专题09：数列（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义含答案.pdf

更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第八讲届新高考二轮复习第八讲：数列数列1.（3）记等差数列 na的前n项和为3712,6,17nS aaa+=，则16S=（）A.120B.140C.160D.1802.（19）离散对数在密码学中有重要的应用设p是素数，集合1,2,1Xp=-L，若,u vX mN，记uv为uv除以p的余数，,mu为mu除以p的余数；设aX，2,2,1,pa aa-L两两不同，若,0,1,2nab np=-L，则称n是以a为底b的离散对数，记为log()anpb=（1）若11,2pa=，求1,pa-；（2）对12,0,1,2m mp-L，记12mm为12mm+除以1p-的余数（当12mm+能被1p-整除时，120mm=）证明：log()log()log()aaapbcpbpc=，其中,b cX；（3）已知log()anpb=对,1,2,2xX kp-L，令,12,kkyayxb=证明：2,21n pxyy-=专题09：数列（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型一：等差数列题型一：等差数列【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春新高考）设等差数列 na的前n项和为nS，53a=，535S=(1)求 na的通项公式；(2)设数列na的前n项和为nT，求10T【变式训练】【变式训练】1.（2024 春新高考）已知数列 na的前 n 项和2nSnn=+，则20232024aa+的值是（）A8094B8095C8096D80972.（2024 春广州市华南师大附中）在数列 na中的相邻两项na与*1nan+N之间插入一个首项为1nan-，公差为1n-的等差数列的前n项，记构成的新数列为 nb，若21nan=+，则 nb前 65 项的和为（）A252-B-13C272-D-143.（2024 春福建福州）已知数列 na的前n项积为nb，且211nnba+=(1)证明：nb是等差数列；(2)从 nb中依次取出第 1 项，第 2 项，第 4 项第12n-项，按原来顺序组成一个新数列 nc，求数列1nn c-的前n项和更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型二：等比数列题型二：等比数列【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春江西南昌）公比为q的等比数列 na的前n项和2nnSa=+（1）求a与q的值；（2）若2lognnba=，记数列 nb的前n项和为nT，求证：2311112nTTT+L【变式训练】【变式训练】1.（2024 春湖北省）各项为正的等比数列 na中，1241,81aa a=，则 na的前 4 项和4S=（）A.40B.121C.27D.812.（2024 春广东深圳）已知数列满足log3+1=log3+1()，且2+4+6=9，则log13(3+5+7)的值是（）A 3B5C4D 23.（2024 春广东省东莞市）在等比数列 na中，1234511aaaaa+=，34a=，则1234511111aaaaa+=（）A.3132 B.3132-C.1116D.1116-4.（2024 春深圳市宝安区）（多选）已知数列 na的前n项和为nS，则下列结论正确的是（）A.若2537aa a=，则 na是等比数列 B.若 na是等比数列，则2537aa a=C.若31nnS=-，则 na是等比数列 D.若 na是等比数列，且3nnSa=+，则1a=-题型三：数列求和题型三：数列求和【典例例题】【典例例题】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君例 1.（2024 春河南郑州）设nS为数列 na的前n项和，已知244,20aS=，且nSn为等差数列（1）求证：数列 na为等差数列；（2）若数列 nb满足16b=，且12nnnnbaba+=，设nT为数列 nb的前n项和，集合*nnMT T=N，求M（用列举法表示）【变式训练】【变式训练】1.（2024 春安徽合肥）已知数列2nan-为等差数列，239,16aa=（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列11na-的前 n 项和为nS，证明：34nS，乙植物生长了一天，长度为16a.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取lg20.3,lg30.48=）A第 6 天B第 7 天C第 8 天D第 9 天题型六：数列新定义题型题型六：数列新定义题型【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春云南昆明）若无穷数列的各项均为整数且对于,，使得=，则称数列满足性质 P(1)判断下列数列是否满足性质 P，并说明理由=，=1，2，3，；=+2，=1，2，3，(2)若数列满足性质 P，且1=1，求证：集合|=3 为无限集；(3)若周期数列满足性质 P，求数列的通项公式(1)数列不满足性质 P；数列满足性质 P，理由见解析(2)证明见解析(3)=0或=3更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【变式训练】【变式训练】1.（2024 春广西桂林）若存在常数，使得数列满足+1 123=（1，），则称数列为“()数列”.(1)判断数列：1，2，3，8，49 是否为“(1)数列”，并说明理由；(2)若数列是首项为2的“()数列”，数列是等比数列，且与满足=12=123+log2，求的值和数列的通项公式；(3)若数列是“()数列”，为数列的前项和，1 1，0，试比较ln与 1的大小，并证明 +1 e.2.（2024 春黑龙江）若有穷数列12:,(4)nA a aa n L满足：1,1,2,iniaac cin+-+=RL，则称此数列具有性质cP.(1)若数列23:2,2,6Aa a-具有性质cP，求23,a a c的值；(2)设数列 A 具有性质0P，且12,naaa n时，存在正整数k，使得jikaaa-=，求证：数列 A 为等差数列；(3)把具有性质cP，且满足212kkaam-+=（*,2nkkmN为常数）的数列 A 构成的集合记作,cTn m.求出所有的n，使得对任意给定的,m c，当数列,cATn m时，数列 A 中一定有相同的两项，即存在,1,ijaaiji jn=.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君3.（2024 春广东肇庆）若有穷数列12:,(4)nA a aa n L满足：1,1,2,iniaac cin+-+=RL，则称此数列具有性质cP.(1)若数列23:2,2,6Aa a-具有性质cP，求23,a a c的值；(2)设数列 A 具有性质0P，且12,naaa n时，存在正整数k，使得jikaaa-=，求证：数列 A 为等差数列；(3)把具有性质cP，且满足212kkaam-+=（*,2nkkmN为常数）的数列 A 构成的集合记作,cTn m.求出所有的n，使得对任意给定的,m c，当数列,cATn m时，数列 A 中一定有相同的两项，即存在,1,ijaaiji jn=.4.（2024 春江西南昌）已知数列12:,nA a aaL为有穷正整数数列.若数列 A 满足如下两个性质，则称数列 A为 m 的 k 减数列：12naaam+=L；对于1ijn 的正整数对(,)i j有 k 个.(1)写出所有 4 的 1 减数列；(2)若存在 m 的 6 减数列，证明：6m；(3)若存在 2024 的 k 减数列，求 k 的最大值.题型七：数列与五大题型七：数列与五大“主干主干”知识点结合知识点结合【典例例题】【典例例题】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君例 1.（2024 春湖南高三长郡中学校）2023 年 10 月 11 日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建 255 个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于 0 态或 1 态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于 0 与 1 的叠加态，故每个量子比特处于 0 态或 1 态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X.(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 2，且13p=，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为 2 的概率；(2)若一条信息有*1,n nnN种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p，2p，np，则称12nHfpfpfp=+（其中 2logf xxx=-）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y（1Y=，2，3，n，）.证明：当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数.参考公式：01q时，lim0nnq+=，lim0nnnq+=.【变式训练】【变式训练】1.（2024 春辽宁校联考一模）（多选）已知数列 na的首项为1a，且1e7nnaana+-+=，则（）A存在1a使数列 na为常数列 B存在1a使数列 na为递增数列C存在1a使数列 na为递减数列 D存在1a使得1naa恒成立2.（2024陕西咸阳）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想：2210,1,2,nnFn=+=是质数 直到 1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出5641 6700417F=，不是质更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君数现设2log1nnaF=-，数列 na的前n项和为nS，则使不等式2311223122220244049+nnnS SS SS S成立的正整数n的最大值为（）A11B10C9D83.（2024 春湖北武汉）（多选）如图，已知正方体1111ABCDABC D-顶点处有一质点 Q，点 Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次若质点 Q 的初始位置位于点 A 处，记点 Q 移动 n 次后仍在底面 ABCD 上的概率为nP，则下列说法正确的是（）A.259P=B.12133nnPP+=+C.点 Q 移动 4 次后恰好位于点1C的概率为 0D.点 Q 移动 10 次后仍在底面 ABCD 上的概率为101 11()2 32+4.（2024 下江苏泰州）某游戏设置了两套规则，规则 A：抛掷一颗骰子 n 次，若 n 次结果向上的点数之和大于 2 时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则 B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于 2 时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷（最多抛掷100次，即抛掷到100次时无条件终止）(1)若执行规则 A，求抛掷次数恰为 1 次的概率；(2)若执行规则 B，证明：抛掷次数X的数学期望不大于 3一、单项选择更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君1.（2024 春安徽）已知数列 na是等差数列，2465aaa+=，则17tan5aa+=（）A3B3-C33D33-2.（2024 春浙江绍兴）设nS为是首项为1a，公比为q的等比数列na的前n项和，且202320252024SSSB0q C1nSaDnSq3.（2024湖南长沙）古印度数学家婆什迦罗在莉拉沃蒂一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日 4 德拉玛（古印度货币单位），其后日增 5 德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人 15 天的最后 7 天布施的德拉玛总数为（）A413B427C308D133二、多项选择4.（2024 春浙江丽水）设nS是等比数列 na的前 n 项和，q 为 na的公比，则（）A 2na为等比数列BnqS为等比数列C若1q=-，则存在*mN使得0mS=D若存在*mN使得0mS=，则1q=-5（2024 春河北衡水）欧拉函数*Nnnj是数论中的一个基本概念，nj的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（只有公因数 1 的两个正整数互质，且 1 与所有正整数（包括 1 本身）互质），例如 84j=，因为 1，3，5，7 均与 8 互质，则（）A 4610jjj=B数列2nj单调递增C10040j=D数列 23nnjj的前n项和小于32三、简答题6.（2024 春河北石家庄）已知正项数列 na满足*111,2nnnaaana+=+N.(1)证明:数列11na+是等比数列;(2)若12nnnnba a+=，数列 nb的前n项和为nS.证明:1nS.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君7.（2024 春安徽亳）记正项等比数列 na等差数列 nb的前n项和分别为,nnS T，已知1431,13abS=，327T=.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设集合856,nijAnTBaai jA=满足ijaa，其中1ijN 时，因2,2,1,pa aa-L相异，故2a，而aX，故,a p互质.设12=log(),log(),=log()aaanpbcnp b npc=记12=log(),log(),=log()aaanpbcnp b npc=，则12,Nm m$，使得1212,nnapmb apmc=+=+，故1212nnapmbpmc+=+，故12(mod)nnabcp+，设121,02nnt pssp+=-+-，则12nns=，因为1,2,3,.1p-除以p的余数两两相异，且,2,3,.1aaapa-除以p的余数两两相异，故1!23,.1(mod)paaapap-，故11modpap-，故(mod)sabcp，而(mod)(mod),nabcpbcp=其中02np-，故sn=即log()log()log()aaapbcpbpc=.小问 3 详解】当2b 时，由（2）可得11modpbp-，若1b=，则11modpbp-也成立.因为log()anpb=，所以modnabp.另一方面，22,2,2121n pn pn pkkyyy yxba-112211modmodkkkn pk pkkpxbaxbbx bxpxp-.由于xX，所以2,21n pxyy-=.【更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型一：等差数列题型一：等差数列【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春新高考）设等差数列 na的前n项和为nS，53a=，535S=(1)求 na的通项公式；(2)设数列na的前n项和为nT，求10T【答案】(1)132nan=-(2)52【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，53a=Q，535S=，5151435 45352aadSad=+=+=，解得111a=，2d=-，故1(1)132naandn=+-=-.（2）由（1）知213nan=-+，2d=-，61a=，71a=-，2(11 132)122nnnSnn+-=-，10121012678910Taaaaaaaaaa=+=+-+LL6106610252SSSSS=-=-=【变式训练】【变式训练】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君1.（2024 春新高考）已知数列 na的前 n 项和2nSnn=+，则20232024aa+的值是（）A8094B8095C8096D8097【答案】A【分析】利用前 n 项和和通项公式的关系求出通项公式，再求值即可.【详解】易知111 12aS=+=，21(1)1-=-+-nSnn，故221(1)1)2nnnaSSnnnnn-=-=+-+-=，当1n=时符合题意，故2nan=成立,显然20232024aa=4046+4048=8094+.故选：A2.（2024 春广州市华南师大附中）在数列 na中的相邻两项na与*1nan+N之间插入一个首项为1nan-，公差为1n-的等差数列的前n项，记构成的新数列为 nb，若21nan=+，则 nb前 65 项的和为（）A252-B-13C272-D-14【答案】A【详解】解：数列 nb为：1122233331121,1,1,1,233nna aa aaa aaaa an-L，1231,1,nnnnnnaaaaannn+-LL，设na及其后面n项的和为nS，则1111123222nnn nnSnann+=+-=-=-，所以数列 nS是以 1 为首项，公差为12-的等差数列.所以 nb前 65 项的和为1210710 125222SSS-+=-L，故选：A.3.（2024 春福建福州）已知数列 na的前n项积为nb，且211nnba+=(1)证明：nb是等差数列；(2)从 nb中依次取出第 1 项，第 2 项，第 4 项第12n-项，按原来顺序组成一个新数列 nc，求数列1nn c-的前n项和【答案】(1)证明见解析 (2)1(1)22nn+-+【详解】（1）因为数列 na的前n项积为nb，所以1nnnbab-=*2,Nnn，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又因为211nnba+=，所以121nnnbbb-+=，化简可得12nnbb-=*2,Nnn，当1n=时，11211bb+=，解得：13b=，所以 nb是等差数列，首项为 3，公差为 2.（2）由（1）可得32(1)21nbnn=+-=+,所以1122 2121nnnncb-=+=+，故12nnn cn-=，令数列1nn c-的前n项和为nT，则231 22 23 22nnTn=+L234121 22 23 2(1)22nnnTnn+=+-+L-可得：2311 2 1 21 21 22nnnTn+-=+-L化简可得：12(1)2nnTn+=+-，所以数列1nn c-的前n项和12(1)2nnTn+=+-题型二：等比数列题型二：等比数列【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春江西南昌）公比为q的等比数列 na的前n项和2nnSa=+（1）求a与q的值；（2）若2lognnba=，记数列 nb的前n项和为nT，求证：2311112nTTT+L【答案】（1）1a=-，2q=（2）证明见解析【解析】【小问 1 详解】Q2nnSa=+，当1n=时，112aSa=+；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君当2n 时，112nnSa-=+，所以111222nnnnnnaSS-=-=-=，所以12,12,2nna nan-+=，22a=，34a=，又数列na为等比数列，则2312222aqa=，又2122aqaa=+，21a+=，解得1a=-；小问 2 详解】由（1）可得12nna-=，所以122loglog 21nnnban-=-，12(1)01(1)2nnn nTbbbn-=+=+-=LL，当2n 时，12112(1)1nTn nnn=-，23111111121 22 3(1)nTTTnn+=+LL1111112 12 1222311nnn=-+-+-=-QQ【更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君4411 3803,40.1 32qS-=-故选：A.2.（2024 春广东深圳）已知数列满足log3+1=log3+1()，且2+4+6=9，则log13(3+5+7)的值是（）A3B5C4D2【答案】A【详解】由log3+1=log3+1()，可得+1=3，所以数列是公比为 3 的等比数列，因为2+4+6=9，所以log13(3+5+7)=log133(2+4+6)=log1333=3.故选：A3.（2024 春广东省东莞市）在等比数列 na中，1234511aaaaa+=，34a=，则1234511111aaaaa+=（）A.3132 B.3132-C.1116D.1116-【答案】C【解析】【详解】设首项为1a，公比为q，易知1234511aaaaa+=，34a=，可得22114(1)11qqqq+=，解得22411111qqqq+=+，而13452221111111111(1)416aaaqqqaaq+=+=，故选：C4.（2024 春深圳市宝安区）（多选）已知数列 na的前n项和为nS，则下列结论正确的是（）A.若2537aa a=，则 na是等比数列 B.若 na是等比数列，则2537aa a=C.若31nnS=-，则 na是等比数列 D.若 na是等比数列，且3nnSa=+，则1a=-更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【答案】BCD 当0na=时，满足2537aa a=，但 na不是等比数列，则A错误.由等比数列的性质可知2537aa a=，则 B 正确.由31nnS=-，得1131nnS-=-，则112 32nnnnaSSn-=-=，当n1=时，112aS=，则12 3nna-=，从而可知 na是等比数列，则 C 正确.由3nnSa=+，得1233,6,18aa aa=+=.由等比数列的性质可知2213aa a=，即2618 3a=+，解得1a=-，则 D 正确.题型三：数列求和题型三：数列求和【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春河南郑州）设nS为数列 na的前n项和，已知244,20aS=，且nSn为等差数列（1）求证：数列 na为等差数列；（2）若数列 nb满足16b=，且12nnnnbaba+=，设nT为数列 nb的前n项和，集合*nnMT T=N，求M（用列举法表示）【答案】（1）证明见解析 （2）6,8,9,10,11M=【解析】【小问 1 详解】设等差数列nSn的公差为 d，则41341SSd=+，即135Sd+=，因为21214SaaS=+=+，所以由2121SSd=+，得124Sd+=由、解得12,1Sd=，所以1nSnn=+，即1nSn n=+，当2n 时，1112nnnaSSn nnnn-=-=+-=，当1n=时，112aS=，上式也成立，所以*2nan n=N，所以数列 na是等差数列【小问 2 详解】由（1）可知122242nnnnbannbann+=+，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君当2n 时，121121121126131nnnnnbbbnnbbbbbnnn n-=+LL，因为16b=满足上式，所以*121112()11nbnn nnn=-+N1111111212112112223111nTnnnn=-+-+-=-=-+L，因为当*121n+N时，1,2,3,5,11n=，所以6,8,9,10,11M=【变式训练】【变式训练】1.（2024 春安徽合肥）已知数列2nan-为等差数列，239,16aa=（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列11na-的前 n 项和为nS，证明：34nS+，所以34nS，乙植物生长了一天，长度为16a.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取lg20.3,lg30.48=）A第 6 天B第 7 天C第 8 天D第 9 天【答案】C【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列 na，甲植物每天生长的长度构成等比数列 nb，设其前n项和分别为nS、nT（即nN*n天后树的总长度），则132nnaa-=，12163nnba-=，所以213123333213222212nnnnaSaaaaa-=+=-L，2121613222216161614812333313nnnnaTaaaaa-=+=-L，.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君由nnST，可得322148123nnaa-，即2332524022nn-+，即33241022nn-，解得3242n或312n则32log 24n，因为32lg24lg33lg20.483 0.3log 247.73lg3lg20.480.3lg2+=-，即7.7n，又*nN，所以n的最小值为8.故选：C题型六：数列新定义题型题型六：数列新定义题型【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春云南昆明）若无穷数列的各项均为整数且对于,，使得=，则称数列满足性质 P(1)判断下列数列是否满足性质 P，并说明理由=，=1，2，3，；=+2，=1，2，3，(2)若数列满足性质 P，且1=1，求证：集合|=3 为无限集；(3)若周期数列满足性质 P，求数列的通项公式(1)数列不满足性质 P；数列满足性质 P，理由见解析(2)证明见解析(3)=0或=3【详解】（1）对，取=1，对 ,1，则=1=1,=，可得=1=1，显然不存在 ,，使得=1，所以数列不满足性质 P；对，对于,，使得=(+2)+2=，故数列满足性质 P；（2）若数列满足性质，且1=1，则有：取=1,=1 1,1，均存在1 1,1，使得1=1111=1，取=1,=2 1,2，均存在2 2 1,2，使得2=1212=1，取=1,=2 1，均存在1 2 1,1，使得1=1212=3，故数列中存在 ，使得=3，即 =3，反证：假设 =3为有限集，其元素由小到大依次为1,2,(1)，取=1,=+1 ，均存在+1,，使得=1+11+1=1，取=1,=+1，均存在+1+1,+1，使得+1=1+11+1=1，取=,=+1，均存在+1+1,+1，使得+1=+1+1=3，即+1 =3这与假设相矛盾，故集合 =3为无限集.（3）设周期数列的周期为 1,，则对 ，均有=+，设周期数列的最大项为,1 ，最小项为,1 ，即对 ，均有 ，若数列满足性质：反证：假设 4时，取=,=+，则 +,，使得=+=22，则=23=(3)0，即，这对 ，均有 矛盾，假设不成立；则对 ，均有 3；反证：假设 2时，取=,=+，则 +,，使得=+=22 4，这与对 ，均有 3矛盾，假设不成立，即对 ，均有 1；综上所述：对 ，均有1 3，反证：假设 1 为数列中的项，由（2）可得：1,3为数列中的项，1 3(1)3=5，即5为数列中的项，这与对 ，均有1 3相矛盾，即对 ，均有 1，同理可证：1，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君，则0,2,3，当=1时，即数列为常数列时，设=，故对,，使得=22=，解得=0或=3，即=0或=3符合题意；当 2时，即数列至少有两个不同项，则有：当0,2为数列中的项，则0 202=2，即2为数列中的项，但2 0,2,3，不成立；当0,3为数列中的项，则0 303=3，即3为数列中的项，但3 0,2,3，不成立；当2,3为数列中的项，则2 323=1，即1为数列中的项，但1 0,2,3，不成立；综上所述：=0或=3.【变式训练】【变式训练】1.（2024 春广西桂林）若存在常数，使得数列满足+1123=（1，），则称数列为“()数列”.(1)判断数列：1，2，3，8，49 是否为“(1)数列”，并说明理由；(2)若数列是首项为2的“()数列”，数列是等比数列，且与满足=12=123+log2，求的值和数列的通项公式；(3)若数列是“()数列”，为数列的前项和，1 1，0，试比较ln与1的大小，并证明 +1e.【答案】(1)不是“(1)”数列(2)=1，=2+1(3)ln 1时，()1,0，则2=1+1，再结合1 1,0,2 1，反复利用+1=123+，可得对于任意的 1,，1,则()(1)=0，即ln+1 0，则ln 1，即ln1 11，ln2 21，ln 1，相加可得ln1+ln2+ln 1+2+，则ln(12),又因为=ln在(0,+)上单调递增，所以12 e，又+1123=，所以+1 e，即+1 +1e.2.（2024 春黑龙江）若有穷数列12:,(4)nA a aa n L满足：1,1,2,iniaac cin+-+=RL，则称此数列具有性质cP.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)若数列23:2,2,6Aa a-具有性质cP，求23,a a c的值；(2)设数列 A 具有性质0P，且12,naaa n时，存在正整数k，使得jikaaa-=，求证：数列 A 为等差数列；(3)把具有性质cP，且满足212kkaam-+=（*,2nkkmN为常数）的数列 A 构成的集合记作,cTn m.求出所有的n，使得对任意给定的,m c，当数列,cATn m时，数列 A 中一定有相同的两项，即存在,1,ijaaiji jn=.【答案】(1)2；2；4 (2)证明见详解 (3)42Nnkk*=+【详解】（1）由已知可得数列A共有 5 项，所以5n=，当1i=时，有15264aa+=-+=，当2i=时，有24224aaa+=+=，所以22a=，当3i=时，有334aa+=，所以32a=，（2）数列 A 具有性质0P，且12,naaa nL为奇数，令21nk=+，可得10ka+=，设12212310kkkkkaaaaaaa+=时，存在正整数k，使得jikaaa-=，所以324252212,kkkkkkkkaaaaaaaa+-L这1k-项均为数列 A 中的项，且324252212210kkkkkkkkkaaaaaaaaa+-L满足：1,1,2,iniaac cin+-+=RL，则称此数列具有性质cP.(1)若数列23:2,2,6Aa a-具有性质cP，求23,a a c的值；(2)设数列 A 具有性质0P，且12,naaa n时，存在正整数k，使得jikaaa-=，求证：数列 A 为等差数列；(3)把具有性质cP，且满足212kkaam-+=（*,2nkkmN为常数）的数列 A 构成的集合记作,cTn m.求出所有的n，使得对任意给定的,m c，当数列,cATn m时，数列 A 中一定有相同的两项，即存在,1,ijaaiji jn=.【答案】(1)2；2；4(2)证明见详解(3)42Nnkk*=+【详解】（1）由已知可得数列A共有 5 项，所以5n=，当1i=时，有15264aa+=-+=，当2i=时，有24224aaa+=+=，所以22a=，当3i=时，有334aa+=，所以32a=，（2）数列 A 具有性质0P，且12,naaa nL为奇数，令21nk=+，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君可得10ka+=，设12212310kkkkkaaaaaaa+=时，存在正整数k，使得jikaaa-=，所以324252212,kkkkkkkkaaaaaaaa+-L这1k-项均为数列 A 中的项，且324252212210kkkkkkkkkaaaaaaaaa+-L，因此一定有3224235242122,kkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaa+-=-=-=-=L即3224324322122,kkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaa+-=-=-=-=L，这说明：23421,kkkkaaaa+L为公差为2ka+的等差数列，再数列 A 具有性质0P，以及10ka+=可得，数列 A 为等差数列；（3）当42Nnkk*=+时，设 A：1a，2a，3a，4a L，212,kkaa-，212223244142,kkkkkkaaaaaa+L由于数列具有性质cP，且满足212kkaam-+=，由212kkaam-+=和212kkcaa-=+，得cm=，当cm=时，不妨设12ama+=，此时：21aam=-，411kaa+=，此时结论成立，当cm=-时，同理可证，所以结论成立.当4Nnk k*=时，不妨设0,1cm=，反例如下：2,21,22,23,1,1,2,23,22,21,2,kkkkkkkk-+-+-+LL当43Nnkk*=+时，不妨设0,1cm=，反例如下：12111,1,1,0,1,2,11,1,11kkkkkkkkkk+-+-+LL综上所述，42Nnkk*=+符合题意4.（2024 春江西南昌）已知数列12:,nA a aaL为有穷正整数数列.若数列 A 满足如下两个性质，则称数列 A为 m 的 k 减数列：12naaam+=L；对于1ijn 的正整数对(,)i j有 k 个.(1)写出所有 4 的 1 减数列；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(2)若存在 m 的 6 减数列，证明：6m；(3)若存在 2024 的 k 减数列，求 k 的最大值.【答案】(1)数列1,2,1和数列 3，1(2)证明见解析(3)k的最大值为 512072【分析】（1）根据 k 减数列的定义，即可写出答案；（2）根据存在m的 6 减数列，可得2C6n，即4n，继而分类讨论 n 的取值，说明每种情况下都有6m，即可证明结论；（3）分类讨论数列中的项的情况，结合题意确定数列A为2,2,2,1,1,1LL的形式，从而结合设其中有x项为 2，有y项为 1，=kxy进行求解，即可得答案.【详解】（1）由题意得124naaa+=L，则1 124+=或1 34+=，故所有 4 的 1 减数列有数列1,2,1和数列 3，1.（2）因为对于1ijn 的正整数对,i j有k个，且存在m的 6 减数列，所以2C6n，得4n.当4n=时，因为存在m的 6 减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m +=.当5n=时，因为存在m的 6 减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m.若6m=，满足要求的数列中有四项为 1，一项为 2，所以4k，不符合题意，所以6m.当6n 时，因为存在m的 6 减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m.综上所述，若存在m的 6 减数列，则6m.（3）若数列中的每一项都相等，则0k=，若0k，所以数列A存在大于 1 的项，若末项1na，将na拆分成na个 1 后k变大，所以此时k不是最大值，所以1na=.当1,2,1in=-L时，若1iiaa+N种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p，2p，np，则称12nHfpfpfp=+（其中 2logf xxx=-）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y（1Y=，2，3，n，）.证明：当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数.参考公式：01q时，lim0nnq+=，lim0nnnq+=.【答案】(1)49 (2)32 (3)证明见解析【详解】（1）设=iA“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i个”，0i=，1，2，B=“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”，则2021124P AP A=，211211C22P A=，019P B A=，129P B A=，249P B A=，则 2011121414929494iiiP BP A P B A=+=，故 222214449194P AP B AP A BP ABP BP B=.（2）由题知X0=，1，2，由（1）知2211112114244P Xpppp=+-+-=，同理可得21212211111C11C14242P Xpppppp=-+-+-=，则101124P XP XP X=-=-=，故X的信息熵22111111132loglog42444222Hfff=+=-=.（3）由题知11nP Ynpp-=-，其中1n=，2，3，则 0111 12 11nE Yppppnpp-=-+-+-+，又111111nniiiii pppip-=-=-，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则1011111 12 11niniipppnp-=-=-+-+-，1121111 12 11ninipipppnp-=-=-+-+-，-得：1