【分析】对于其中任何 3 人，都有一个题目的答案互不相同，有可能是第一题不一样，也有可能是第二题不一样，同样也可能是第三题、第四题不一样，需要考虑到每一种情况。【详解】设总人数为 A，再由分析可设第一题筛选取出的人数为1A，第二题筛选的人数为2A，第三题筛选取的人数为3A，第四题筛选的人数为4A。如果不能满足题目要求，则：4A至少是 3，即 3 个人只有两种答案。由于4A是3A人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知，（两种答案）中至少放有333AA个苹果（即4A）。333AA4A3，则 A3 至少为 4，即 4 人只有两种答案。由于3A是2A人做第三题后筛选的人数，则由抽屉原则知，将2A个苹果放久三个抽屉（三种答案），那么必然有两个抽屉（两种答案）中至少放有223AA个苹果（即3A）。223AA3A4，则2A至少为5，即 5 人只有两种答案。同理，有113AA2A5 则1A至少为 7，即做完第一道题必然有 7 个人只有两种答案；则有003AA1A7.则0A至少为 10，即当有 10 人参加考试时无法满足题目的要求。考虑 9名学生参加考试，令每人答题情况如下表所示（汉字表示题号，数字表示学生）。1 2 3 4 5 6 7 8 9 一 A A A B B B C C C 二 A B C A B C A B C 三 A B C B C A C A B 四 A B C C A B B C A 答：参加考试的学生最多有 9 人。【点睛】本题考查的是抽屉原理，题目并未直接给出抽屉数和苹果数是多少，需要自己进行构造。练习练习 3 3：1会 学科网（北京）股份有限公司【分析】尽可能平均分配就可以得到“至少”最多的一组数量。【详解】21041=5（只）5（只）5+1=6（只）答：会有人得到 6 只或 6 只以上的千纸鹤。【点睛】此类题目都是先用除法计算再用加法计算，直接用商加上 1 即可得到最多的一组的数量。21010121（根）381211（只）练习练习 4 4：1这些书可能有 6、7、8、9、10 本【分析】5 个抽屉里放 5 本书，再增加 1 本就能保证“至少有 1 个抽屉里多于 1 本”。5 个抽屉，每个抽屉里放 2 本，共放 10 本也能保证“至少有 1 个抽屉里多于 1 本”。因此这些书的数量应是 610 本。【详解】5 16+=（本）5 210=（本）。答：这些书可能有 6、7、8、9、10 本。【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。214 名【详解】年龄最大的 13 岁，最小的 12 岁，有两种年龄，12224（个）3202413（名）8（名），13+114（名）答：至少有 14 名同学是同年同月出生的 3苹果有 9 个；菠萝有 1 个；柚子有 2 个【分析】根据抽屉原理，随便拿出 4 个，其中至少有 1 个苹果，除苹果以外的其它水果共有 3 个，可知苹果有 1239 个，又因为柚子的个数是菠萝的 2 倍，且柚子与菠萝共有 3 个，可求得柚子有 2 个，菠萝有 1 个，据此解答即可。【详解】苹果有：1239（个）菠萝有：3（12）33 1（个）柚子有：312（个）学科网（北京）股份有限公司 答：柚子有 2 个，菠萝有 1 个，苹果有 9 个。【点睛】理解抽屉原理，读清题意，运用规律灵活解题。练习练习 5 5：18 个【详解】110 中 3 的倍数有 3，6，9，共 3 个至少取出 8 个 2一定有两个学生是同年同月出生的。【分析】首先确定全班学生的年龄状况有 4 种情况，即 9 岁、10 岁、11 岁、12 岁，而每年又有 12 个月，所以：就有 12448（种）情况，看作 48 个抽屉，根据“抽屉原理”解答即可。【详解】12448（种）49481（人）1（人）112（人）即一定在同一个抽屉里有两个人，故必有 2 人是同年同月出生的；答：一定有两个学生他们是同年同月出生的。【点睛】本题主要考查了学生对用“抽屉原理”解决简单的实际问题这个知识点的掌握情况，解答此题的关键是：巧用年龄段构造抽屉，进一步利用“抽屉原理”解答问题即可。313 个【分析】由题意可知，袋中有红、黄、绿 3 种颜色的球，要保证有两个球是同色球，最差情况是一次摸出的 3 个球中，红、黄、绿 3 种颜色各一个，此时只要再任意摸出一个即摸出 4 个球，就能保证有两个球是同色球。最坏的打算是摸出 10 个，都是同一种颜色的，那再摸 2 个，又是 2 种颜色，那再摸一个，就能保证有两种颜色的同色球各一对，进而计算得出结论。【详解】102113+=（个）答：一次至少摸 13 个球，才能保证有两种颜色的球各一对。【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键