上海市浦东新区建平中学2024届高三下学期2月考试数学试卷（教师版）.docx

上海市建平中学高三年级下学期数学试卷1一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1. 已知集合，则_【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合，所以.故答案为：2. 已知，则_【答案】#【解析】【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解.【详解】由题知，又，所以，所以.故答案为：3. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为_【答案】7.5#【解析】【分析】由百分位数的定义即可得解.【详解】由题意，所以这组数据的第60百分位数为.故答案为：7.5.4. 不等式的解集是 _.【答案】【解析】【分析】由对数函数的单调性可出原不等式的解集.【详解】因为函数在上为增函数，由可得.因此，不等式的解集为.故答案为：.5. 已知向量，的夹角为，则_【答案】【解析】【分析】根据向量，的模和夹角即可得出的值.【详解】由题意，向量，的夹角为，故答案为：.6. 设关于x实系数方程的两个虚根为、，则_【答案】【解析】【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.【详解】由题可知，设，a，bR，则，则故答案为：7. 甲、乙、丙、丁四个人随机站成一排拍照，则甲与乙、丙均相邻的概率为_【答案】【解析】【分析】分别求解所有的基本事件和符合要求的基本事件，利用古典概率可得答案.【详解】四个人随机站成一排有：甲乙丙丁，甲乙丁丙，丁丙乙甲，共24种站位方式，甲与乙、丙均相邻的站位方式有：乙甲丙丁、丙甲乙丁、丁乙甲丙、丁丙甲乙，共4种，故甲与乙、丙均相邻的概率为故答案为：8. 一项研究同年龄段的男女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：注意力稳定注意力不稳定男生297女生335依据，该_实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持），参考公式：【答案】支持【解析】【分析】根据卡方公式计算即可做出判断.【详解】由表中数据：，所以没有足够把握认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.故答案为：支持9. 已知，且，则_.【答案】2【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含项的构成，求出a.【详解】由题意，为中的系数.因为的二项展开式的通项公式为，所以的展开式中含项的系数为：，解得：.故答案为：10. 设函数，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】设，利用导数求出的单调区间，即可求出其最大值，依题意有且仅有两个整数满足，即可得到且，从而求出参数的取值范围.【详解】设，则，在上单调递增，在上单调递减，时函数取极大值即最大值，又，直线恒过定点且斜率为，要使有且仅有两个整数满足，即有且仅有两个整数满足，且，解得，即.故答案为：11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线的半焦距为c，根据题意得，又，设的中点为，在中，则，根据，可知，.故答案为：.12. 若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据整体法可得零点满足，即可利用时，求解符合条件的结合周期性验证所求满足其他区间即可.【详解】令,则，函数的零点，当时，此时符合条件的两个零点为故，故，解得，当 时，的零点为，因此零点为，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间上恰好有两个零点。故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13. 在10件产品中有3件次品，从中选3件下列各种情况是互斥事件的有（ ）A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”；A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”；A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，中的两个事件不是互斥事件所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，中的两个事件是互斥事件所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，中的两个事件是互斥事件，所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以不是互斥事件，故选：B14. 已知，是不同的平面，是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则，C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】运用线面垂直的性质和面面垂直的判定定理即得A项；满足B项条件的图形有三种，故B项错误；利用线面垂直的判定方法即得C项；利用面面平行的判定方法即得D项.【详解】对于A选项，由，可得，又因，故，故A项正确；对于B选项，由，可知有三种情况：，故B项错误；对于C选项，显然正确；对于D选项，显然正确.故选：B.15. 实验测得六组成对数据的值为，由此可得y与x之间的回归方程为，则可预测当时，y的值为（ ）A. 67B. 66C. 65D. 64【答案】B【解析】【分析】先求出样本中心点，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令，代入求解即可.详解】由表中数据可得，线性回归方程为，则，解得，故，当时，.故选：B.16. 已知数列满足，.给出下列四个结论：数列每一项都满足；数列的前n项和；数列每一项都满足成立；数列每一项都满足.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由递推公式，判断每个命题的正误.【详解】，所以，由递推关系得，正确；，则，所以不正确；，所以，累加得，所以，所以（，），故成立，正确；，累乘得，所以，正确故选：C.【点睛】将递推公式变形为和分别进行累加和累乘，得的取值范围.三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.【小问1详解】令，则所以，单调减区间是.【小问2详解】由得：，即，由于，所以.在中，于是，则，所以.18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，的中点为H（1）求直线与平面所成角；（2）求点H到平面的距离【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用法向量方法求线面角；（2）利用法向量方法求点面距.【小问1详解】平面ABC，平面ABC，且已知，则.故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，于是,，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角为.【小问2详解】由（1）知平面的一个法向量为，且，则点到平面的距离.故所求点H到平面的距离为.19. 第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1）（2）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率；（3）已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？【答案】（1）分； （2）； （3）平均成绩为，方差为.【解析】【分析】（1）由题意求参数，再判断录取分数所在区间，设为分，根据求结果；（2）由分层抽样确定第四组、第五组抽取的人数，应用列举法求选出的两人来自不同组的概率；（3）应用平均数、方差公式求75分以上的志愿者的平均成绩和方差.【小问1详解】由题意，可得，所以，故录取分数在区间，设资深志愿者组的录取分数约为分，则，可得分.【小问2详解】由（1）知：第四、第五组的人数比例为，由分层抽样等比性质知：第四组抽取4人为、第五组抽取1人为，所以，任意选出2人的情况为共10种情况；其中两人来自不同组的情况为共4种情况；所以选出两人来自不同组的概率为.【小问3详解】第四组的平均成绩为，方差为，该组人数为20人；第五组的平均成绩为，方差为，该组人数为5人；所以75分以上的志愿者的平均成绩为分，75分以上的志愿者的方差为，而，；所以.20. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的两点.（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点.【解析】【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，可得，根据在上，由抛物线定义可求得结果；（2）设，联立直线方程与抛物线方程可得，利用两点连线斜率公式表示出，整理得，由此证得结论；（3）设存在点满足题意，设，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，由可得到，讨论可得时满足题意，由此确定点坐标.【详解】（1）设，联立得：，抛物线的方程为，抛物线的焦点，又直线过抛物线的焦点，由抛物线的定义可得：.（2）由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为，则，联立得：，则，解得：，即，直线的斜率为，直线的斜率为，三点共线.（3）假设存在点，使以弦为直径的圆恒过点，设过点的直线的方程为：，联立得：，则，设，则，点总在以弦为直径的圆上，又，当或，等式成立，当或，有，则，即，当时，无论取何值等式都成立，将代入得：，；综上所述：存在点，使得以弦为直径的圆恒过点.【点睛】思路点睛：本题抛物线中满足某条件的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；通过讨论所得关系可确定定点.21. 已知，其中.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值；（3）当时，设，数列满足，且，证明：.【答案】（1）2 （2），1 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数与函数曲线切线的关系，结合直线垂直斜率的关系，可得答案；（2）根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案；（3）利用综合法，整理不等式，构建新函数，利用导数研究函数单调性求最值.【小问1详解】由，则，由直线，则其斜率为，由切线与上述直线垂直，则，解得.【小问2详解】解法一：由，则，当时，显然，则有两异号实根，设为其正根，则在上，在上，即在上为严格减函数，在上为严格增函数，故，的最小值.令，在上，为严格增函数；在上，为严格减函数；的最大值在取到，故.综上：，的最大值为1.解法二：由，则，当时，显然，则有两异号实根，设为其正根，满足在上，在上，即在上为严格减函数，在上为严格增函数，且，由求根公式，令，由，则，当时，故，此时为严格减函数，当时，故，此时为严格增函数，故.综上：，最大值为1.【小问3详解】要证，即证，由，则不等式等价于.由，则，令，则，对任意恒成立，故在为严格减函数，要证，只需证明，即证明.由，即证，即证，而，在为严格减函数，即证.由，则，在上，为严格减函数；在上，为严格增函数.所以，又，所以，同理.所以.【点睛】本题的解题关键在于导数研究函数的单调性，对于导数的化简一般有两种方法：1、对其进行分解因式；2、当导数为分式时，分子与分母分开研究；3、建立新函数，再次求导研究新函数的单调性和最值.