广东省深圳外国语学校龙华高中部2024届高三上学期第三次月考数学试题（教师版）.docx

深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024届高三第三次月考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.【详解】由题意可得,或，对于A, 或，故A错误，对于B，故B正确，对于C，故C错误，对于D，故D错误，故选：B2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法计算，得，由几何意义判断在复平面内对应的点所在象限.【详解】由，得，则，在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值（ ）A. -2B. -2或1C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据平行得到方程，求出或，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或，当时，两直线都为，两直线重合，舍去；当时，两直线分别为和，两直线平行，满足要求；故选：A4. 若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，进而根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.【详解】对于，所以，即.对于，因为函数在上单调递增，所以当时，则，即.所以p是q的必要不充分条件.故选：B.5. 已知曲线的离心率为2，则（ ）A. 2B. 2或1C. -1D. -9【答案】D【解析】【分析】对分类讨论结合圆锥曲线离心率公式即可求解.【详解】由题意，若大于0且不等于3，则或，两个方程都无解，所以只能，所以，解得.故选：D.6. 将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是A. B. 1C. D. 2【答案】D【解析】【详解】试题分析：函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为，因为它的图象经过点，所以，即，又因为，所以的最小值是，故选D.考点：1.图象平移变换；2.正弦函数的图象与性质.7. 若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先，对勾函数和都是递增函数，当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.【详解】当时，函数单调递增所以当时，是单调递增函数，所以，所以当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以，解之得：，综上所述：实数a的取值范围是故选：B8. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，那么实数最大值为（ ）A. 1B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】根据题意得到，构造，求导得到其单调性，进而求出最大值，得到答案.【详解】由题意得，不妨设，则存在，使得，又，故，其中，故，由于，令，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，故实数的最大值为.故选：C二多项选择题（本题共4小题，每题5分，少选得2分，共20分）9. 下列说法错误的是（ ）A. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C. 两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D. 平行于同一直线的两直线平行【答案】ABC【解析】【分析】由线线位置关系、棱台、棱锥以及棱柱的定义即可逐一判断.【详解】对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误；对于B，棱锥有一个面是多变形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故B错误；对于C，如图所示， 若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误；对于D，由平行线的传递性可知D正确.故选：ABC.10. 下列各式正确的是（ ）A. 设，则B. 已知，则C. 若，则D. 【答案】BCD【解析】【分析】由幂指数的运算可判断AB,由对数的运算性质以及换底公式可判断CD.【详解】对于A, ,故A错误，对于B，故B正确，对于C,由，得， 所以，故C正确，对于D，故D正确，故选：BCD11. 如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，它们的终边分别与单位圆相交于点，P，则下列说法正确的是（ ）A. B. 扇形的面积为C. D. 当时，四边形的面积为【答案】ACD【解析】【分析】由题意圆的半径 在平面直角坐标系中写出的坐标用两点间的距离公式计算即可得A选项；选项B，利用扇形的面积公式计算即可；选项C，利用两点间的距离公式写出化简即可；选项D，分别表示出来化简即可【详解】由题意圆的半径 选项A：由题意得所以所以，故A正确；选项B：因为，所以扇形的面积，故B错误；选项C，故C正确；选项D：因为，所以故D正确故选：ACD.12. 如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且，则（ ）A. 当时，平面B. 当时，点C到平面BDN的距离为C. 当时，三棱锥外接球的表面积为D. 对任意，直线与都是异面直线【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A，直接求解平面的法向量，判断与法向量是否垂直即可，对于B，直接求解平面的法向量，利用距离公式求解，对于C，连接交于，过作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，然后利用勾股定理可求出球的半径，从而可求出表面积，对于D，利用异面直线的定义判断即可.【详解】如图，建立空间直角坐标系， 对于A，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以与不垂直，所以与平面不平行，所以A错误，对于B，设平面的法向量为，则，令，则，所以点C到平面BDN的距离为，所以B正确，对于C，连接交于，过作平面垂线，则外接球球心在此垂线上，设三棱锥外接球的半径为，则，所以三棱锥外接球的表面积为，所以C正确，对于D，对任意，因为在平面内，点在平面外，且直线与平面交于点，直线不经过点，所以直线与都是异面直线，所以D正确，故选：BCD第二部分非选择题（共90分）三填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知幂函数满足，则_.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.【详解】因为函数为幂函数，则，解得或，又因为，所以，故答案为：.14. 已知，求数列_.【答案】【解析】【分析】由已知条件时，求出，时通过前项和与前项和作差得，可得通项公式.【详解】时，时，由，有，两式相减，得，则有，时，不符合，所以.故答案为：15. 随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点若照片长、宽比例为4：3，设，则_ 【答案】【解析】【分析】根据题意可得，然后结合二倍角公式及同角三角函数关系可求得结果.【详解】由题意得，所以，所以，故答案为：.16. 已知函数的定义域和值域均为，的导数为，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性求解.【详解】令，则，则在上单调递增，在上单调递减，又,，的取值范围是，故答案为：四解答题（本题共6小题，共70分）（解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17. 已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，（1）当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）证明见解析 （2）或【解析】【分析】（1）由直线垂直求出方程，代入圆心坐标即可得证；（2）分直线斜率是否存在讨论，结合点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解.【小问1详解】由已知，故，所以直线的方程为.将圆心代入方程易知过圆心.【小问2详解】因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，所以，解得，所以直线的方程为，即；综上：直线的方程为或.18. 在，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答问题：在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_（1）求角C；（2）若，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）若选：利用正弦定理边角转化和两角和的正弦公式，即可求出答案；若选：利用正弦定理边角转化和余弦定理，即可求出答案；若选：若由三角形的面积和余弦定理，即可求出答案；（2）利用正弦定理表示出，求出的范围，利用三角函数求出最值.【小问1详解】若选：，则，若选：，由正弦定理得，若选：，所以，由正弦定理得，【小问2详解】若，由正弦定理可得：，所以，因为是锐角三角形，所以，即，解得：，所以，.即的取值范围为.19. 设等差数列的公差为，且.令，记分别为数列的前项和.（1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及定义即可求解；（2）由等差数列基本量计算结合分类讨论即可求解.【小问1详解】，解得，又，即，解得或（舍去），.【小问2详解】为等差数列，即，即，解得或，又，由等差数列性质知，即，即，解得或（舍去），当时，解得，与矛盾，无解；当时，解得.20. 如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：；（2）若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直证得线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值确定点位置，再利用点到平面的距离公式求得结果.【小问1详解】平面平面，平面平面，平面，平面且平面，故，【小问2详解】中，平面平面，平面平面，平面,平面，.以为原点如图所示建立空间直角坐标系,，设，其中，则，取平面法向量，设与平面所成角为，解得（舍）或，则，设平面的法向量为.，解得，故.21. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）存在点使得和之积为.【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，利用椭圆的定义求椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立，根据斜率的定义求解.【小问1详解】如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，设为椭圆上一点，由题意可知，点的轨迹点为焦点，长轴的椭圆，则椭圆的标准方程为， 【小问2详解】设直线的方程为，将直线方程和椭圆方程联立 ，消去得，其中，设，则，消去和可得，要使为定值，则，此时，存在点使得和之积为. 22. 设函数（）.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，记过点，的直线的斜率为，若，证明：.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出直线的斜率，得，令，要证：，即证和，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可【小问1详解】，令，.当时，在单调递增：当时，的两根都小于0，在上大于0，所以在单调递增；当时，由，解得，在，上单调递增：，在上单调递减.【小问2详解】证明：由（1）知当时，有两个极值点，且满足，.，.令，则.（）要证，即证.令，则，所以在上单调递增.又，所以，即，.（）要证，即证.令，记，则，则在有唯一实根，故在上单调递增，在单调递减，又，所以当时，即.由（）（），证得.点睛】思路点睛：根据函数极值点个数求参数相关问题时，一般需要先对函数求导，根据导函数对应的方程，确定极值点与参数之间关系，再由消元法将问题转化为参数与其中一个极值点之间的关系式，根据极值点的范围，构造新的函数，利用导数的方法判定新函数的单调性，进而即可求解.