19、南京师范大学附属中学2023-2024学年高三寒假模拟测试数学答案.docx

2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试 数 学 学 科 参 考 答 案第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678CDCCDDBB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.91011ACDACDAD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 13. 14. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（1）由题意可知，即；（2）因为，所以，不妨设，由对数函数的性质可知，则，所以，则，当且仅当时取得等号.16.（1）由题可知，展开式中第项为：，则系数最大的项需满足，解得或，所以系数最大为第3项或第4项，即或，所以最大项系数为（2）因为，且由展开式中第项为：，所以，令，即：，令，即：，所以，所以，而所以，由题可知，所以的值为0.517.（1）依题意得解得，椭圆的标准方程为.（2）存在点，使，点的坐标为.理由如下：直线过点，与椭圆交于不同的两点.且都在轴上方.直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.联立方程消去可得：.此时，设，则.，.存在点满足条件.点坐标为.18.（1）因为点为线段的中点，且，所以，因为，且四边形为正方形，故，所以，而平面，故平面，又平面，所以；（2）设正方形的中心为，分别取的中点为，设点为线段的中点，由（1）知四点共面，且平面，连接，平面，故，又平面，故平面平面，且平面平面，由题意可知四边形为等腰梯形，故，平面，故平面，故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，  因为，则，又，故，设到底面的距离为，四边形，为两个全等的等腰梯形，且，故，又，故，则，设，设平面的一个法向量为，则，令，设平面的一个法向量为，则，令，故，令，则，令，则，令，则在上单调递增，故当时，当时，故，即平面和平面的夹角的余弦值得取值范围为19.（1）由条件得，得：；（2）、关于原点“伸缩变换”，对作变换（），得到，解方程组得点的坐标为；解方程组得点的坐标为；，化简后得，解得，因此椭圆的方程为或.（3）对：作变换得抛物线：，得，又，即，则，.20.（1）可取值，可取值，当时，摸球次数为，没有抽中新皮肤的概率为，故，（2）令，则，故，整理得到，所以，若玩家按方案一抽卡，花费元时抽到皮肤，则抽取次数为，而，其中，.则，因为玩家按方案一抽卡次数无限制，且当时，所以.（3），即，由（2）可得故；若玩家按方案二抽卡，则可取值， 且，其中，故，因为，故选择方案二